河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期第一次大练习（期末）数学（文科）试题（Word版附解析）

这是一份河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期第一次大练习（期末）数学（文科）试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】，，因此，.
故选：D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. 4C. 17D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的四则运算结合复数的模长公式运算求解.
【详解】∵，则，
∴
故选：A.
3. 若，都是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.
【详解】若，则，可得，所以，可得，
故充分性成立，
取，，满足，但，无意义得不出，
故必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
4. 已知与之间的线性回归方程为，其样本点的中心为，样本数据中的取值依次为2.5，，3.4，4.2，5.4，则（ ）
A. 2B. 2.8C. 3D. 3.2
【答案】C
【解析】
【分析】根据线性回归方程过样本中心点求出，再根据平均数的算法可求m.
【详解】因为线性回归方程过样本中心点，所以，
所以.
故选：C.
5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
A. 167B. 168C. 169D. 170
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，令，运算分析即可得答案.
【详解】由题意可得：能被3除余1且被4除余1的数即为被12除余1的数，
故，
令，解得，
故此数列的项数为169.
故选：C.
6. 若满足，则的最大值为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义，找出目标函数取得最大值时的最优解，代入目标函数计算即可．
【详解】出不等式组所表示的可行域如下图所示，令，
联立，得，则点，
平移直线，由图象可知，当直线经过可行域的顶点时，
该直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值，即．
故选：B．
7. 向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）
A. B. C. -4D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，取单位向量，从而可用分别表示出向量 , 再由 根据平面向量基本定理即可建立关于的二元一次方程组，解出，从而得出的值．
【详解】设网格纸上小正方形的边长为1，在网格线上取互相垂直的单位向量，如图所示，
则有，，，
由，得，
则，解得，∴.
故选：A
8. 函数在的图像大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果.
【详解】因为定义域关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、C；又因为，所以，所以时对应的切线斜率大于零，所以排除D，
故选B.
【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般.辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.
9. 某市1路、9路公交车的站点均包括育才学校站和舒馨嘉园小区站，1路公交车每10分钟一趟，9路公交车每20分钟一趟，若育才学校的学生小明坐这2趟公交车回居住的舒馨嘉园小区，则他等车不超过5分钟的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设1路车到达时间为，9路到达时间为，则可以看作平面中的点，求出全部结果所构成的区域的面积，及满足条件等车时间不超过5分钟的基本事件对应平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案.
【详解】设1路车到达时间为，9路到达时间为，则可以看作平面中的点，如图所示，
试验的全部结果所构成的区域为且，
这是一个长方形区域，面积为，
事件表示小明等车时间不超过5分钟，所构成的区域为或，
即图中的阴影部分，面积为，
代入几何概型概率公式，可得.
故选：C．
10. 已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，且是的一条对称轴，即可求出的值，然后利用诱导公式将的解析式化为与同名同号的三角函数，再根据三角函数图象的平移规则“左加右减”得到结论.
【详解】解：由已知得，
由可知直线是函数的一条对称轴，
∴，又∵，∴，
，
所以要得到函数的图象，可将函数的图象向右平移个单位长度得到，
故选：.
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与的一个交点为，与轴交于点，若，且直线的斜率满足，则点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，，由得，由得，联立方程组可求m，从而可得G点坐标．
【详解】如图，由已知有，设，，，
则有，
因为，所以，即
又因为，所以，则有，
所以，解得：，所以．
故选：C．
12. 已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分析：求出两点的横坐标，作差后用导数可求得最小值．
详解：由得，由得，其中，
设，，在时，由得，且当时，，当时，，∴
时，取极小值也是最小值．
故选D．
点睛：本题考查用导数求最值，解题时，需把两点的横坐标用表示出来，然后求出，再由导数求最小值．本题难度一般，应该是导数应用的基础题．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设数列中，若等比数列满足，且，则____________.
【答案】16
【解析】
【分析】根据题意利用累积法结合等比数列下标和性质运算求解.
【详解】∵，则，
∴.
故答案为：16.
14. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.
点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
15. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，线段与另一条渐近线交于点，且 的面积是 面积的2倍，则该双曲线的渐近线方程为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】找出图中的几何关系，证明Q点是 的中点，再利用双曲线的几何性质和条件求解.
【详解】 是直径， ，过一三象限的渐近线方程为 ，设 ，，
则有 ，
解得： ， ，
又 ， 是 的中点，即 ，
并且Q点在双曲线二四象限的渐近线 上，
，解得 ，渐近线方程为 ；
故答案为： .
16. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】参变分离后令，则根据已知可得，利用导数求出，即可得出答案.
