04，江西省新干中学2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷

这是一份04，江西省新干中学2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷，共13页。

A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1}
2．（5分）给出下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2＞2（a﹣b﹣1）；③x2+y2＞2xy．其中恒成立的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（5分）已知命题p：8≤7；命题q：函数y＝csx的图象关于直线x=π2对称．则下列判断正确的是（ ）
A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真
4．（5分）命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为（ ）
A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥l
C．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥l
5．（5分）对于样本相关系数，下列说法错误的是（ ）
A．可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B．可以是正的，也可以是负的
C．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越高
D．取值范围是[﹣1，1]
6．（5分）用二分法研究函数f（x）＝x2+3x﹣1的零点时，第一次经过计算发现f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点∈（0，0.5），则第二次还需计算函数值（ ）
A．f（1）B．f（﹣0.5）C．f（0.25）D．f（0.125）
7．（5分）已知x，y∈R+，若x+y+xy＝8，则xy的最大值为（ ）
A．2B．2C．4D．16
8．（5分）用[x]表示x的整数部分，即[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2]＝2，[2.3]＝2，[﹣2.3]＝﹣3，设函数ℎ(x)=ln(x+x2+1)，则函数f（x）＝[h（x）]+[h（﹣x）]的值域为（ ）
A．{0}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣2，0}
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知0＜α＜β＜π2，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（ ）
A．tanα+tanβ＝﹣kB．tan（α+β）＝﹣k
C．k＞22D．k+tanα≥4
（多选）10．（5分）社区卫生服务中心（站）是我国医疗卫生服务和公共卫生应急管理体系的网站，是政府履行提供基本卫生服务职能的平台．社区卫生服务中心（站）可促进社区居民的基本需求（如疫苗接种、基本诊疗等）就近在社区得到解决，图中记录的是2010年至2021年十二年间我国社区卫生服务中心（站）的个数，根据此图可得关于这十二年间卫生服务中心（站）个数的结论正确的是（ ）
A．逐年增多
B．平均每年约增加0.33万个
C．每年相对于前一年的增量连续增大
D．从2013年到2021年的增幅约为6%
（多选）11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的有（ ）
A．f（﹣1）＝0
B．f（x）在（﹣1，0）上是增函数
C．f（x）＞0的解集为（0，1）
D．f（x）的最大值为14
（多选）12．（5分）设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．令f（x）＝x﹣[x]，以下结论正确的有（ ）
A．f（﹣1.1）＝0.9
B．f(13)=f(−13)
C．f（x+1）＝f（x）+1
D．函数f（x）的值域为[0，1）
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）若幂函数y=(m2−4m+4)xm2−6m+8在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为 ．
14．（5分）下列各个对数中，其值为负的有 ，其值在0.1之间的有 ，其值大于1的有 ．
（1）ln2；（2）ln14；（3）lg5；（4）lg15；（5）lg0.32；（6）lg34；（7）lg0.40.3；（8）lg1615．
15．（5分）已知函数f（x），对于任意的x＞0，f（x）+2f（﹣x）＝0，当x＜0时，f(x)=ln(−1x)+2x，则f（1）＝ ．
16．（5分）已知函数f（x）＝ex+e﹣x+|x|．下面四个结论：
①f（x）是奇函数；
②f（x）在[0，+∞）上为增函数；
③若x≠0，则f(x+1x)＞e2+2；
④f（3x）＜f（f（x））对任意实数x恒成立．
其中正确的是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知A={x|2x−3x−1≤1}，B={x|x2−(a+1)x+a≤0}．
（1）若a=12，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
