专题1.6二次函数的应用及综合问题（知识梳理+典例剖析+变式训练）-九年级数学上学期期末考试高分直通车苏科版

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【目标导航】
【知识梳理】
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．[来源:Z*xx*k.Cm]
应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题．
（一）简单应用
对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，进行简单的应用（或者直接给出二次函数的解析式，进行简单应用）．解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式．
（二）建模应用
利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设计合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
（三）销售问题
二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．
（四）运用二次函数求实际问题中的最值
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解，求最值时，要注意求的答案要符合实际问题．包括二次函数在没有限制条件下的最值，二次函数在给定范围条件下的最值和分段函数求最值．
1．二次函数在没有限制条件下的最值：
二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
2．二次函数在给定范围条件下的最值：
如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则需要计算当，，时，对应的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值，如果顶点不在此范围内，则只需要计算当，时的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值（或者用二次函数的增减性来解）．
（五）二次函数综合问题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
【典例剖析】
【考点1】二次函数的应用：面积问题
【例1】（2021·江苏·南京市金陵汇文学校九年级阶段练习）如图，一个矩形养鸡场，一边靠墙（墙长为a米），另外三边用长为48米的篱笆围成．
（1）①若，求养鸡场的面积的最大值；
②若，求养鸡场的面积的最大值．
（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为270平方米，求a的值．
【变式1.1】（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
【变式1.2】（2019秋•江苏省宿豫区期末）如图，某农户计划用长12m的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙，且墙的可利用长度最长为7m．
（1）若生物园的面积为9m2，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？
（2）若要使生物园的面积最大，该怎样围？
【变式1.3】（2021·江苏阜宁·九年级期末）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．
（1）若，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙的长；
（2）求矩形菜园面积的最大值．
【考点2】二次函数的应用：表格问题
【例2】（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件元，第天（为正整数）的每件进价为元，与的对应关系如下（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）统计发现该网店每天卖掉的件数，设该店每天的利润为元；
①求该店每天利润的最大值；
②若该店每卖一件小商品就捐元给某慈善组织，该店若想在第天获得最大利润，求的取值范围．
【变式2.1】（2021·江苏工业园区·九年级阶段练习）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y元，求y与之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
【变式2.2】（2020春•亭湖区校级期中）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．
为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表：
（1）根据如表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是 ③ ．（只填上正确答案的序号）
①q＝90v+100；②q=32000v；③q＝﹣2v2+120v．
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（3）已知q，v，k满足q＝vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．
①市交通运行监控平台显示，当18≤v≤28该路段不会出现交通拥堵现象．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段不会出现交通拥堵现象；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，当d＝25米时请求出此时的速度v．
【变式2.3】（2020•邗江区二模）疫情期间，某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如表所示：
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天获得的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于212000元，求出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生，若当30≤x≤40时，每天的最大利润为203400元，求a的值．
【考点3】二次函数的应用：销售图象问题
【例3】（2021·江苏锡山·九年级期中）某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x天生产的电子产品数量为y件，y与x满足如下关系式：
（1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；
（2）设第x天每件电子产品的成本是Р元，P与x之间的关系可用下图中的函数图像来表示．若该企业第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
【变式3.1】（2021·江苏海安·九年级期中）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．
（1）直接写出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每月所获得的利润最大？
（2）该网店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：
方案A：销售单价高于进价且不超过60元．
方案B：每月销售量不少于220件，且每件文化衫利润至少为35元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【变式3.2】（2020•宝应县二模）2020年是脱贫攻坚决胜年．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元kg，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+120，天数为整数．
（1）试求销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫“对象．现发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
【变式3.3】（2020•镇江模拟）某网点销售的粽子礼盒的成本为30元/盒，每天的销售量y（盒）与销售单价x元/盒（x≤50）之间的函数关系如图所示．
（1）从上周的销售数据显示，每天的销售量都不低于310盒，则上周的销售单价最高为多少元？
（2）若销售单价满足30＜x≤45，问销售单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【考点4】二次函数的应用：最大利润
【例4】（2021·江苏·沭阳县怀文中学九年级阶段练习）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式____________．
（2）设每月获得的利润为W（元），当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
（3）该网店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：
方案A：销售单价高于进价且不超过进价20元．
方案B：每天销售量不少于220件，且每件文化衫的利润至少为35元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【变式4.1】（2021·江苏南京·二模）某商品有线上、线下两种销售方式．
