河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期第一次大练习（期末）数学（理科）试题（Word版附解析）

这是一份河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期第一次大练习（期末）数学（理科）试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将集合中的式子都通分成分母为6的式子，然后可判断出答案．
【详解】因为，，，
而表示奇数，表示整数，
所以．
故选：B．
2. 若复数，则z的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用复数的除法运算计算，再代入化简求值.
【详解】，
所以，则.
故选：A
3. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越高．统计改革开放40年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A. 城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭
B. 随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高
C. 1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50%
D. 随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象，结合选项，判断正误.
【详解】从图中可知城镇居民家庭恩格尔系数不高于农村居民家庭的恩格尔系数，所以A选项正确；
从图中可知城镇居民家庭和农村居民家庭的恩格尔系数都在降低，所以B选项正确；
从图中可知农村居民家庭的恩格尔系数从2001年开始低于50%，所以C选项错误；
从图中可知随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭的恩格尔系数越来越接近，所以D选项正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据图象提取信息的能力，属于容易题.
4. 已知递增等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题中所给的条件，利用等差数列通项公式和求和公式以及三数成等比数列的条件，列出等量关系式，求得其首项和公差，进一步求其前10项和，从而得到正确答案.
【详解】因为是递增等差数列，，
所以，即，①
由成等比数列，
所以，整理得，即，②
①②联立求得，或（舍去）
所以，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数列的问题，正确解题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，以及三数成等比数列的条件.
5. 向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）
A. B. C. -4D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，取单位向量，从而可用分别表示出向量 , 再由 根据平面向量基本定理即可建立关于的二元一次方程组，解出，从而得出的值．
【详解】设网格纸上小正方形的边长为1，在网格线上取互相垂直的单位向量，如图所示，
则有，，，
由，得，
则，解得，∴.
故选：A
6. 函数在的图像大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果.
【详解】因为定义域关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、C；又因为，所以，所以时对应的切线斜率大于零，所以排除D，
故选B.
【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般.辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.
7. 某市1路、9路公交车的站点均包括育才学校站和舒馨嘉园小区站，1路公交车每10分钟一趟，9路公交车每20分钟一趟，若育才学校的学生小明坐这2趟公交车回居住的舒馨嘉园小区，则他等车不超过5分钟的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设1路车到达时间为，9路到达时间为，则可以看作平面中的点，求出全部结果所构成的区域的面积，及满足条件等车时间不超过5分钟的基本事件对应平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案.
【详解】设1路车到达时间为，9路到达时间为，则可以看作平面中的点，如图所示，
试验的全部结果所构成的区域为且，
这是一个长方形区域，面积为，
事件表示小明等车时间不超过5分钟，所构成的区域为或，
即图中的阴影部分，面积为，
代入几何概型概率公式，可得.
故选：C．
8. 若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由条件可得，然后，然后可算出答案.
【详解】由题意发现，
，
，可得：，
则，
故选：B．
9. 设，则，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案.
【详解】，
，
.
，显然.
,即，
，即.
综上，.
故选：.
【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.
10. 设函数，已知在有且仅有3个零点，下述四个结论：其中所有正确结论的编号是（ ）
①的最小值为；②的最大值为；③函数在有且仅有2个最大值；④函数在有且仅有2个最小值.
A. ①③B. ①④C. ①②③D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据所给自变量范围求出，再由条件确定即可得出范围，根据及正弦型函数的性质可判断最大值及最小值的个数.
【详解】当时，，
因为在有且仅有3个零点，所以，
解得，故①对②错；
由知，当或时，有最大值，当时，有最小值，而时有最小值，但不一定能取到，故③对④错.
故选：A
11. 如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为P，线段与另一条渐近线交于点Q，且的面积是面积的2倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知为线段的中点，求出点的坐标，可得出点的坐标，代入双曲线的渐近线方程可得出关于、的等量关系，由此可解得双曲线的渐近线方程.
【详解】为的中点，则，即，
所以，，所以，为线段的中点，
由图可知，直线的方程为，
因为，所以直线方程为，
联立，解得，即点，
因为点，所以点的坐标为，
又点直线上，则有，，
因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
12. 已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题知，根据题意得到：恒成立且有两解，分别讨论和时的情况，根据图象即可得到的取值范围.
【详解】由题意知：，
则对任意的恒成立，
又有两解，
则恒成立且有两解.
