2023-2024学年浙江省台州市路桥区路桥区第二中学九年级上学期期中数学试题

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1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为100分钟。
2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、姓名、座位号等。
3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。
一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1. 下列图形中，中心对称图形为（ ）
A. 扇形B. 角C. 正八边形D. 正三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，根据中心对称图形的概念和各图形的特点即可解答．
【详解】解：正八边形是偶数边形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形会重合,其余选项的不是中心对称图形．
故选：C．
2. 下列二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的个数于根的判别式的关系，计算，依次进行判断即可得．
【详解】解：A、，，则方程有两个相等的实数根，选项说法错误，不符合题意；
B、，，则方程没有实数根，选项说法错误，不符合题意；
C、，，则方程没有实数根，选项说法错误，不符合题意；
D、，，则方程有两个不相等的实数根，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，正确计算．
3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标均与原来的点的坐标互为相反数，直接求解即可得到答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的坐标特征是横坐标、纵坐标均与原来点的坐标互为相反数是解决问题的关键．
4. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（ ）

A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：如图,由旋转变换的性质得：
故选C.
5. 二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解．
详解】解：由表格可得：
当时，；
当时，，
又∵一元二次方程的根为，，且，
∴，，
故选：A．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程（，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键．
6. 如图是一座拱桥的轮廓，桥下方的曲线是抛物线的一部分；跨度，抛物线顶点到的距离是，相邻支柱间，则支柱的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立坐标系，有计算即可,正确建立坐标系是解题的关键．
【详解】以的中点为原点，建立坐标系如下，
则，顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点B代入得：，
解得，
抛物线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7. 二次函数的图象如图所示，若有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出图象，即可得出答案．
【详解】根据题意得：的图象如右图，

∵有两个不相等的实数根，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）．
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．
【详解】解：抛物线与直线交于，两点，
，
．
，
∵，
．
当，时，直线经过第一、三、四象限，
当，时，直线经过第一、二、四象限，
综上所述，一定经过一、四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．
9. 下列关于一元二次方程的命题中，真命题有（ ）
①若，则；②若方程两根为1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根．
A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③
【答案】A
【解析】
【分析】把b=a+c代入判别式中得到△=（a-c）2≥0，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到1×2=，则c=2a，于是可对②进行判断；利用方程ax2+c=0有两个不相等的实根得到ac＜0，则△b2-4ac＞0，于是可对③进行判断．
【详解】解：a-b+c=0，则b=a+c，△=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+bx+c=0两根为1和2，
∴1×2=，则c=2a，
∴2a-c=2a-2a=0，所以②正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴ac＜0，
∴△=b2-4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个实根，所以③正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
10. 已知抛物线（a，b，c是常数，且）过点，如果当时，则；若时，则；则a的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据时，，时，，得到：顶点为，图象经过点，进而求解即可．
【详解】解：由题意可知，抛物线开口向下，顶点为，图象经过点，
∴抛物线为，
把点代入得，，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 若抛物线经过点，则该抛物线的对称轴为___________．
【答案】
【解析】
【分析】将代入抛物线解析式，即可求得b，从而求得抛物线的解析式，即可求得对称轴．
【详解】将代入抛物线解析式可得，
，
解得b=-2，
∴抛物线为，
∴抛物线的对称轴为，
故答案为．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式以及求抛物线的对称轴，求出抛物线的的解析式是解题的关键．
12. 用配方法将变形为，则m=_________．
【答案】17
【解析】
【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】x2-8x-1=0，
移项得：x2-8x=1，
配方得：x2-8x+16=17，即（x-4）2=17．
所以m=17．
故答案为17．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
13. 二次函数y=x2﹣4x+m图象的顶点在x轴上，则m=_____．
【答案】4
【解析】
【分析】把函数化成y=（x-2）2-4+m，根据题意可得出m的值．
【详解】二次函数y=x2﹣4x+m图象的顶点在x轴上，
∴y=（x﹣2）2﹣4+m，
∴m﹣4=0，即m=4，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标式，此题难度不大．
14. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．
【答案】####
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为__________．