18．（12分）某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间[600，700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．
（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；
（2）经相关部门统计，高考分数≥680以上的考生获得高校T“强基计划”入围资格，并制作高校T录取政策和考生录取预测统计表（如表所示）．第一轮笔试有2科，学生通过考试获得相应等级的事件相互独立且概率相同．
若该班级考分前10名都已经报考了高校T的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分．求：
①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率P1；
②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T录取的概率P2．
19．（12分）已知关于x的不等式ax2+bx﹣3＞0（a，b∈R）．
（1）若不等式的解集为(−1，−35)，求实数a，b的值；
（2）若b＝a﹣3，求此不等式的解集．
20．（12分）如图，现有一直径AB＝2百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足OC＝OD＝2百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．
（1）设∠EOB＝θ，试将管道总长（即线段EC+ED）表示为变量θ的函数；
（2）求管道总长的最大值．
21．（12分）已知：函数f（x）＝lga（2+x）﹣lga（2﹣x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求f（x）定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．
22．（12分）设a∈[0，4]，已知函数f（x）=4x−ax2+1，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）是奇函数，求a的值；
（Ⅱ）当x＞0时，证明：f（x）≤a2x﹣a+2；
（Ⅲ）设x1，x2∈R，若实数m满足f（x1）•f（x2）＝﹣m2，证明：f（m﹣a）﹣f（1）＜18．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：由2x2﹣5x≤0，解得0≤x≤52，
所以B={x|0≤x≤52}，
所以∁RB＝{x|x＜0或x＞52}，
因为A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
所以A∩（∁RB）＝{﹣2，﹣1}．
故选：D．
2．【解答】解：①a2+3﹣2a＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，所以a2+3＞2a，故①正确；
②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以a2+b2≥2（a﹣b﹣1），故②不正确；
③x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，故③不正确．
故恒成立的个数是1．
故选：B．
3．【解答】解：命题p是假命题；
∵函数y＝csx的图象的对称轴方程为x＝kπ，k∈z．∴命题q为假命题
由复合命题真值表知：￢q是真命题；p∧q是假命题；p∨q是假命题，
故选：C．
4．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为，∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1
故选：A．
5．【解答】解：对于相关系数的定义：
当相关性越强，相关系数就越接近于±1；
当相关系数的绝对值越小，相关性越弱：
当系数为正数时，为正相关，系数为负数时，为负相关，
故选：C．
6．【解答】解：根据题意，第一次经过计算发现f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点∈（0，0.5），
由于12（0+0.5）＝0.25，则第二次需计算f（0.25），
故选：C．
7．【解答】解：∵正数x，y满足x+y+xy＝8，
∴8﹣xy＝x+y≥2xy，
xy+2xy−8≤0，
解得0＜xy≤2，
故xy≤4，当且仅当x＝y＝2时取等号．
∴xy的最大值为4
故选：C．
8．【解答】解：函数h（x）的定义域为R，则h（x）+h（﹣x）＝ln（x+x2+1）+ln（x2+1−x）＝ln（x2+1−x）（x2+1+x）＝ln（1+x2﹣x2）＝ln1＝0，
即h（﹣x）＝﹣h（x），则h（x）是奇函数，
则f（x）＝[h（x）]+[h（﹣x）]＝[h（x）]+[﹣h（x）]，
若h（x）＝n，n是整数，则[h（x）]+[﹣h（x）]＝n﹣n＝0，
如n＜h（x）＜n+1，n∈Z，
则﹣（n+1）＜﹣h（x）＜﹣n，n∈Z，
则[h（x）]＝n，[﹣h（x）]＝﹣（n+1）＝﹣n﹣1，
则[h（x）]+[﹣h（x）]＝n﹣n﹣1＝﹣1，
综上f（x）＝﹣1或0，
即f（x）的值域为{﹣1，0}，
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：∵已知0＜α＜β＜π2，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，