线上销售单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成本5 000元；线下销售单件利润500元．另需支付其它成本12 500元．(注：净利润＝销售商品的利润－其他成本)
（1）线上销售100件的净利润为 元；线下销售100件的净利润为 元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，比较两种销售方式的净利润；
（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？
【变式4.2】（2021·江苏徐州·二模）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年5月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为4000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出36元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠．
（1）求入住房间z（间）与定价x（元/间）之间关系式；
（2）应将房间定价确定为多少元时，获得利润最大？求出最大利润？
【变式4.3】（2020•沭阳县模拟）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【变式4.4】（2020•宝应县一模）某水果批发商以10元/千克的价格购进1300千克的某种水果投放市场，受疫情影响，该水果批发商的水果出现滞销，根据市场推测，每滞销一天销售，该水果价格将上涨1元/千克，且平均每天将有20千克的水果会等级下降，假设每天等级下降的水果都能以6元/千克的价格一次性抛售完，又知该水果最多只能滞销20天．
（1）设滞销x天后，该水果批发商将新鲜的水果一次性出售完所得的利润为w元，试写出w与x的函数关系式：
（2）若滞销期内，每滞销一天需支付各种费用320元，则该水果批发商最多可获利多少元？
【考点5】二次函数的应用：抛物型问题
【例5】（2019秋•江苏省溧阳市期末）如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【变式5.1】（2021·江苏扬州·二模）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）请求出这个二次函数的表达式；
（2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？
【变式5.2】（2021·江苏秦淮·二模）如图①，小明和小亮分别站在平地上的两地先后竖直向上抛小球（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．两球到地面的距离和与小球A离开小明手掌后运动的时间之间的函数图像分别是图②中的抛物线．已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同．
（1）分别求出与x之间的函数表达式．
（2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为__________时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？
【变式5.3】（2021·江苏·无锡市太湖格致中学九年级阶段练习）已知，足球球门高米，宽米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面米，即米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离为6米时，球恰好到达最高点D，即米．以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为（如图3），请直接写出m的取值范围．
【考点6】二次函数的应用：分段函数问题
【例6】（2021·江苏连云港·二模）我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
信息2：该水果的销售单价（万元/吨）与销售场次之间的函数关系式为
，且当时，；当时，．
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）与之间的函数表达式为 ；
（2）若（万元/吨），求的值；
（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？
【变式6.1】（2021·江苏·一模）某商店销售进价为30元/件的某种商品，在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
设销售商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元（a＞0）给贫困地区，在销售的前50天内该商店当日最大利润为5832元，求a的值．
【变式6.2】（2020•邗江区一模）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=120t+4（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=2t+8，0＜t≤12-t+44，12＜t≤24
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数表达式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数表达式；
②未来两年内，当月销售量P为 23 时，月毛利润为w达到最大．
【变式6.3】（2020•新北区一模）我市高新区某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的售价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y=8x(0≤x≤4)5x+10(4＜x≤14)
（1）工人甲第几天生产的产品数量为60件？
（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数关系图象如图，工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，第几天时，利润最大，最大利润是多少？
【考点7】二次函数的综合：面积问题
【例7】（2020秋•江苏省徐州期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限内的一动点，直线PA分别交BC，y轴于点E、F，若△BPE、△BEF的面积分别为S1、S2，是否存在点P，使得S1＝S2．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式7.1】（2020•姑苏区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，二次函数y=-12x2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当m≤x≤m+1时，二次函数y=-12x2+bx+c的最大值为﹣2m，求m的值；
（3）如图2，点D为直线AC上方二次函数图象上一动点，连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求S1S2的最大值．
【变式7.2】【变式7.2】（2021·江苏·苏州市立达中学校九年级期中）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得ACP的周长最小，请求出点P的坐标；
（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
【变式7.3】（2021·江苏·景山中学九年级期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（-3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．
（1）直接写出抛物线的函数表达式；
（2）如图1，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形AOCM面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由；
【考点8】二次函数的综合：线段最值问题
【例8】（2020春•大丰区期中）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点E，其顶点为D．
（1）分别求抛物线、直线AC的函数关系式；
（2）设点M为直线AC上一个动点，求MD+ME的最小值；
（3）如图2，△ACD，一直线平行于AD，交边AC于点M、交边CD于点N，使得AM＝CN．求点M的坐标．
【变式8.1】（2020春•江阴市期中）如图，抛物线y＝ax2+6ax+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，分别连接AC、BC，则有tan∠ABC＝2，∠ACB＝90°，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设D为抛物线的顶点，点E（m，0）为线段OA上任意一点，过点E作x轴的垂线分别交直线AC及抛物线于点F、点G，当△ADF是锐角三角形时，求m的取值范围．
（3）在（2）的前提下，设FG＝s，求2s+3m的最大值．
【变式8.2】【变式8.2】（2021·江苏广陵·九年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点P，使得？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点D为线段上的一个动点，过点D作轴，交二次函数的图像于点E，求线段长度的最大值．
