51，广东省部分名校2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

这是一份51，广东省部分名校2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，如图1，抛物面天线是指由抛物面，已知双曲线的左､右焦点分别为，已知直线，双曲线，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册､选择性必修第二册（只考第四章数列）.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为双曲线的一条渐近线，则（ ）
A. B.1 C. D.27
2.在等差数列中，若，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.3
3.圆和圆的位置关系为（ ）
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
4.在数列中，若，则下列数不是中的项的是（ ）
A.-1 B.-2 C.3 D.
5.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A. B. C. D.或
6.如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
7.在三棱锥中，，且，若满足，则到的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（ ）
A.2 B.3 C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知直线，双曲线，则（ ）
A.当时，与只有一个交点
B.当时，与只有一个交点
C.当时，与的左支有两个交点
D.当时，与的左支有两个交点
11.已知数列为等比数列，设的前项和为，的前项积为，若，，则（ ）
A. B.为等比数列
C. D.当时，取得最小值
12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字3，对应钟上数字9）.设的中点为，已知长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12，现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ）
A.若秒针指向了钟上数字5，如图2，则
B.若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面
C.若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为
D.若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量与共线，则__________.
14.写出与圆相切，且在轴和轴上的截距相等的一条直线的方程：__________.
15.在原点处发射一束激光，经过直线反射后撞击处的一个中子.已知的坐标为，光束射到的位置为点，则的坐标为__________.
16.如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设是第行数字1的个数，是第行数字2的个数，则__________，__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知为等差数列，是等比数列，且.
（1）求和的通项公式；
（2）若，求的值.
18.（12分）
已知圆经过点，且圆心在直线上.
（1）求线段的垂直平分线的方程及圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于两点，圆与轴相切于点，求的面积.
19.（12分）
已知抛物线的焦点为是上的点，且.
（1）求的方程；
（2）已知直线交于两点，且的中点为，求的方程.
20.（12分）
如图，长方体的底面为正方形，为上一点.
（1）证明：.
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
21.（12分）
记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和.
22.（12分）
动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹为.
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）若过的直线与交于两点，点是上一点，的最大值为，最小值为，且成等比数列，求的方程.
2023—2024学年广东高二第一学期期末教学质量检测
数学参考答案
1.A 由题可知，解得.
2.B 由等差数列的性质可得，则.
3.A 圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为7，
则，所以圆和圆内切.
4.A 由题意得，所以为周期数列，且周期为4，故选A.
5.D 由题得，所以，所以或.
6.B 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，则，即，所以
，解得（舍去）或，则到顶点的距离为3.
7.D ，则
到的距离.
8.A 由已知可设，则，由双曲线的定义有.在中，由余弦定理推论得.在中，由余弦定理得，解得，即的离心率为2.
9.BC 设所求直线的方程为，由题意可得，解得或-4.故所求直线的方程为或.
10.ABD 当时，与的渐近线平行，与只有一个交点，当时，与的左支和右支各有一个交点，当时，与的左支有两个交点.
11.ACD 设数列的公比为，则，又，所以，则，所以不是等比数列，因为当时，，当时，，所以，当时，取得最小值.
12.ACD 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.若秒针指向了钟上数字5，则，则，
，所以，故是平面的一个法向量.因为，所以，所以与不垂直，从而与平面不平行.A正确，不正确.若秒针指向了钟上数字4，则.由，得.因为，所以外接圆的半径，则四面体的外接球的半径，则，故四面体的外接球的表面积为.C，D正确.
13.15 由，得，解得.
14.或（写对一个就可以得满分） 由题可设直线的方程为，又因为与圆相切，所以，故.
15. 设点关于直线对称的点为，则解得所以，则直线的方程为，联立直线与，可得，即.
16.； 由题可知，所以，所以，，所以.
17.解：（1）设数列的公差为，数列的公比为.
因为，所以，即，
所以，
所以，则，
所以.
（2）
.
18.解：（1）设线段的垂直平分线的斜率为，则线段的中点为，
所以，则，所以线段的垂直平分线的方程为
由得圆心，所以，
所以圆的标准方程为.
（2）圆心到直线的距离，
则.
因为圆与轴相切于点，所以，
又到直线的距离为，
所以的面积为.
19.解：（1）因为，
所以，
故抛物线的方程为.
（2）易知直线的斜率存在，设的斜率为，
则
两式相减得，整理得.
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，即.
20.（1）证明：由题可知，平面，所以，
连接，因为四边形为正方形，所以，
又，所以平面，
所以.
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则.
因为平面，所以，解得.
所以平面的一个法向量为，
易知是平面的一个法向量，
，所以平面与平面夹角的余弦值为.
21.解：（1）因为，故，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
则，两式相减得，即，
所以，
因此的通项公式为.
（2）由题可知，
则，所以，
，
两式相减得，
所以.
22.解：（1）设点，则，
化简得，即.
故曲线是焦点在轴上的椭圆.
（2）由题可知，所以，
当垂直于轴时，，此时不成等比数列，故的斜率存在.
设的方程为，则，
所以.
（也可以根据题目的条件得出）
联立整理得，
则，
因为成等比数列，所以，即，即，所以，解得，
所以的方程为.