，
当时，如图所示：
只需，解得，
当时，如图所示：
只需且或者即可，解得，
综上所述：.
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若x，y满足，则的最大值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义，找出目标函数取得最大值时的最优解，代入目标函数计算即可．
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，令，
联立，得，则点，
平移直线，由图象可知，当直线经过可行域的顶点时，
该直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值，即．
故答案为：3.
14. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示）
【答案】（，n为奇数）
【解析】
【分析】可得为奇数时，即数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.
【详解】当为奇数时，为偶数，为奇数，
则，
故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，
（，n为奇数），
故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为（，n为奇数）.
故答案为：（，n为奇数）.
【点睛】关键点睛：解决本题关键是判断出数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列.
15. 一位大爷公园摆摊，吸引游客玩中奖游戏.玩一局只需交费10元，然后在一个装了红、绿、蓝各8个珠子的袋子中摸出12个珠子，数出不同颜色珠子个数，获得相应的奖金，比如摸出的12个珠子里，颜色最多的珠子有8个，颜色次多的珠子有4个，还有一种颜色没有，就叫840，玩家会获奖110元！如果三种颜色珠子个数是831，就能获奖20元，如果是444，就能获奖11元等等.某同学根据大爷提供的所有取球规则以及对应奖金设置，利用所学知识计算了部分数据，如图所示.
根据以上这些数据（数据为近似后保留两位小数的结果），可以计算出一位游客每玩一局，这位大爷可以赚取约______元（保留两位小数）.
【答案】4.25
【解析】
【分析】首先计算表格缺少的奖金期望，再求奖金期望的和，即可求解.
【详解】当取球结果为741，奖金12元，组合数为26880，中奖概率为，奖金期望为0.12元，取球结果为543时，奖金数为0，所以奖金期望为0，则游客玩1次奖金的期望值为表格右栏的和，为5.75元，所以一位游客每玩一局，这位大爷可以赚取约元.
故答案为：
16. 对函数，若，，，为某一个三角形的边长，则称为“三角形函数”，已知为“三角形函数”，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可知，恒成立，转化为，再分情况讨论求函数的最值，即可求实数m的取值范围.
【详解】由题意可知，三角形两边之和大于第三边，得恒成立，即，因为，当时，满足；当时，单调递减，由 得；当时，单调递增，由 得；因此实数的取值范围是.
故答案为：
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题.
必考题：60分
17. 的内角的对边分别为，设.
（1）求A；
（2）若，且 成等差数列，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理求解；
（2）根据条件由正弦定理和余弦定理求出 ，再用三角形面积公式计算.
【小问1详解】
由题意，，由正弦定理得：
∴，即，
∴，在 中，，∴；
【小问2详解】
∵，且成等差数列， ，由正弦定理得：，
又由（1）知，∴ ，
∴的面积 ；
综上，，的面积为 .
18. 已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
19. 2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
（1）请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程.
（2）假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.
①若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；
②若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p，，其中，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求p的取值范围.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】（1）y与x之间的线性相关程度非常强，
（2）①1750万元；②
【解析】
【分析】（1）根据相关系数的绝对值越接近1，线性回归模型的拟合效果越好，即可以根据直接计算相关系数的值来判断与之间的线性相关程度的强弱；关于的线性回归方程直接用参考公式求解.
（2）（i）将代入（1）中的线性回归方程，即可求出E区就地过年的人数；
（ii）由X的所有可能取值为0，1，2，并分别求出相应的概率，即可得到分布列，然后求出期望，最后列出不等式求出的取值范围.
【小问1详解】
）由题，，，
，
，
，
所以相关系数，
因为y与x之间的相关系数近似为0.99，说明y与x之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
，，
故y关于x的线性回归方程为.
【小问2详解】
①将代入，得，
故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）.
②设甲、乙两人中选择就地过年的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
.
所以，
所以，
由，得，
又，所以，
故p的取值范围为.
20. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l：与C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形.
（1）求C的方程；
（2）圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q.
①求的值；
②证明：直线PQ过定点.
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可知点坐标得，设为直线l与C的一个交点，由菱形面积求出点坐标代入椭圆方程求出即可得解；
（2）①设，，由题意可得，再由斜率公式即可求解；
②设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，根据根与系数的关系求出直线直线PQ的方程为，即可求出直线过定点.
