四川省成都市玉林中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（一）（Word版附解析）

这是一份四川省成都市玉林中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（一）（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，且，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量共线列出关于的方程，由此求解出结果.
【详解】因为，所以，，
解得，
故选：A.
2. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的正切值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与圆位置关系，结合二倍角公式即可求解.
【详解】
由得，所以圆心为，半径为，设切点分别为,连接PA,则为两切线的夹角，
由于,所以,
由二倍角公式可得，，
所以正切值为
故选：A
3. 为深入贯彻落实习近平总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神，巩固深化党史学习教育成果，激励和动员广大教师立大志、明大德、成大才、担大任，以优异成绩迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题党史知识竞赛活动，其中初中部180名教师的竞赛成绩的平均分为90分，方差为2，高中部270名教师的竞赛成绩的平均分也为90分，方差为3，则该校全体教师的竞赛成绩的方差为（ ）
A. 13B. 26C. 1.3D. 2.6
【答案】D
【解析】
【分析】先设出初中部和高中部教师的竞赛成绩，根据方差计算公式列出关系式；再计算出平均数；最后利用方差计算公式即可得出答案.
【详解】设初中部180名教师的竞赛成绩分别为，高中部270名教师的竞赛成绩分别为.
则，，
所以，.
因为初中部180名教师的竞赛成绩的平均分为90分，高中部270名教师的竞赛成绩的平均分也为90分.
所以该校全体教师的竞赛成绩的平均分为90分.
所以该校全体教师的竞赛成绩的方差为
．
故选：D．
4. 公司邀请用户参加某产品的试用并评分，满意度为10分的有1人，满意度为9分的有1人，满意度为8分的有2人，满意度为7分的有4人，满意度为5分和4分的各有1人，则该产品用户满意度评分的平均数､众数､中位数､85%分位数分别为（ ）
A. 8分，7分，7分，9分
B. 8分，7分，7分，8.5分
C. 7.2分，7分，7分，9分
D. 7.2分，7分，7分，8.5分
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数、众数、中位数和百分位数的定义和计算方法进行解答即可.
【详解】把10个数据从小到大排列：4，5，7，7，7，7，8，8，9，10，
故平均数为：（分），出现次数最多的是7，因此众数为7分，中位数为（分），又，所以85%分位数在第9位，即9分.
故选：C.
5. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：
①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立．
以上命题中，正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
由题意得，，，
．
因为，故事件相互独立，①正确；
因为，故事件相互独立，②正确；
因为，故事件相互独立，③正确．
故选：D
6. 已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为，利用中点坐标公式求出的中点坐标，代入椭圆方程得到，方程两边同除以即可求得椭圆离心率.
【详解】由题意，设椭圆的右焦点为，
则的中点为，
代入椭圆方程得，
整理得，
方程两边同除以得，，解得，
因为，故.
故选：B
7. 已知曲线的方程为，下列说法错误的是（ ）
A. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件
B. 当时，曲线是半径为2的圆
C. 存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线
D. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
【答案】C
【解析】
【分析】根据曲线的方程及椭圆、双曲线的性质一一判断即可.
【详解】因为曲线的方程为，
对于A：若曲线为焦点在轴上的椭圆则，解得，
所以“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，故A正确；
对于B：当时曲线方程为，即，表示圆心在坐标原点，半径为的圆，故B正确；
对于C：若曲线为离心率为的双曲线，即，
所以，则显然不成立，故不存在实数，
使得曲线为离心率为的双曲线，即C错误；
对于D：当时曲线方程为，则曲线为焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故D正确；
故选：C
8. 已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1或2
【答案】B
【解析】
【分析】先求出抛物线方程，可得直线AB的方程，再联立，求出M的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】因为抛物线过点，所以p=2，
又抛物线准线与轴交于点，
直线AB的方程为：代入，整理得：
故选：B
【点睛】本题考查了直线和抛物线综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9. 在平行六面体中，分别是的中点，是线段上的两个动点，且，以为顶点的三条棱长都是1，，则（ ）
A. 平面B.
C. 三棱锥的体积是定值D. 三棱锥的外接球的表面积是
【答案】ACD
【解析】
【分析】连接，四边形为平行四边形可得，再由线面平行的判定定理可判断A；对两边平方求值可判断B；根据之间的距离为定值， 点到平面的距离为定值可判断C；在底面的射影是的中心，三棱锥外接球的球心设为，设外接球的半径为，利用、解得，求出表面积可判断D.
【详解】对于A，连接，则，四边形为平行四边形，所以，
所以，因为平面，平面，
所以平面，故A正确；

对于B，因为，由，
得，
所以，可得，故B错误；

对于C，因为，所以之间的距离为定值，即为的高，
又，所以为定值，且点到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积是定值，故C正确；

对于D，因为以为顶点的三条棱长都是1，，
所以在底面的射影是的中心，连接，
且三棱锥外接球的球心在上，设为，连接，
设外接球的半径为，则，
，所以，
，即，解得，
可得三棱锥的外接球的表面积是，故D正确.