∴tanα+tanβ＝k＞0，tanα•tanβ＝2，tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=k1−2=−k，
∴k＞2tanα⋅tanβ=22，
k+tanα＝2tanα+tanβ≥22tanα⋅tanβ=4，当且仅当2tanα＝tanβ时，等号成立，故D正确，
故选：BCD．
10．【解答】解：对于A，由折线图得这十二年间卫生服务中心（站）个数逐年增多，故A正确；
对于B，平均每年约增加36000−3279311≈0.0292万个，故B错误；
对于C，32860﹣32793＝67，33562﹣32860＝702，33965﹣33562＝403，…
∴每年相对于前一年的增量不是连续增大，故C错误；
对于D，从2013年到2021年的增幅约为：36000−3396533965×100%≈6%，故D正确．
故选：AD．
11．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则f（1）＝1﹣1＝0，又由f（x）为偶函数，则f（﹣1）＝f（1）＝0，A正确；
对于B，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＝﹣（x−12）2+14，在区间（0，12）上为增函数，又由f（x）为偶函数，则f（x）在区间（−12，0）为减函数，B错误，
对于C，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＞0，解得0＜x＜1，又由f（x）为偶函数，当x＜0时，若f（x）＞0，必有﹣1＜x＜0，
则f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1），C错误，
对于D，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＝﹣（x−12）2+14，在区间[0，+∞）上，f（x）的最大值为14，又由f（x）为偶函数，在区间（﹣∞，0]，f（x）的最大值为14，
综合可得：f（x）的最大值为14，D正确，
故选：AD．
12．【解答】解：f（﹣1.1）＝﹣1.1﹣[﹣1.1]＝﹣1.1﹣（﹣2）＝0.9，故A正确；
f(13)=13−[13]=13−0=13，f(−13)=−13−[−13]=−13+1=23，
即f(13)≠f(−13)，故选项B错误；
f（x+1）＝x+1﹣[x+1]＝x+1﹣[x]﹣1＝x﹣[x]＝f（x），故C错误；
由取整函数的定义知，
对于D，由C的判断可知，f（x）为周期函数，且周期为1，
当0≤x≤1时，则
当x＝0时，f（0）＝0﹣[0]＝0，
当0＜x＜1时，f（x）＝x﹣[x]＝x﹣0＝x，此时值域为（0，1）
当x＝1时，f（x）＝1﹣[1]＝1﹣1＝0，
故当0≤x≤1时，则有0≤f（x）＜1，
故函数f（x）的值域为[0，1），故D正确．
故选：AD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：∵幂函数y=(m2−4m+4)xm2−6m+8在（0，+∞）上为增函数，
∴m2−4m+4=1m2−6m+8＞0，解得m＝1．
故答案为：1．
14．【解答】解：（1）ln2∈（0，1）；
（2）ln14＜0；
（3）lg5∈（0，1）；
（4）lg15＜0；
（5）lg0.32＜0；
（6）lg34＞1；
（7）lg0.40.3＞1；
（8）lg1615∈（0，1）；
故答案为：值为负的有 （2）（4）（5）；其值在0.1之间的有 （1）（3）（8），其值大于1的有（6）（7）．
15．【解答】解：∵对于任意的x＞0，f（x）+2f（﹣x）＝0，
∴f（1）+2f（﹣1）＝0，即f（1）＝﹣2f（﹣1），
∵当x＜0时，f(x)=ln(−1x)+2x，
∴f（﹣1）＝ln1+2×（﹣1）＝﹣2，
故f（1）＝﹣2f（﹣1）＝4，
故答案为：4．
16．【解答】解：对于①，函数f（x）＝ex+e﹣x+|x|的定义域为R，
因为f（﹣x）＝e﹣x+ex+|﹣x|＝f（x），则f（x）为偶函数，故选项①错误；
对于②，当x≥0时，ex＞1，f（x）＝ex+e﹣x+x，
则f'（x）＝ex﹣e﹣x+1在[0，+∞）上为增函数，f'（x）≥f′（0）＝1＞0，
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，故选项②正确；
对于③，因为f（x）是偶函数，所以f（x+1x）＝f（|x|+1|x|），
又|x|+1|x|≥2|x|⋅1|x|=2，当且仅当x＝±1时取等号，
所以f（|x|+1|x|）≥f（2）＝e2+e﹣2+2＞e2+2，故选项③正确；
对于④，当0≤x≤1时，ex+e﹣x≥2x，
当x＞1时，ex+e﹣x＞ex≥2x，
即当x≥0时，f（x）＞3x≥0，
又f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（x）是偶函数，
所以f（|3x|）＜f（|f（x）|），
所以f（3x）＜f（f（x））对任意实数x恒成立，故选项④正确．
故答案为：②③④．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）若a=12，则集合B＝{x|x2−32x+12≤0}＝[12，1]，
又集合A＝{x|2x−3x−1≤1}＝{x|x−2x−1≤0}＝（1，2]，
所以A∪B=[12，2]；
（2）因为A⊆B，所以B＝{x|（x﹣a）（x﹣1）≤0}＝[1，a]，
则a≥2，
即实数a的取值范围是[2，+∞）．