【小问1详解】
因为直线l：与C的两个交点和O，B构成的四边形是菱形，
所以l垂直平分OB，所以，.
设为直线l与C的一个交点，则菱形的面积为.
因为菱形的面积为，所以，解得，即，
将点代入，得，又因为，所以.
故C的方程为.
【小问2详解】
①由题意，得OB为圆E的一条弦，且直线垂直平分该弦，
故直线经过圆心E，所以MN为圆E的直径，因此，即.
设，，则.
注意到，，则.
又因为，，所以.
②易知直线PQ不可能平行于x轴，则设直线PQ的方程为，，.
由，得.
，（*）
，.①
因为，，所以，
即，
即.
将①代入上式得，
化简得，解得，满足（*），
所以直线PQ的方程为，
故直线PQ过定点.
21. 已知函数与函数有相同的极值点与极值.
（1）求a，b；
（2）若方程与分别有两个解p，q（）和r，s（）.
①分别用p，q表示出r，s；
②求证：.
【答案】（1），
（2）①，；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数求出的极值点及极值，代入即可得解；
（2）①根据,的单调性及题意可得，，，，由方程的根可知，是的解，即可得出，；②由①知要证不等式可化为，构造函数，由导数知在上递减，可得，又可得即可得证.
【小问1详解】
由的定义域为，，
得，得，得，
所以在单调递减，在单调递增，故在处取得极小值，且，
由，由题意可得，，，解得，.
【小问2详解】
①由（1）知，，且在单调递减，在单调递增，
所以，，，.
且，，，，
又可化为，，
即是的解，同理也是它的解，所以，.
②由①知，证明即证，
令，则，，
则，所以在上单调递减，
因为，所以，即，因为，
所以，由在单调递增，
所以，，
即.
【点睛】关键点点睛：证明由①可转化为，即证，根据的单调性转化为求证，再由，只需证明，分析到此处，构造函数是解题的关键，利用导数求出函数在上单调递减，即可得，完成所需的证明，难度较大，灵活性要求较高.
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线过点且与直线:平行，直线与曲线相交于A，B两点，求的值.
【答案】（1）()；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，两个方程相减即可得两曲线交点所在直线的方程，化为极坐标方程即可；
（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程求出斜率，即可得直线的参数方程的标准形式，代入曲线的普通方程得关于的一元二次方程，设A，B两点的参数为，，即可求解.
【详解】（1）由(为参数)，消去参数，
得曲线的普通方程为：，
由，得，
得曲线的直角坐标方程为：，即.
所以两方程相减可得交线为，
所以直线的极坐标方程为.
（2）由:，得，
∴直线l的直角坐标方程：，
直线l的斜率为，所以直线的斜率为，倾斜角为，
所以直线的参数方程为(t为参数)
将直线参数方程代入曲线，中，
得.
设A，B两点的参数为，，
∴，，则，异号.
∴
.
【点睛】方法点睛：将参数方程化为普通方程消参的3种方法
（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消参；
（2）利用三角恒等式消去参数；
（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法从整体上消去参数.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，函数的最小值为，正实数满足.求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将 表示为分段函数，再在每一段上求解 ；
（2）运用绝对值三角不等式的性质求出最小值m，再根据基本不等式求解.
【小问1详解】
当时，，去绝对值符号得：，
令，解得：，结合得：无解，
令，解得：，结合，得：，
令，解得：，结合得：，
综上，不等式的解集为；
【小问2详解】
当时，，因为中，当且仅当
，时等号成立，所以的最小值为2，即，
所以，
因为，且，（当且仅当 =1时等号成立），
所以，即（当且仅当b=2c=1时等号成立）；取球结果
奖金（元）
组合数
中奖概率
奖金期望（元）
840
110
420
0.02%
0.02
831
20
2688
0.10%
0.02
822
20
2352
0.09%
0.02
750
30
2688
0.10%
0.03
741
12
▲
▲
▲
732
12
75264
2.78%
0.33
660
30
2352
0.09%
0.03
651
11
75264
2.78%
0.31
642
11
329280
12.18%
1.34
633
11
263424
9.74%
1.07
552
11
263424
9.74%
1.07
543
0
▲
▲
▲
444
11
343000
12.68%
1.39
A区
B区
C区
D区
外来务工人数x/万
3
4
5
6
就地过年人数y/万
25
3
4
4.5