故选：ABD.
10. 已知在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上（不与原点重合），满足，坐标平面内一点满足，则（ ）
A. 线段中点的轨迹方程为
B. 动点的轨迹是一条线段
C. 线段的中点到直线的最大距离是
D. 动点到直线的最大距离是6
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，判断线段的中点轨迹，再求其方程，判断A；根据圆的定义，判断B；根据圆上的点到直线的距离，数形结合，判断CD.
【详解】因为是直角三角形，，所以可设的中点是，
则，即点在圆上，A正确；
又，所以点在以为直径的圆上，圆心为D，错误；
又原点到直线的距离，
所以点到直线的最大距离为4，
从而点到直线的最大距离为错误，D正确.
故选：AD
11. 一个袋子中有3个红球，m个黑球，采用不放回方式从中依次取球，每次取1个，每个球被取出的可能性相等，已知取出2个球都是黑球的的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若取出2球，颜色为一红一黑的概率为
C. 若取出2球，颜色相同的概率为
D. 若直到某种颜色的球全部被取出，最后取出的球是黑球的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用独立事件的乘法公式以及组合公式一一分析即可.
【详解】对A，由题意得，则，解得，故A正确；
对B，设为两球颜色为一红一黑，则，故B错误；
对C，设为两球颜色相同，则，故C正确；
对D，5个球被全部取出的方式有，两个黑球被全部取出的方式有，
故所求概率为：，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ）
A. 当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B. 当时，点P轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C. 当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D. 当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
【答案】BD
【解析】
【分析】设设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论.
【详解】设点P的坐标为，则，所以.
当时，，即，加上A，B两点表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当时，，加上A，B两点表示圆心在原点的圆，故B正确.
当时，，加上A，B两点表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当时，，加上A，B两点表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若空间向量 共面， 则实数 ________
【答案】1
【解析】
【分析】根据空间向量的共面的坐标表示求解.
【详解】由题可知 ，
即 ，
所以，故 ．
故答案为：1.
14. 已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】由平行关系确定直线斜率，由已知及在y轴上截距易知直线过点，应用点斜式写出直线方程.
【详解】由，且直线的方程为，则直线斜率为，
由直线l与在y轴上的截距互为相反数，而在y轴上的截距为，
所以直线在y轴上的截距为，即过点，
综上，直线方程为，即.
故答案为：
15. 某单位有甲、乙、丙三个部门，分别有职员27人、63人和81人，现按分层抽样的方法从各部门中抽取组建一个代表队参加上级部门组织的某项活动；其中乙部门抽取7人，则该单位共抽取__________人.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合分层抽样的抽取方法，列出方程，即可求解.
【详解】由单位有甲、乙、丙三个部门，分别有职员27人、63人和81人，
按分层抽样的方法，抽取一个代表队，其中乙部门抽取7人，
设共抽取了人，则，解得，
所以该单位共抽取了人
故答案为：.
16. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为______，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线QM，QN，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN的面积为，则双曲线C的方程为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的离心率.根据平行四边形OMQN的面积列方程，求得，从而求得双曲线的方程.
【详解】因为，所以，
作于H，如下图所示，则，.

又∵，
∴，
∴.
∴
因为，所以双曲线C的渐近线方程为，如下图所示，

设，因为，所以，
所以.
设，点Q到两条渐近线的距离分别为，，
则四边形OMQN的面积为，
而，
所以，解得：，
∴，故双曲线C的方程为.
故答案为：；
【点睛】求解双曲线的标准方程，关键是求得，是两个未知参数，需要两个条件来求解，如本题中，平行四边形OMQN的面积以及两个条件，通过解方程来求得，从而求得双曲线的标准方程.
四、解答题：本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 第十九届亚运会将于2023年9月23日至10月8在中国杭州举办，为了了解我市居民对杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市100名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图.

