36，陕西省西安市西安中学2024届高三上学期期末数学（文）试题

这是一份36，陕西省西安市西安中学2024届高三上学期期末数学（文）试题，共20页。试卷主要包含了 设集合，则， 设，则“”是“”的， 已知数列为等比数列，，则， 双曲线的焦点到渐近线的距离为， 在菱形中，，，，则等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 满分：150分）
命题人：丁云
一､单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义和运算即可求解.
【详解】由题意知，仅点在直线上，
所以.
故选：C
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用解不等式可判断“”和“”之间的推理关系，即可得答案.
【详解】由可得或，
由可得或，
即成立可推出成立，反之亦然，
故“”是“”的充要条件，
故选：C
3. 下列函数中，是偶函数且在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指对幂函数的性质判断各函数的奇偶性，再根据对数函数、二次函数的单调性确定答案.
【详解】为非奇非偶函数，为奇函数，故A、C不符合；
、为偶函数，
在上递增，而递减，B符合，D不符合.
故选：B
4. 已知数列为等比数列，，则（ ）
A. 9或B. 9C. 27或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比中项进行求解，注意符号即可.
【详解】根据等比中项可得，，
设等比数列公比为，根据等比数列性质，则，
注意到，故.
故选：B
5. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案.
【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，
其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，
则其焦点到渐近线的距离；
故选D.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.
6. 正方体中，直线与平面所成角的正弦值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设棱长为2，求出向量，以及平面的法向量，求两向量夹角的余弦值，即可得出结果.
【详解】如图，以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设棱长2，则，，，，
所以，，
因为在正方体中，，平面，所以，
又，所以平面，
因此向量为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则.
故选A
【点睛】本题主要考查求线面角，熟记空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.
7. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案.
【详解】.
故选：B.
【点睛】二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数，是基础题.
8. 在菱形中，，，，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，是的中点，由向量的线性表示，将向量选择合适的基底表示出来，按照向量的数量积求值即可.
【详解】
．
故选：B.
9. 设为直线上的动点，为圆的两条切线，为切点，则四边形面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由切线的性质可得四边形面积为，求出，又为圆心到直线的距离，即可求解.
【详解】圆的圆心，半径为，
两条切线，为切点，，
四边形面积为，
故当最小时，四边形面积最小，
又最小值为圆心到直线的距离，
，
故四边形面积最小值.
故选：A.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的性质，等价转化为点到直线距离是解题的关键，属于中档题.
10. 已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，利用点差法，整理方程，根据斜率公式和中点坐标公式，可得答案.
【详解】设，则从而，
故．由题意可得，
则，从而，故椭圆C的离心率．
故选：A.
11. 已知函数f(x)=cs4x+sin2x,下列结论中错误的是( )
A. f(x)是偶函数
B. 函数f(x)最小值为
C. 是函数f(x)的一个周期
D. 函数f(x)在内是减函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数定义进行判断；将函数化为关于sin2x的二次函数，根据二次函数性质确定最小值；根据周期定义判断C是否正确;举反例说明D不成立.
【详解】由f(-x)=cs4(-x)+sin2(-x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,故A正确;
f(x)=(1-sin2x)2+sin2x=sin4x-sin2x+1=,又sin2x∈[0,1],则当sin2x=时,f(x)min=,所以B正确;
f=sin4-sin2+1=cs4x+1-cs2x=cs4x+sin2x,则f(x)=f.所以C也正确,
因为 ，所以D错误，
选D
【点睛】本题考查偶函数、二次函数最值、周期、单调性，考查基本分析判断能力.
12. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知数列中，， （），则数列的前9项和等于_______．
【答案】27
【解析】
【分析】
先判断数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列求和公式求解即可.
【详解】因为（）所以（），
又因为，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
则数列的前9项和，
故答案为：27.
14. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过1000元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1000元，则超过1000元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算．
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为______元．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，分段讨论折扣优惠金额元与总金额元的函数关系，列式计算判断即得.
【详解】设顾客选购物品的总金额为元，获得的折扣优惠金额为元，则当时，，
当时，，
令，得，解得，不符合题意；
当时，，
令，所以，解得，符合题意，
所以他实际所付金额为元．
故答案为：1610
15. 已知关于的方程在区间内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】运用分离参数法，将方程有两个实数根的问题转化成两个函数在给定区间上有两个交点问题，继而只需研究函数的图象的单调性、最值和端点值比较即得.
【详解】由可得：，设，依题意，函数与函数的图象在时有两个交点.
由，，，
可知当时，，为减函数，当时，，为增函数，故时，
又且由知.
如图，要使函数与函数的图象在时有两个交点，须使，即实数的取值范围为：.
故答案为：.
16. 已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】.
【解析】
【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.
【详解】如图：
取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.
三､解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共60分．
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若点D是BC的中点，且，求△ABC的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理的角化边公式化简得到，结合余弦定理解出角的大小；
（2）利用两边平方得到,再利用基本不等式得出最大值.
【详解】（1）由题意得
（2）
,当且仅当时，等号成立.
故△ABC的面积的最大值是
【点睛】用三角形中线向量进行转化是解题关键.
18. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【解析】
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
19. 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）见解析；（2）1:1.
【解析】
【详解】试题分析：（1）取的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质得，，再根据线面垂直的判定定理得平面，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，结合平面几何知识确定，再根据锥体的体积公式得所求体积之比为1:1.
试题解析：

（1）取AC的中点O，连结DO，BO.
因为AD=CD，所以AC⊥DO.
又由于是正三角形，所以AC⊥BO.
从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.
（2）连结EO
由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.
在中，.
又AB=BD，所以
，故∠DOB=90°.
由题设知为直角三角形，所以.
又是正三角形，且AB=BD，所以.
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：
（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
20. 已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
【答案】(1)证明见解析；(2) ， 或， .
【解析】
【详解】（1）设，.
由 可得，则
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
21. 已知函数，其中为正实数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）设，若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）求导得，分，，三种情况分别讨论导函数的正负，可得出原函数的单调性；
（2），由已知得，求导，由（1）可得出函数的单调性，从而得出函数的最值，可得的取值范围.
【详解】（1），为开口向上的二次函数，
①若时，即时，的解集为，
所以当时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增；
②若时，即时，恒成立，函数在上单调递增；
③若时，即时，的解集为，
所以当时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增.
综上所述，当时，函数单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，函数单调递增区间是；
当时，函数单调递增区间是，单调递减区间是.
（2），
若存在，使得不等式成立，则，
，
由（1）知，当时，即时，函数在上单调递增，
，解得，所以；
当时，即时，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，，
则，函数在区间上单调递增，
所以恒成立，则；
当时，即时，函数在区间上单调递减，
不成立.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】本题考查含参数的函数的单调性的讨论，根据不等式的能成立求参数的范围的问题，属于较难题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22､23两题中任选一题作答．
22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.
【小问1详解】
因为l：，所以，
又因为，所以化简为，
整理得l的直角坐标方程：
【小问2详解】
[方法一]：【最优解】参数方程
联立l与C的方程，即将，代入中，
可得，
化简为，
要使l与C有公共点，则有解，
令，则，令，，
对称轴为，开口向上，
，
，
，即m的取值范围为.
[方法二]：直角坐标方程
由曲线的参数方程为，为参数，消去参数，可得，
联立，得，即，即有，即，的取值范围是．
【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视的范围限制而出错．
23. 已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.可以享受折扣优惠金额
折扣优惠率
不超过500元部分
5%
超过500元的部分
10%
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5