2023-2024学年江苏省盐城市实验高级中学高三上学期第6次质量检测数学试卷

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单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
2．若复数，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
4．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
5．已知数列的各项均为正数，且.若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
6．已知，且则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
7．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
8．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．向量共面，即它们所在的直线共面
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量，则在上的投影向量为
【答案】BCD
9．已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，则（ ）
A．函数的周期为4B．对称中心是
C．D．若，则
【答案】ACD
【详解】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，则，即函数关于点对称；所以有①， 又②，所以函数关于直线对称，
则由②得：，，所以，则又由①和②得：，得，
所以，即，所以函数的周期为，
则，
所以，所以B错误，ACD正确.故选：ACD
10．如图，在正方体中，，点E、F分别为的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则平面
C．若，则四面体的外接球的表面积为
D．平面截正方体所得截面的周长为
【答案】BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
11．已知，则 .
【答案】
12．已知，，，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，，所以，当且仅当时取等号，即时，有最小值，故答案为：
13．已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在[1,2023]内的所有“好数”的和为 ．
【答案】2026
14．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为 ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
正八边形内角和为，则，所以，,,
因为，则，所以，解得，所以；设，则，则，令，即，由线性规划知平行移动直线，
当此直线经过时有最小值, 当此直线经过时有最大值,
所以， 取值范围 .故答案为：，.
另法：可以用投影向量做。
四、解答题：本大题共5小题，每题12分，共计60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量，，其中，，且函数的对称轴间的距离最小值为.
(1)求的解析式；
(2)方程在上有且仅有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
【详解】（1），
由于函数的对称轴间的距离最小值为，从而函数的最小正周期为，所以.综上，.
（2），，，
当时，单调递增，此时，
当时，单调递减，此时，所以满足条件的取值范围为.
16．如图.在四棱锥中，底面是矩形，平面ABCD , E为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
【详解】（1）连接，交于点，连接，

∵为中点，为中点，∴.又∵平面，平面，∴平面.
（2） 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，则，，，设平面的法向量为，
则，令，得.设直线与平面所成角为，
且，∴，∴，
即直线与平面所成角的余弦值为.
17．在中，角所对的边分别为，若且.
(1)求的值；
(2)若平分，且交于点，求的面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，则，
又，由余弦定理得：
化简为，把代入上式，并化简可得：；
（2）设,因为平分，且交于点，则，
即，又，，
化简为，又，所以则
所以的面积
已知数列满足，，，数列满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，数列的前n项和为，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）因为，当时，，解得；
当时，可得，作差得，即；
且，满足，所以为常数列，即，则，，
由题意可知：数列是以首项为2，公比为2的等比数列，则，
（2）由（1）可知：数列满足，数列的前n项和，
则，两式相减得，
所以，不等式化为，
可知数列为递增数列，则有：若n为偶数，，取，可得；
若n奇数，，取，可得；综上所述：实数的取值范围是．
19．已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线平行，求函数的极值；
(2)已知，若恒成立.求证：对任意正整数，都有.
【详解】（1）由，可得，
由条件可得，即.
则，
令可得，当时，，当时，.
在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，无极小值.
（2），即对任意的恒成立，
即，其中，
令，则，即，
构造函数，则，令，得，列表如下：
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，，
即时，恒成立，
取，则对任意的恒成立，
令，则，
所以，
所以，即.+
0
-
极大值