2023-2024学年浙江省杭州市西湖区杭州师范大学附属中学九年级上学期期中数学试题

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全卷满分120分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
2. 下列函数的图象，一定经过原点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数图像上各点的带入分析是考查的常考点也是重点，考生只需把各点带入分析即可
【详解】解：图像经过原点，即过点（0,0）代入分析
A中，x=0时，y=-1，不符合题意
B中，x=0时，y=0，符合题意，
C中，x=0时，y=1，不符合题意
D中，是反比例函数，不符合题意
故选B
3. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据公共角，再分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】∵
A、当时，再由，可得出，故选项A不合题意；
B、当时，再由，可得出，故选项B不合题意；
C、当时，不是夹角，所以无法得出，故选项C符合题意；
D、当时，即，再由，故选项D不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
4. 如图，，是的弦，，是的半径，点P为上任意一点（点P不与点B重合），连接，若，则的度数可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理与三角形外角性质综合应用，结合已知条件求得的范围是解题的关键．
利用圆周角定理求得的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得的范围，继而得出答案．
【详解】解：如图，连接，

，
，
，
，
点为上任意一点（点不与点重合），
，
，
，
∴的度数可能是．
故选：D．
5. 将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故选：A．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
6. 如果三点和在抛物线的图象上，那么与之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=3，根据x＞3时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵y=-x2+6x+c=-（x-3）2+9+c，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x=3，
P1（1，y1）关于对称轴的对称点为（5，y1），
∵3＜4＜5，
∴y2＞y3＞y1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
7. 如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴交点、一次函数及二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程因式分解法，熟练掌握这四个知识点的综合应用，其中一元二次方程解法的选择是解题关键．
把代入，求出，把，代入，求出、，再把、、代入，解一元二次方程即可．
【详解】解：把代入，
得，
把，代入，
得，
解得：，
关于的方程化为，
，
，，
故选：C．
8. 如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下，对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（ ）
A. 两人都正确B. 甲正确，乙错误C. 甲错误，乙正确D. 两人都错误
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形外心的定义一一分析判断即可．熟练掌握“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心”是解题的关键．
【详解】解：由甲的作法可知，为直角三角形，
∴为的外接圆的直径，
∵点O为中点，
∴，
∴点为的外心，故甲的作法正确；
由乙的作法可知，，
∴点为的外心，故乙的作法正确；
故选：A．
9. 我们知道，五边形具有不稳定性，正五边形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，，固定边，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图2所示，此时边旋转度，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用正方形多边形的性质求出正五边形变形前度数，再在变形后的图形中，连接．证明是等边三角形，四边形是菱形，利用等边三角形和菱形的性质求出变形后的度数，然后用变形后度数变形前的度数求解．
【详解】解：在图1中，
∵正五边形
∴
在图2中，连接．
∵正五边形，
，
∵，
∴，
，
∴是等边三角形，四边形是菱形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查正多边的性质，多边形内角和定理，直角三角形的性质，等边三角形判定与性质，菱的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
10. 如图1为一圆形纸片，A，B，C为圆周上三点，其中为直径，沿弦所在的直线翻折，交直径于点D，如图2所示，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质，圆周角与弧的关系， 由折叠的性质和圆周角与弧的关系得到：，又是圆的直径，即可求出的度数．
【详解】解：如图2，设上的点D翻折前为点E，连接，
由折叠的性质得到：，，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
即，
∴，
故选∶B．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 若，则=____________．
【答案】
【解析】
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．
【详解】解：∵
∴=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形．
12. 如图，在平行四边形中，E是的中点，连结交于点F，，则的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，从而得出，再证明，利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
是的中点，
，
，
∵，
，
．
，
∴．
13. 如图1，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，如图2是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为______m．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由弧长公式：是弧长，是扇形圆心角的度数，是扇形的半径长），由此即可计算．
【详解】解：，半径为，
的长．
故答案为：．
14. 如图，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且轴，则的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，确定函数的对称轴是本题解题的关键．求出抛物线的对称轴，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
令，则
故点的坐标为，
∵轴
∴点，
∴，
故答案为：2．
15. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是________元．
【答案】200
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设销售该文具每天获得的利润为w元，解题的关键是根据题意得出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质．
【详解】解：设销售该文具每天获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，w有最大值，且最大值为200，
∴当销售该文具每天获得的最大利润是200元．
故答案为：200．
16. 如图，在等腰中，，，点D为的中点，点M在上，且，将绕点C在平面内旋转、点M的对应点为点N，连接，当时，的度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形．
分两种情况∶当在内部时， 当在外部时，分别求解即可．
【详解】解∶分两种情况∶当在内部时，如图，连接，
∵，点D为AB的中点，
∴，
∵，
∴，
∴点C、N、D三点共线，
∵点D为的中点，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
由旋转可得，
∴，
在中，，
∴，
即；
当在外部时，如图，连接，
同理点C、N、D三点共线，，，，
∴，
在中，，
∴，
即．
故答案为：或．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；
（2）画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为与x轴的交点坐标为和；
（2）图见解析；
【解析】
【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即得出其顶点坐标．令，求出x的值，即得出该二次函数图像与x轴的交点坐标；
（2）根据五点法画出图像即可．由求时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴下方时x的取值范围，再结合图像即可解答．
【小问1详解】
解：二次函数化为顶点式为：，
∴该二次函数图像的顶点坐标为．
令，则，
解得：，
∴该二次函数图像与x轴的交点坐标为和；
【小问2详解】
令，则；令，则；
∴该二次函数还经过点和，
∴在坐标系中画出图象如下：

