40，江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高二上学期1月月考数学试题

这是一份40，江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高二上学期1月月考数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（40分）
1. 正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（ ）
A. 24B. 25C. 48D. 50
【答案】D
【解析】
【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果.
【详解】因为正四面体的棱长为，
所以，
同理可得,,
又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，,
所以，
由，则
因为，所以
当且仅当取等号，
此时，
所以
故的最小值为.
故选：D
2. 如图，在三棱柱中，若，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解.
【详解】解：，
故选：C
3. 已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量的概念求解即可.
【详解】∵，
∴，，
∴在上的投影向量为，
故选：C.
4. 设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可.
【详解】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确；
对于B，若两个不同平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确；
对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确；
对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误.
故选：D
5. 已知直线与平行，则（ ）
A. 1B. 7C. 或D. 1或7
【答案】B
【解析】
【分析】由两直线平行列出方程，再求解方程并验证即得.
【详解】由直线与平行，
得，解得或，
当时，直线与，两直线重合，不符合题意；
当时，直线与平行，符合题意，
所以.
故选：B
6. 已知，经过两点的直线方程都可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对参数是否为0进行分类讨论，将直线方程的不同形式进行比较即可得出结果.
【详解】当都不为0时，所有经过两点的直线方程均可以用表示，
即，
当中有一个为0时，只有选项符合题意，
故选：.
7. 两条直线与之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.
【详解】由两平行线之间的距离公式可得.
故选：C
8. 若方程表示一个圆，则m可取的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程，依题须使右式大于零，求得的范围，对选项进行判断即可.
【详解】由方程分别对进行配方得：，
依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足.
故选：D.
二、多选题（20分）
9. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（ ）
A. 线段长度的最小值为
B. 当直线斜率为时，中点坐标为
C. 以线段为直径的圆与直线相切
D. 存在点，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：通过联立思想得到，由此可计算出，利用焦点弦公式以及基本不等式求解出的最小值；B：利用点差法求解出纵坐标后可判断；C：利用抛物线定义计算出圆心到准线的距离，并判断距离是否等于半径即可；D：代入坐标，计算出的值，根据结果再进行判断.
【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，，
联立可得，且，
所以，所以，且，
所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：因为，所以，所以，
所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误；
对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线，垂足分别为，如下图：
由抛物线的定义可知：，
即等于以为直径的圆的半径长，故C正确；
对于D：当时，
所以，
由选项A可知：，所以，所以此时，
所以的倾斜角互补，所以，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：已知是抛物线的过焦点的一条弦，设，则有：（1）；（2）.
10. 若圆上恰有两点到直线的距离等于1，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离为2，结合题中条件可得，解出即可.
【详解】圆心到直线的距离，
因为圆上恰有两点到直线的距离等于1，
所以，即，解得.
故选:.
11. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由相同渐近线的双曲线的特征即可得解.
【详解】由题可设双曲线的方程为，当时，对应的方程为，
而BD中的方程均不能化成“”这样的形式.
故选：AC.
12. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 当时，
C. 以线段为直径的圆与直线相切
D. 当最小时，切线与准线的交点坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，，再根据抛物线的定义及借助基本不等式即可判断A；先结合A得到，，再根据题意得到，，进而即可判断B；设，，在准线上的射影为，，，根据题意求得即可判断C；结合A可得，当最小时，不妨取，则可设切线的方程，再抛物线方程得到关于的一元二次方程，从而得到，从而得到切线方程，再联立准线方程即可求出交点，进而即可判断D．
【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，，
联立，消整理得，
则，代入得，
则，当且仅当时取等号，
所以 的最小值为，故A正确；
对于B，结合A可得，，
由，得，解得，，故B错误；
对于C，由题意得抛物线的准线方程为，焦点，
设，，在准线上的射影为，，，
则，，，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确；
对于D，结合A可得，当最小时，不妨取，
则可设切线的方程为，
联立，消整理得，
则，解得，所以切线的方程为，
联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（20分）
13. 已知椭圆的焦点分别为，点A，B在椭圆上，于，，则椭圆的长轴长为______.
【答案】6
【解析】
【分析】利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆的长轴长．
【详解】
由题意椭圆的焦点分别为，点A，B在椭圆上，
且于，，
可得，
将代入，可得，
从而，又，所以解得.
所以所求椭圆的长轴长为6.
故答案为：6.
14. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，，，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由空间中两点间距离公式代入计算，即可得到结果.
【详解】当，则，，由两点间的距离公式可得：
.
故答案为：
15. 设平面向量，，其中为单位向量，且满足，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由两边平方可得，根据，可得，根据单调性即可求解.
【详解】因为，所以，即，可得.
所以
，
所以的最小值为.
故答案为:.
