2023-2024学年浙江省金华市永康市三校九年级上学期期中数学试题

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1. 化简的结果是（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：因为，
所以，
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确计算的前提．
2. 将抛物线向下平移2个单位所对应的函数图象表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位，所得抛物线对应的函数表达式为，故B正确．
故选：B．
3. 已知的直径为5，若，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在内B. 点P在上C. 点P在外D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与的大小即可解答．
【详解】解：圆的半径，点P到O的距离，
∴，
∴点P在圆外，
故选：C．
4. 下列事件中，属于不确定事件的是（ ）
A. 在中，
B. 在中，
C. ，是对顶角，
D. ，是对顶角，
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查不确定事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，结合三角形内角和定理和对顶角的概念判断即可．
【详解】解：A、在中，，属于必然事件，确定性事件，故此选项不符合题意；
B、在中，，属于不可能事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
C、若，是对顶角，则，可能会出现，属于随机事件，是不确定性事件，故此选项符合题意；
D、，是对顶角，，属于必然事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
故选：C．
5. 如图，直线，直线分别交a，b，c于A，B，C；直线分别交a，b，c于D，E，F．若，，，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例，列比代数计算即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．
【详解】解：，
，
，，，
，
解得：，
，
故选：D．
6. 已知，，，的周长为12，则的周长为（ ）
A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到边长比，利用周长比为边长比即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴的周长：的周长，
∵的周长为12，
∴的周长为20．
故选：C．
7. 如图，在中，是的弦，C为的中点，与交于点D，若的半径是，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据C为的中点，得，，根据勾股定理列式作答即可．
【详解】解：连接，如图，

∵的半径是，C为的中点，
∴，
∴
∵，
∴，
∴在中，
则．
故选：D．
8. 边长为6的正三角形的外接圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，连接，作，求解，，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，作，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆，垂径定理的应用，等边三角形的性质，勾股定理的应用，含的三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
9. 若二次函数图象经过点，，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，将分布于对称轴两侧的点，利用对称轴对称到对称轴一侧，再根据二次函数的对称轴以及开口方向可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∴在对称轴的右面y随x的增大而增大，
∵点，是二次函数的图象上两点，
∴关于直线的对称点在二次函数的图象上，
∵，
∴．
故选：B．
10. 如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（ ）

A. 3B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点D位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点D在以为直径的上，连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：∵在中，，，，

∴由勾股定理，得，
如图，取的中点O，连接，交圆于点，
∵，，
∴，
∴，
∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短，
此时，
在中，
由勾股定理，得，
故的最小值为： ，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 请写出一个二次函数表达式________，使其图象经过点．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
【分析】根据题意可以写出一个符合要求函数表达式，注意本题答案不唯一，只要符合要求即可．本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【详解】解：由题意可得，
图象经过点的二次函数的表达式可以是：，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 已知线段，，则a、b的比例中项线段等于________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查比例中项．熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积，是解题的关键．利用比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可．
【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵，，
∴，
∴，
∴，（舍去）．
故答案：6．
13. 在一个不透明的布袋中装有30个白球和若干个黑球，它们只有颜色不同．若摸出一个球是黑球的概率是，则布袋中黑球的个数有________．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查一步概率计算公式，根据题意找到等量关系列方程是解决问题的关键．设黑球的个数为x个，根据概率公式列出方程，求得答案即可．
【详解】解：设黑球的个数为x个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是方程的解，
∴黑球的个数为45．
故答案为：45．
14. 如图，在矩形中，为的中点，连接．以E为圆心，长为半径画弧，分别与交于点．则图中阴影部分的面积和是________（结果保留）．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，三角形的内角和等知识点，根据矩形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可，掌握矩形的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
【详解】∵四边形是矩形，，点E是的中点，
∴，
∴，
同理，
∴
，
故答案为：．
15. 二次函数的最大值是________．
【答案】32
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，去括号并将函数解析式配为顶点式即可求得答案．
【详解】解：
，
∴当，取得最大值为32．
故答案为：32．
16. 当时，关于x的二次函数有最小值2，则实数m的值为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的最值问题列出方程求出m的值，再根据二次项系数大于0解答即可，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．
【详解】∵关于x的二次函数有最小值2，
∴二次项系数，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，在对称轴左侧，
∴当时，函数取得最小值，即，
解得： （不合题意的值已舍去）；
当时，在对称轴右侧，
当时，函数取得最小值，即，
解得：（舍去）或；
当时，
函数在顶点处取得最小值，
即，
解得：（舍去），
故答案为：或．
三、解答题（本题有8小题，共66分，写出必要的解答过程）
17. 解一元二次方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，按去括号、合并同类项提取公因式即可解得答案．
【详解】解：，
，
，
或，
解得：，．
18. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，设，先约分再代入计算即可，熟练进行分式的约分是解答此题的关键．
【详解】解：设，
∴原式