【答案】（2，2）
【解析】
【分析】根据旋转性质可得出点B是A、C的中点，过点C作CD⊥x轴于D，利用相似三角形的判定与性质求得OD和CD即可求解．
详解】解：∵点，点，
∴OA=2，OB=1，
由旋转性质得：AB=BC，即点B是A、C的中点，
过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥OB，
∴△AOB∽△ADC，
∴，
∴OD=2，CD=2，
∴点C坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
16. 已知点在二次函数的图像上，则的最大值______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值，根据，得到，计算即可．
【详解】∵点在二次函数的图像上，
∴，得到
∴，
∴最大值为3，
故答案为：3．
三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程；
(1) 利用因式分解法法求解即可；
(2) 利用因式分解法法求解即可．选择适当的方法是解题的关键．
【小问1详解】
∵，
∴，
解得．
【小问2详解】
∵，
∴，
解得．
18. 已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】6
【解析】
【分析】把代入方程，得出，再整体代入求值即可．
【详解】解： = ．
∵ a是方程的根
∴ ．
∴ ．
∴ 原式 = 6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值．
19. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求这个函数的表达式．
（2）当时，随的增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法确定二次函数解析式及二次函数的性质．
（1）将代入解析式，利用待定系数法即可求解；
（2）根据（1）中所得解析式可得对称轴，，在对称轴左侧随的增大而减小，根据二次函数的性质求得的取值范围．
掌握二次函数的性质：，开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，，开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点．
∴，解得：，
∴这个函数的表达式为：；
【小问2详解】
∵，
∴其对称轴为：，
∵，
∴图象开口向上，则当时，随的增大而减小，
∴的取值范围为．
20. 已知关于的方程（为常数）．
（1）求证：不论为何值，该方程总有实数根．
（2）若该方程有一个根是4，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明方程的根的判别式即可．
（2）把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【小问1详解】
当时，，
解得，
当时，
方程，，
∴，
∴方程有两个实数根；
∴无论m取何值，方程总有实数根．
小问2详解】
把代入，
得，
解得．
21. 如图，在平面直角坐标系中有点，，，，线段绕着某点旋转后能够与线段重合（其中点与点对应）．

（1）求的长度．
（2）直接写出旋转中心的坐标．
（3）将点绕着（2）中的旋转中心作与线段一样的旋转变化，直接写出对应点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用两点间距离公式计算即可．
（2）设旋转中心，根据，列出方程组计算即可．
（3）根据，点，，确定旋转变换是以P为中心，逆时针旋转，计算即可．
【小问1详解】
∵点，，
∴点．
【小问2详解】
设旋转中心，
∵点，，，，线段绕着某点旋转后能够与线段重合（其中点与点对应）．
∴，
∴，
解得，
故旋转中心．
【小问3详解】
∵，点，，
∴，，
∴，
∴旋转变换是以P为中心，逆时针旋转，
设点O变换的对应点是M，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的判定和性质，两点间的距离公式，熟练掌握旋转性质是解题的关键．
22. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：
（1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解方程得到，，则，然后解不等式即可．
【小问1详解】
解：证明：
，
此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
，
，，
此方程恰有一个根小于，
，
解得，
即的取值范围为．
23. 如图，计划用长为24米的篱笆（全部用完）围成一个矩形菜园，利用长为10米的墙或墙的部分为一边，同时矩形菜园中间两处也用篱笆隔开，设菜园中垂直于墙的篱笆长都为米，平行于墙的篱笆长为米（其中．
（1）求关于的函数表达式以及的取值范围；
（2）求出矩形菜园面积的最大值．
【答案】（1）关于的函数表达式为，的取值范围为
（2）矩形菜园面积的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据列出关系式即可，并根据求出自变量的取值范围；
（2）根据矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
墙长10米，，
，
解得，
关于的函数表达式为，的取值范围为；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
，，
当时，有最大值，最大值为．
答：矩形菜园面积的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数应用，利用了矩形的面积求函数解析式是解题关键．
24. 二次函数（a，b，c为实数，且）的图象经过点，．
（1）求的值；
（2）若，点在该二次函数图象上，求证：；
（3）设是该函数图象与x轴的一个交点，且满足，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将两个点代入函数解析式可得①，②，联立①②可得；
（2）由（1）可得，根据题意得到，再由的范围确定的范围即可；
（3）根据，可知函数与轴的两个交点一个在轴正半轴，一个在轴负半轴，由题意可得，求出的范围即可．
【小问1详解】
将代入得①，
将代入得②，
由得，
∴；
【小问2详解】
证明：由得，
∵，
∴，
∴，
∵点在该二次函数图象上，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
，
当时，，
∴，
∴函数与轴的两个交点一个在轴正半轴，一个在轴负半轴，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.13
0.38
0.53
0.58
0.53
0.38
0.13