求时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴下方时x的取值范围，
∵该二次函数图像与x轴的交点坐标为和，
∴当时，二次函数图像在x轴下方，
∴当时，自变量x的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数一般式改为顶点式，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，画二次函数图象等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
18. 如图，弦的延长相交于圆外一点A，连结．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，
（1）根据圆周角定理可得，再由，即可证得；
（2）根据，可得，即可求解．
熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，，
∴
∴．
19. 已知，是的角平分线，以B为圆心，为半径画弧交于E．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）14
【解析】
【分析】（1）称由三角形角平分线求得，再由三角形外角性质得到，然后由，得到，即可由邻补角性质求解；
（2）过点B作于F，利用直角三角形性质可得，由勾股定理可得，设，则，，由等腰三角形性质可得，则，从而求得，继而求得，，然后证明，得，代入即可求解．
【小问1详解】
解：∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∵以B为圆心，为半径画弧交于E．
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：过点B作于F，如图，

∵是的角平分线，，
∴，
∵
∴
∴，
∴
由（1）知：，，
∴
∵
∴
∵，
∴
∵
设，则，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴
即
∴．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和与外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握相关性质和过点B作于F，构造直角三角形是解题的关键．
20. 如图，为的直径，，垂足为点E，，．
（1）求的大小；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据等弧所对弦相等得出，再由垂径定理得出，从而由线段垂直平分线定理得出，即可得出，从而得到，由等边三角形性质得出，即可求解；
（2）由垂径定理得出，由勾股定理，得，再在中，由勾股定理，求得，由圆周角定理得出，最后由求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵为的直径，，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴
【小问2详解】
解：连接，
由（1）知：
∵为的直径，，
∴
在中，由勾股定理，得，
∵
∴
在中，由勾股定理，得
解得：
∴
由（1）知：
∴
∴
【点睛】本师生考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三解形的面积，扇形面积．熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
21. 如图，抛物线与直线相交于点和点B．
（1）求m和b的值；
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点C是直线上的一个动点，将点C向右平移3个单位长度得到点D，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点C的横坐标的取值范围．
【答案】21. ，．
22 或．
23. 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）求出点B的坐标为，再观察函数图象即可．
（3）分类讨论：当点C在线段上的点时，当点C点B右侧时，当点C在点A左侧时，分情况求解即可．
本题考查了二次函数综合应用，一次函数的图象及性质，二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【小问1详解】
解：将点代入得：，
解得：，
将点A的坐标代入得：，解得；
故，．
【小问2详解】
由（1）得，直线和抛物线的表达式分别为：，，
联立上述两个函数表达式得到，
，
解得或，
即点B的坐标为，
从图象看，不等式 的解集为或．
【小问3详解】
当点C在线段上的点时，，
∵A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即；
当点C点B右侧时，与抛物线没有公共点；
当点C在点A左侧时，，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上所述， 或 ．
22. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：的值是；b的值是2.8
任务二：选择吊球方式，球的落地点到点的距离更近
【解析】
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出一次函数和二次函数解析式，掌握函数图象上点坐标的特征．
任务一：先求出点的坐标，再分别 代入一次函数与二次函数解析式计算即可求解；
任务二：在中，令得，在中，令可得（舍去）或，由，即可得到答案．
【详解】解：任务一：∵，
∴，
把代入得：，
解得：，
的值是；
把代入得，
∴b的值是2.8．
任务二：，，
，
，
在中，令得，
在中，令得（舍去）或，
，
选择吊球方式，球的落地点到点的距离更近．
23. 如图1，圆内换四边形的对角线，交于点E，．
（1）若，，如图2所示．
①求的大小：
②过点C作交的延长线于点F，以点B为旋转中心，顺时针旋转，使与重合，且，求圆半径的长．
（2）若，，，圆的半径为，求的长．
【答案】（1）①；②4
（2）
【解析】
分析】（1）①由，由，现把代入即可求解；
②由与重合，得，，，由①知，则是圆的直径，再求出，，利用直角三角形的性质求解即可．
（2）设圆心为O，连接，，，过点O作于M，于N，利用垂径定理求出，从而求得，在中，由勾股定理，得，从而得到，即有等腰直角三角形，求得，可求得，在中，由勾股定理，得
，即可由垂径定理求解．
【小问1详解】
解：①∵
∴
∵
∴；
②∵与重合，
∴，，
∵
∴
由①知
∴是圆的直径，
∴
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
∴圆半径的长为．
小问2详解】
解：设圆心为O，连接，，，过点O作于M，于N，
∵，O为圆心，
∴
∴
在中，由勾股定理，得
∴
∴，，
∵
∴，，
∵
∴
在中，由勾股定理，得
∴
【点睛】本题考查三角形外角性质，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形．熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
甲的作法

过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求
乙的作法

以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求
如何设计击球线路的方案
素材1
数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，兴趣小组对击球线路进行探索，如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上，且．

素材2
若选择点P扣球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系．

素材3
若选择点P吊球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系．
问题解决
任务1
确定关键数据
求a和b的值．
任务2
拟定设计方案
兴趣小组探索发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．