．
即．
19. 为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．刘英烈士陵园；B．中国工农红军第十三军第三团纪念馆；C．中共永康县委诞生地纪念馆，且每人只能选择一条线路．小张和小王两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小张先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小王再从中随机抽取一张卡片．
（1）小张从中随机抽到卡片A的概率是 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查概率公式，用树状图法或列表法求概率；
（1）利用等可能事件的概率，带入公式即可解得；
（2）用树状图列举出所有情况，并找到符合条件的事件数，然后可得答案．
【小问1详解】
解：小张从中随机抽到卡片A的概率为；
故答案：；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小张和小王两人都抽到卡片C的结果有1种，则两人都抽到卡片C的概率是．
20. 为了增强学生身体素质，学校要求同学们练习跑步．下面是一次练习时的场景：开始时甲生跑了，乙生跑了，然后甲生、乙生都开始匀速跑步．已知甲生的跑步速度为，当他们分别到达终点时停止跑步，甲生从开始匀速跑步到停止跑步共用时．已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间()，轴表示跑过的路程()，则：
（1）这次练习跑步的路程为 ．
（2）当甲生追上乙生时，求此时甲生距离出发点的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键．
（1）先求出甲生匀速跑步的路程，再求总路程即可；
（2）求出乙生跑步的速度，再列方程求解即可．
【小问1详解】
解：甲生匀速跑步的路程为()，
总路程为：()，
则这次练习跑步的路程为．
故答案为：；
【小问2详解】
设从开始匀速跑步到甲生追上乙生的时间为()，
乙生跑步的速度为，
根据题意得：，
解得，
此时甲生距离出发点的距离为()，
甲生距离出发点的距离为．
21. 如图，是的直径，点C，D为圆弧上一点，．
（1）求证：．
（2）若，，求点O到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题主要考查圆的性质，
（1）利用圆周角定理得，等弧所对圆心角相等得，同位角相等两直线平行即可判定；
（2）利用等腰三角形的性质和半径相等得是的中位线，勾股定理得，即可求得答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
连接，过点O作于点E，如图，
则，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
即点O到的距离为4．
22. 如图，延长圆内接四边形的边和，相交于点E．
（1）证明：．
（2）若，求的长度．
（3）若，且该圆的半径是5.求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由圆内接四边形的性质证出，根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出答案；
（3）由弧长公式可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形内接于圆，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
即，
∴；
【小问3详解】
解：，
．
，
∴弧BD的度数是，
∴的长度是．
23. 前面我们学习了一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质，积累了一定的学习经验，相信大家都掌握了探究函数图象和性质的路径．
下面是探究函数的图象和性质的过程．阅读并回答相关问题．
列表：自变量x与函数y的对应值表．
（1）①表格中的 ， ．
②描点：根据表中的数值描点，请在下面的平面直角坐标系中补充描点和点．
③连线：请在下面的平面直角坐标系中用光滑曲线顺次连接各点，画出函数图象．
（2）请写出该函数图象的一条性质： ．
（3）运用该函数图象，直接写出方程的解是： ．
（4）若关于方程有个实数解，则实数的范围是 ．
【答案】（1）①，；②见解析；③见解析
（2）函数的图象关于轴对称
（3）或
（4）
【解析】
【分析】本题考查了函数的图像和性质，根据题意画出图像，利用数形结合解决问题．
（1）①将、分别代入函数解析式中求出、即可；
②根据坐标描点即可；
③用光滑曲线顺次连接各点即可画出函数图像；
（2）观察图像即可；
（3）根据函数图像即可求解；
（4）根据函数图像即可求解．
【小问1详解】
解：①当时，，
当时，，
故答案为：，；
②③如图：
【小问2详解】
根据图象可知：函数的图象关于轴对称（答案不唯一），
故答案为：函数的图象关于轴对称（答案不唯一）；
【小问3详解】
观察函数图象，可得方程的解是：或，
故答案为：或；
【小问4详解】
观察函数图象可得，若关于的方程有个实数解，则实数的范围是，
故答案为：．
24. “图形的旋转”是图形变化中的一种主要形式．

（1）如图，是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，和交于点，连接，．
证明：；
求的度数．
（2）如图，在四边形中，，，，，，求的长度．
【答案】（1）见解析，；
（2）．
【解析】
【分析】（）由“”可证；
由旋转性质可知，，由三角形的内角和即可求解；
（）绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转性质可知，，是等边三角形，由勾股定理可求的长，即可求出的长；
【小问1详解】
证明：∵将等边绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
如图，设与交于点，

∵将等边绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴是等边三角形，
如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，

则，是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．x
…
…
y
…
…