【变式8.3】（2021·江苏丹阳·二模）如图1，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点、．与y轴交于点C，点P是该抛物线的对称轴（x轴上方部分）上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AP、BP将沿直线AP翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标；
（3）如图2，过点P作轴交抛物线于点E、F，连接AC，交线段EF于M，AC、OF交于点N．求的最大值．
【考点9】二次函数的综合：与角数量关系问题
【例9】（2020秋•江苏省姑苏区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点（0，﹣3）．
（1）求a的值；
（2）若P为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点，求证：∠ACO＝∠PCB；
（3）若Q为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上一点，且∠ACO＝∠QCB，求Q点的坐标．
【变式9.1】（2020•吴江区二模）如图，二次函数y＝ax2﹣6ax﹣16a（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，且OD＝AB．
（1）求点A，B的坐标及a的值；
（2）点P为y轴右侧抛物线上一点．
①如图①，若OP平分∠COD，OP交CD于点E，求点P的坐标；
②如图②，抛物线上一点F的横坐标为2，直线CF交x轴于点G，过点P作直线CF的垂线，垂足为Q，若∠PCQ＝∠BGC，求点Q的坐标．
【变式9.2】【变式9.2】（2021·江苏盐都·二模）如图坐标系中，矩形ABCD的边BC在 y轴上，B（0，8），BC＝10，CD＝5，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转使点C落在x轴上．现已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点D、C′和原点O．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将矩形A′BC′D′沿直线BC′翻折，点A′的对应点为M，请判断点M是否在所给抛物线上，并简述理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使∠POC′＝2∠CBD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
【变式9.3】（2021·江苏建湖·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点10】二次函数的综合：与平行四边形问题
【例10】（2020•丹阳市模拟）已知函数y1＝2kx+k与函数y2=x2-2x+3，定义新函数y＝y2﹣y1
（1）若k＝2，则新函数y＝ x2﹣6x+1 ；
（2）若新函数y的解析式为y＝x2+bx﹣2，则k＝ 5 ，b＝ ﹣12 ；
（3）设新函数y顶点为（m，n）．
①当k为何值时，n有大值，并求出最大值；
②求n与m的函数解析式；
（4）请你探究：函数y1与新函数y分别经过定点B，A，函数y2=x2-2x+3的顶点为C，新函数y上存在一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k的值．
【变式10.1】（2020秋•江苏省姑苏区期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
【变式10.2】（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M；
（1）已知，两点，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，过点C的直线PQ与抛物线交于另一 点P（点P在对称轴右侧），点Q在PC的延长线上，连结OP，OQ，MP和MQ．若b＝﹣2，PC=3QC，是否存在这样的点P，使四边形POQM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10.3】（2021·江苏·苏州高新区第二中学九年级阶段练习）如图，抛物线的图像与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连结．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为点M从点A出发，沿方向以个单位/秒的速度向终点C匀速运动，动点N从点O出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点A匀速运动，设点，M、N同时出发，运动时间为．
①连结、，当t为何值时，为直角三角形；
②在两个动点运动的过程中，该抛物线上是否存在点P，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点11】二次函数的综合：与三角形存在性问题
【例11】（2020•梁溪区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为t秒．
（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；
（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．
【变式11.1】（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
【变式11.2】（2021·江苏·海安市紫石中学九年级阶段练习）x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a＜b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x+3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的闭函数．
（1）请说明是上的闭函数；
（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；
（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为 ．
【变式11.3】（2021·江苏吴江·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数．

（1）写出的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标．
【考点12】二次函数的综合：相似问题
【例12】（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2-32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
【变式12.1】（2021·江苏昆山·九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2＋bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x＋2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥AE于点H．
（1）抛物线的表达式中，a＝ ，b＝ ；
（2）在点P的运动过程中，若PH取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．
【考点13】二次函数的综合：圆相结合问题
【例13】（2020•广陵区校级一模）如图，已知二次函数y=49x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，⊙C的半径为5，P为⊙C上一动点．
（1）点B，C的坐标分别为B ，C ；
（2）当P点运动到（﹣1，﹣2）时，判断PB与⊙C的位置关系，并说出理由；
（3）是否存在点P，使得△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值＝ ．
【变式13.1】（2020•天宁区校级模拟）如图，在直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴交于点D（0，3）．
（1）直接写出c的值；
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右边），顶点为C点，求直线BC的解析式；
（3）已知点P是直线BC上一个动点：
①当点P在线段BC上运动时（点P不与B、C重合），过点P作PE⊥y轴，垂足为E，连结BE．设点P的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
②试探索：在直线BC上是否存在着点P，使得以点P为圆心，半径为r的⊙P，既与抛物线的对称轴相切，又与以点C为圆心，半径为1的⊙C相切？如果存在，试求r的值；如果不存在，请说明理由．
第天
……
每件进价（单位：元）
……
时间x（天）
售价（元/斤）
第1次降价后的价格_____元/斤
第2次降价后的价格为8.1元/斤
销量（斤）
储存和损耗费用（元）
速度v（千米/小时）
…
5
10
20
32
40
48
…
流量q（辆/小时）
…
550
1000
1600
1792
1600
1152
…
进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
400
600
200
B型
800
1200
400
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40
90
每天销量（件）
200﹣2x