16. 若抛物线的焦点坐标为，则________.
【答案】12
【解析】
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标为，从而可求解.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
所以，解得.
故答案为:12.
四、解答题（70分）
17. 某食品加工厂生产出，两种新配方饮料，现从生产的，这两种饮料产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85的为废品，在内的为一等品，大于或等于115的为特等品.现把，两种配方饮料的质量指标值的测量数据整理如下表及图，其中饮料的废品有6件.
配方饮料质量指标值的频数分布表
B配方饮料质量指标值的频率分布直方图
（1）求，的值；
（2）若从，两种饮料中选择一种进行推广，以两种饮料的质量指标值的均值为判断依据，试确定推广哪种比较好?（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【答案】（1）
（2）选择配方较好
【解析】
【分析】（1）计算出配方的样本容量，结合配方的频数分布表可求得的值，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得的值；
（2）计算出、配方质量指标值的平均数和方差，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
因为A、配方样本容量相同，设为，
由于配方废品有6件，由配方的频率分布直方图可知，废品的频率为，解得，
所以，，
由，解得.
【小问2详解】
由（1）及A配方的频数分布表得，
A配方质量指标值的样本平均数为，
质量指标值的方差为，
由配方的频率分布直方图知，B配方质量指标值的样本平均数为
，
质量指标值的样本方差为
，
所以，，，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但配方质量指标值的样本方差比配方质量指标值的样本方差大，
所以，选择配方较好.
18. 已知圆的圆心为坐标原点，斜率为1且过点的直线与圆相切，圆：.
（1）若圆与圆相交于，两点，求线段的长度；
（2）若直线：与圆交于，两点，是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，使得.
【解析】
【分析】（1）斜率为1且过点直线方程为，由其与圆相切结合点到直线的距离公式可得圆的半径，从而可得圆的方程. 圆的方程减去圆的方程，可得所在的直线方程为，根据垂径定理可求；
（2）设的中点为，可得三点共线，根据斜率公式求出，由垂直关系可得，从而可求的值，再验证直线与圆有两个交点即可.
【小问1详解】
斜率为1且过点直线方程为，即.
则到直线的距离为，即为圆的半径，
所以圆的方程为.
由圆的方程减去圆的方程，可得，即.
因为圆与圆相交于，两点，则所在的直线方程为.
到的距离为，
所以.
【小问2详解】
假设存在实数，使得.
设的中点为，因为，所以.
又，所以三点共线.
圆：的圆心为,半径为3，
故，所以，即.
因为直线：，所以，解得,
此时直线：.
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆有两个交点，
所以存在实数，使得.
19. 已知，分别是椭圆的左顶点与左焦点，，是上关于原点对称的两点，，．
（1）求的方程；
（2）已知过点的直线交于，两点，，是直线上关于轴对称的两点，证明：直线，的交点在一条定直线上．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由椭圆得对称性可得，可得椭圆方程；
（2）设直线的方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理表示，，分别表示，联立可得，即可得证.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，其右焦点为，
由椭圆的对称性可知，即，
又，所以，，
则椭圆方程为：；
【小问2详解】
由已知可得直线的斜率一定存在，
则设直线的方程为，设，，
联立直线与椭圆，
得，，即，
则，，
设，，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
两式相减可得
又，
所以，即，
解得，
所以直线与的交点在直线上.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
20. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，为的中点.
（1）试在线段上找一点，使得平面，并证明；
（2）在（1）的条件下，若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）为线段的中点,证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）当为线段的中点时，平面.取的中点，连接，可证明四边形是平行四边形，，根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）取的中点，连接，可证明，再证明≌可得，由面面垂直的性质可得两两垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，根据向量法即可求解.
【小问1详解】
当为线段的中点时，平面.证明如下：
取的中点，连接，
因为分别为，的中点，
所以且，
又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
所以当为线段的中点时，平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，
因为分别为，的中点，
所以且，，
因为侧面为正方形，所以,
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，所以，
则，即，
因为，
所以≌，则，
所以，又，所以，
所以两两垂直，
故以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则,
所以.
设平面的法向量为，则，
令，可得，故.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21. 已知，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.
【小问1详解】
由已知可得，，
∴.
【小问2详解】
，，
∵，∴存在实数使得，
∴，，，联立解得.
22. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的弦AB．求：
（1）AB的长；
（2）的周长．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）设，，，，求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，将直线的方程代入双曲线的方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解；
（2）求出，的坐标，由两点的距离，即可得到△的周长．
【小问1详解】
解：双曲线的左焦点为，设，，，，
则直线的方程为，
代入方程得，，
，，
；
【小问2详解】
解：，不妨设，
由（1）可得，，，，
则的周长为．质量指标值
频数
8
22
26
8