【详解】，
，
，
，
令，
则若关于的不等式有解，
则，
，
，则当时，，当时，，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
则，
则，
故实数的取值范围是，
故答案为：.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题.
必考题：60分.
17. 已知等差数列的公差，设的前和为，，.
（1）求及；
（2）求的值，使得.
【答案】（1）2，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求出，再求出数列的通项公式，用等差数列的求和公式求；
（2）由（1）的结论，把表示为与的等式，结合分析运算.
【小问1详解】
由，可得，
把代入得，解得或，
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
由，得，且，
所以，解得.
18. 的内角的对边分别为，设.
（1）求A；
（2）若，且 成等差数列，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理求解；
（2）根据条件由正弦定理和余弦定理求出 ，再用三角形面积公式计算.
【小问1详解】
由题意，，由正弦定理得：
∴，即，
∴，在 中，，∴；
【小问2详解】
∵，且成等差数列， ，由正弦定理得：，
又由（1）知，∴ ，
∴的面积 ；
综上，，的面积为 .
19. 某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.
（1）估计这批苹果的重量的平均数；
（2）该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案；
方案一：所有苹果混在一起，价格为2.5元/千克；
方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费.
分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入.
【答案】（1）平均数约为159.6克
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出，进而求出平均数；
（2）计算出两种方案的销售收入，比较后得到结论.
【小问1详解】
由题意，得，解得，
50个苹果重量的平均数为，
故估计这批苹果的重量的平均数约为159.6克；
【小问2详解】
若采用方案一，估计销售收入约为（元）
若采用方案二，重量小于160克的苹果的总重量约为
（千克），
重量不小于160克的苹果的总重量约为
（千克）,
估计销售收入约为（元）,
因为，因此，方案二的销售收入更高.
20. 已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，正实数a､b满足，求证：.
【答案】（1）单调递增区间为：；单调递减区间为：
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)先求出，然后求出，通过讨论的正负，进而得到的单调区间；
(2)由题意，化简得，然后，设，，进而通过讨论的最小值，得到的最小值，进而证明成立.
【小问1详解】
由已知得，，，其中，
，令，可得，，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
综上，函数的单调递增区间为：；单调递减区间为：.
【小问2详解】
，，所以，
，
，整理得，，
令，则可设得，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，，进而得到，
得到或，又因为由题意得，所以，
，题目得证.
【点睛】关键点睛：解题的关键在于，化简得到后，通过设，，通过讨论的最值情况，利用等量代换，得到的最值情况，进而证明成立，等量代换时该题解题的关键转换，属于难题.
21. 已知椭圆右顶点为A，上顶点为，为坐标原点，点到直线的距离为，的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于两点，若直线直线，设直线的斜率分别为，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）用表示出直线AB的方程，根据点O到直线AB的距离及的面积，求得，即可得解；
（2）设直线l的方程为，，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得,利用斜率公式得，化简可得定值.
【小问1详解】
直线的方程为，即，
则，
因为的面积为，所以，即，
解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）可得：直线的斜率为，设直线的方程为，，
联立方程，得，
依题意得：，，
所以
所以为定值.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线过点且与直线:平行，直线与曲线相交于A，B两点，求的值.
【答案】（1）()；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，两个方程相减即可得两曲线交点所在直线的方程，化为极坐标方程即可；
（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程求出斜率，即可得直线的参数方程的标准形式，代入曲线的普通方程得关于的一元二次方程，设A，B两点的参数为，，即可求解.
【详解】（1）由(为参数)，消去参数，
得曲线的普通方程为：，
由，得，
得曲线的直角坐标方程为：，即.
所以两方程相减可得交线，
所以直线的极坐标方程为.
（2）由:，得，
∴直线l的直角坐标方程：，
直线l的斜率为，所以直线的斜率为，倾斜角为，
所以直线的参数方程为(t为参数)
将直线的参数方程代入曲线，中，
得.
设A，B两点的参数为，，
∴，，则，异号.
∴
.
【点睛】方法点睛：将参数方程化为普通方程消参的3种方法
（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消参；
（2）利用三角恒等式消去参数；
（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法从整体上消去参数.
【选修4-5：不等式选讲】
23. 设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，函数的最小值为，正实数满足.求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将 表示为分段函数，再在每一段上求解 ；
（2）运用绝对值三角不等式的性质求出最小值m，再根据基本不等式求解.
【小问1详解】
当时，，去绝对值符号得：，
令，解得：，结合得：无解，
令，解得：，结合，得：，
令，解得：，结合得：，
综上，不等式的解集为；
【小问2详解】
当时，，因为中，当且仅当
，时等号成立，所以最小值为2，即，
所以，
因为，且，（当且仅当 =1时等号成立），
所以，即（当且仅当b=2c=1时等号成立）；