（1）求x的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名居民调查问卷中得分的
（i）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）；
（ii）中位数（结果用分数表示）.
【答案】（1）
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率和为可求得的值；
（2）利用频率分布直方图中的平均数，中位数的计算公式可求解即可．
【小问1详解】
，
所以；
【小问2详解】
（i）：
（ii）因为，
，
所以中位数在8和12之间，
设中位数是，所以，可得.
18. 如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由于点分别为棱的中点，应用中位线定理可得，从而得到了证明线面平行所需的线线平行；
（2）首先以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求平面和平面的法向量，进而用空间向量的夹角公式求解即可.
【小问1详解】
证明：因为点分别为棱的中点，
所以.
又平面，平面，且，
所以平面ADE.
【小问2详解】
解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，
得，.
设平面的法向量为，
则取，则，，
即.
由平面，得平面的一个法向量为，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
19. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点的坐标为(3，-3).
（1）求过点且与圆相切的直线方程.
（2）已知圆，若圆与圆的公共弦长为，求圆的方程.
【答案】（1）过点且与圆相切的直线方程为：或；（2）圆的方程为或.
【解析】
【分析】（1）当直线的斜率不存在时，显然成立，当直线的斜率存在时，设切线方程为：，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，解出得到直线；
（2）两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由点线距公式求出到直线的距离为，利用勾股定理列方程求出，可得圆的方程．
【详解】（1）当直线的斜率不存在时，显然直线与圆相切，
当直线的斜率存在时，设切线方程为：，
圆心到直线的距离等于半径，解得，
切线方程为：，
综上，过点且与圆相切的直线方程为：或.
（2）圆与圆，
相减得圆与圆的公共弦所在直线方程，
圆的圆心为(1，0)，，
设到直线的距离为，
∴，
又∵圆与圆公共弦长为，
∴，
即，
解得，
∴圆的方程为或.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，解决本题的关键点是利用圆的弦长的一般，圆心到直线的距离和圆的半径组成直角三角形，列出勾股定理解出参数，得到圆的方程，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
20. 在第19届杭州亚运会上中国射击队获得32枚金牌中的16枚，并刷新3项世界纪录.甲、乙两名亚运选手进行赛前训练，甲每次射中十环的概率为，乙每次射中十环的概率为，在每次射击中，甲和乙互不影响.已知两人各射击一次至少有一人射中十环的概率为.
（1）求；
（2）甲、乙两人各射击两次，求两人共射中十环次的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对立事件的概率公式列等式求；
（2）“两人共射中十环次”即“甲中次且乙中次”与“甲中次且乙中次”的和事件，利用互斥事件的概率加法公式可得.
【小问1详解】
设事件“两人各射击一次至少有一人射中十环”，
则“两人均未射中十环”，
由题意知甲每次射中十环概率为，乙每次射中十环的概率为，
则甲每次未射中十环的概率为，乙每次未射中十环的概率为，
由对立事件的概率公式与相互独立事件的概率乘法公式可得，
，解得；
【小问2详解】
设表示事件“甲两次射击恰射中十环次”，，
设表示事件“乙两次射击恰射中十环次”，.
则，，
，.
设“甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次”，
则，且事件与互斥，
则由互斥事件的概率加法公式可得，
.
故甲、乙两人各射击两次，两人共射中十环3次的概率为.
21. 已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程：
（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义，求双曲线方程；（2）结合余弦定理和双曲线的定义，求.
【详解】（1）由椭圆方程可知，
，，
,
，，
双曲线的方程；
（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，
，
变形为，
22. 定义椭圆C：上的点的“圆化点”为．已知椭圆C的离心率为，“圆化点”D在圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，点M，N的“圆化点”分别为点P，Q．记直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，则直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点的坐标；若直线l不过定点，说明理由．
【答案】（1）
（2）直线l过定点
【解析】
【分析】（1）结合离心率及点的位置求得，，得到椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为，与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到用参数表示，代入化简整理可得，从而得到直线的定点坐标.
【小问1详解】
由题意，所以，
由得，
又点在圆上，，
所以，即，，
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
设直线l的方程为，，，其中，
联立，
消y得，，
由，，，
得
，
因为，则，
即，所以直线l方程为，
即直线l过定点．
【点睛】求解圆锥曲线中定点问题的两种求法：
（1） 特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.