45，宁夏吴忠市吴忠中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

这是一份45，宁夏吴忠市吴忠中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题，共18页。

1. 已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可.
【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：.
则，解得：.
所以双曲线的标准方程为.
故选：A
2. 若向量，且，则实数的值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合向量垂直的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为，所以，解得.
故选：D.
3. 在等差数列中，若是方程两根，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.
【详解】由于是方程的两根，
所以，即.
故选：A
4. 已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用抛物线准线方程得到，从而求得其标准方程，由此得解.
【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，设抛抛物线的标准方程为，
所以，得，故所求抛物线的标准方程为.
故选：A.
5. 某校校庆日为每年5月4日，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%，下雨的概率为30%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）
A. 6%B. 15%C. 30%D. 50%
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率的加法公式即可求解.
【详解】记吹风为事件A，下雨为事件B,
因为，
所以既吹南风又下雨的概率为：，
故选：B.
6. 已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A. B. C. -4D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案.
【详解】设弦与椭圆交于，，斜率为，
则，，相减得到，
即，解得.
故选：A.
7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率.
【详解】
设，
为等边三角形，，，又，
，，，
，，
，解得：（舍）或，
双曲线的离心率为.
故选：C.
8. 已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.
【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，
又在圆外，所以只需，可得.
故选：D
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 若，，，则事件与的关系错误是（ ）
A. 事件与互斥B. 事件与对立
C. 事件与相互独立D. 事件与既互斥又独立
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据积事件概率不为零可确定与不互斥，不对立，可得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确.
【详解】对于ABD，，事件与不互斥，不对立，ABD错误；
对于C，，，事件与相互独立，C正确.
故选：ABD.
10. 若为圆：上任意一点，点，则的取值可以为（ ）
A. 0.6B. 2C. 3.41D. 3.42
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用配方法，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】圆：化为标准方程得，
半径，，
所以的取值区间为．
故选：ABC

11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的焦点坐标是
B. 焦点到准线的距离是4
C. 若点P的坐标为，则的最小值为5
D. 若Q为线段MN中点，则Q的坐标可以是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据抛物线方程即可判断AB；过点作垂直于准线，垂足为，根据抛物线得定义结合图象即可判断C；假设Q的坐标是，利用点差法求出直线的方程，再判断焦点是否在直线上，即可判断D.
【详解】由题意，焦点到准线的距离是，故A错误，B正确；
对于C，过点作垂直于准线，垂足，
则，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，假设Q的坐标是，设，
则，
由直线l交抛物线于M，N两点，
得，两式相减得，
即，
所以，即，
所以直线的方程为，即，
将代入得，
所以直线过点，符合题意，
所以Q的坐标可以是，故D正确.
故选：BD.

12. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论正确的是（ ）
A. 平面平面；
B. 在棱上不存在点，使得平面
C. 当时，异面直线与所成角的余弦值为；
D. 点到直线的距离；
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据面面垂直的判定定理可判断A；由A的结论，可推得，即可知点到直线的距离即为的长度，计算求得长，判断D；采用平移法，作出异面直线与所成角，解三角形可求得与所成角的余弦值，判断C；结合C选项，根据线面平行的判定定理即可判断B.
【详解】A选项，因为平面，平面，平面，
所以，，
故即为与底面所成的角，即，
故，而，所以，
在直角梯形中，，
则，故，
又因为平面，所以平面，
因为平面 ，故平面平面，故A正确；
D选项：由A选项的证明过程可知：平面，
因为平面，所以，
故点到直线的距离即为的长度，
因为平面，平面，故，
而，
即点到直线的距离，故D正确；
对于C，当时，，即为的中点，
设为的中点，连接，
则，
而，故，
故四边形为平行四边形，则，
故异面直线与所成角即为的夹角，
在中，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为，C正确；
对于B，由C选项知，当时，，
因为平面，平面，
所以平面，
所以时，平面，故B错误.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知数列的前n项和，则数列通项公式为________.
【答案】
【解析】
【分析】
当n＝1时直接由Sn求出a1，当n≥2时由an＝Sn﹣Sn﹣1解得an，然后验证a1适合an得结论．
【详解】由，得
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，，
验：当n＝1时，a1＝1，不符合上式．
∴数列的通项公式为．
故答案为：.
【点睛】易错点睛：在数列中，由求时，分当n＝1时和当n≥2时两种情况，易错当n＝1时的检验在n≥2时是否成立.
14. 圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，则两圆相交，
故将两圆方程相减可得：，即，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为，
故答案为：
15. 已知某双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点，则该双曲线的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设双曲线方程为：，然后将点代入即可求解.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以该双曲线的方程可设为，
将点代入双曲线方程得，，所以：该双曲线的标准方程为．
故答案为：.
16. 过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率___________.
【答案】
【解析】
【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及，可求答案.
【详解】设，直线
与抛物线联立得，即；
，
因为，所以，
所以，代入可得
即，，
所以
故答案为：
四、解答题（本大题共6个题，17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 已知圆C：.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线l：与圆C相交于M、N两点，且，求m的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）变换得到，确定，解得答案.
（2）圆心到直线的距离为，再根据计算得到答案.
【小问1详解】
圆C：，即，
故，，即；
【小问2详解】
圆心为，半径，圆心到直线的距离为，
，解得.
18. 已知椭圆：过点 ，且短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求椭圆上点到直线：的最短距离
【答案】（1）
（2）.
【解析】
分析】（1）根据题意得，椭圆且过点，从而求解.
（2）设出直线的平行线与椭圆相切时即可求出最小值，从而求解.
【小问1详解】
由题意知，得，又点在椭圆上，所以，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
不妨设与直线：平行的直线与椭圆相切，
联立，消去并整理得，
因为，解得，
当时，直线与直线的距离；
当时，直线与直线的距离，
因为，所以符合题意，故距离的最小值为.
【点睛】方法点睛：求椭圆上到直线：的最小距离可转化为与直线平行且与椭圆相切的直线，然后利用直线与椭圆的位置关系即可求解.
19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；
（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
【答案】（1），焦点为
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程；
（2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可.
【小问1详解】
易知抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，所以，解得，
所以抛物线方程为，焦点为.
【小问2详解】
由（1）知抛物线的焦点，易知直线的斜率不为0，
不妨设直线的方程为，，，
联立消去并整理得，
此时，由韦达定理得，，
所以，
又，所以，，
因为，所以，
即，
可得，解得，
所以直线的方程为，即.
20. 如图，在四棱锥中，平面，．，E为的中点，点在上，且．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，求出两法向量的夹角余弦值，进而求出二面角的正弦值.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面；
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
，E为的中点，点在上，且，
故，
设，由得，
解得，故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
又平面的法向量为，
故，

故二面角的正弦值为.
21. 与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；
（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.
【小问1详解】
记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．
【小问2详解】
有3个家庭回答正确的概率为
，
有2个家庭回答正确的概率为
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
22. 已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM斜率为．

（1）求椭圆E方程；
（2）如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆所过的点和已知的AM的斜率列出方程组求解即可；
（2）设直线BC：，与椭圆方程联立，运用韦达定理得到C、D两点横坐标的关系，得到，代入直线方程和韦达定理化简即可得到答案.
【小问1详解】
因为椭圆过点，，且AM的斜率为，
所以，
解得，，
所以椭圆E的方程为
【小问2详解】
证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，
设，，
由，得，
，得，
则，，
因为，直线AD的方程为，
令，解得，
则，同理可得，
所以
为定值，
所以为定值，该定值为