18．【解答】解：（1）根据频率分布折线图，画出频率分布直方图如下：
平均分为：x=（610×0.004+630×0.007+650×0.02+670×0.014+690×0.005）×20＝653.6；
（2）总分大于等于680分的同学有50×0.005×20＝5人，
由已知，其中有3人小于等于690分，2人大于690分，
①P1＝1﹣P（A+A++A+A+A+B）＝1﹣（23）2−C21×23×16−C21×23×112=1−49−29−19=29；
②设高于690分的同学被高校T提前录取为事件M，不超过690分的同学被高校T提前录取为事件N，
则P（M）＝P（A+A+）+23P（A+A+A+B）＝（23）2+23×（C21×23×16+C21×23×112）=23，
P（N）＝P（A+A+）+25P（A+A+A+B）＝（13）2+25×（C21×13×14+C21×13×16）=19+25（16+19）=29，
∴该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率：
P2＝（23）2×（79）3+（13）2×C32×79×(29)2+C21×13×23×C32×29×(79)2=137238+8438+117638=26326561．
19．【解答】解：（1）因为不等式ax2+bx﹣3＞0的解集为(−1，−35)，
所以﹣1和−35是方程ax2+bx﹣3＝0的两个实数根，
所以−1−35=−ba−1×(−35)=−3a，解得a＝﹣5，b＝﹣8．
（2）b＝a﹣3时，不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，
当a＝0时，解不等式得x＜﹣1；
当a＞0时，不等式化为（x−3a）（x+1）＞0，且3a＞−1，解不等式得x＜﹣1或x＞3a；
当a＜0时，不等式化为（x−3a）（x+1）＜0，
若a＝﹣3，则3a=−1，不等式化为（x+1）2＜0，不等式无解；
若﹣3＜a＜0，则3a＜−1，解不等式得3a＜x＜﹣1；
若a＜﹣3，则3a＞−1，解不等式得﹣1＜x＜3a；
综上知，a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）；
a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3a，+∞）；
a＝﹣3时，不等式的解集为∅；
﹣3＜a＜0时，不等式的解集为（3a，﹣1）；
a＜﹣3时，不等式的解集为（﹣1，3a）．
20．【解答】解：（1）在△DOE中，由余弦定理得：
ED2＝OD2+OE2﹣2OD•OE•cs∠EOD＝4+1﹣2×2×1×csθ＝5﹣4csθ，
在△COE中，由余弦定理得：
EC2＝OC2+OE2﹣2•OC•OE•cs∠EOC＝4+1﹣2×2×1×cs（π﹣θ）＝5+4csθ，
∴EC+ED=5+4csθ+5−4csθ=f（θ），θ∈[0，π]．
∴将管道总长（即线段EC+ED）表示为变量θ的函数为：
f（θ）=5+4csθ+5−4csθ，θ∈[0，π]．
（2）由（1）可得：
[f（θ）]2=(5+4csθ+5−4csθ)2=10+25+4csθ⋅5−4csθ
＝10+225−16cs2θ≤10+225=20（百米），θ∈[0，π]．
当且仅当cs2θ＝0，即θ=π2时取等号，
∵f（θ）=5+4csθ+5−4csθ＞0，∴f（θ）≤20=25（百米）．
∴管道总长的最大值为25百米，
21．【解答】解：（Ⅰ）由题意得2+x＞02−x＞0，即﹣2＜x＜2．
∴f（x）的定义域为（﹣2，2）；
（Ⅱ）∵对任意的x∈（﹣2，2），﹣x∈（﹣2，2）
f（﹣x）＝lga（2﹣x）﹣lga（2+x）＝﹣f（x），
∴f（x）＝lga（2+x）﹣lga（2﹣x）是奇函数；
（Ⅲ）f（x）＝lga（2+x）﹣lga（2﹣x）＞0，即lg2（2+x）＞lga（2﹣x），
∴当a∈（0，1）时，可得2+x＜2﹣x，即﹣2＜x＜0．
当a∈（1，+∞）时，可得2+x＞2﹣x，即x∈（0，2）．
22．【解答】（Ⅰ）解：由题意，对任意x∈R，都有f（﹣x）＝﹣f（x），
即−4x−ax2+1=−4x−ax2+1，即﹣4x﹣a＝﹣4x+a，
可得a＝0．
（Ⅱ）证明：因为x＞0，a∈[0，4]，
4x−ax2+1−（a2x﹣a+2）=4x−a−(a2x−a+2)(x2+1)x2+1
=−12(x2+1)[ax（x2﹣2x+1）+4（x2﹣2x+1）]
=−12(x2+1)（ax+4）（x﹣1）2≤0，
所以f（x）≤a2x﹣a+2．
（Ⅲ）证明：设t＝4x﹣a，则y＝f（x）=4x−ax2+1=16tt2+2at+a2+16（t∈R），
当t＝0，y＝0；
当t≠0时，y=16t+a2+16t+2a，
所以f（x）max=8a+a2+16＞0，
f（x）min=8a−a2+16＜0，
因为f（x1）•f（x2）＝﹣m2，
所以﹣m2≥f（x）max•f（x）min＝﹣4，
即﹣2≤m≤2，
①当m﹣a≤0时，f（m﹣a）≤0，f（1）=4−a2≥0，
所以f（m﹣a）﹣f（1）＜18；
②当m﹣a＞0时，由（Ⅱ）知，
f（m﹣a）﹣f（1）≤a2（m﹣a）﹣a+2−4−a2=a2（m﹣a﹣1）≤a2（1﹣a）≤18，等号不能同时成立．
综上可知，f（m﹣a）﹣f（1）＜18．高考分数
[680，690]
＞690
第一轮笔试
学科测试等级
A+
A
B
C
A+
A
B
C
学生通过考试获得相应等级概率
13
14
16
14
23
16
112
112
第二轮面试
入围条件
至少有1科A+，且2科均不低于B
录取条件
全A+
在第一轮笔试中2科均获得A+
通过第二轮面试
考生通过概率为25
考生通过概率为23