重庆市第八中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第八中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，若集合，则集合的子集个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
因为集合中只有一个元素，
所以集合的子集个数是，
故选：B
2. 命题“，”的否定形式是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“，”的否定形式是，，
故选：C
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求使解析式中各部分都有意义的的取值范围即可.
【详解】要使有意义，则，解得，且，
故的定义域为.
故选：D.
4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的定义域可排除B选项，求特殊函数值可排除AC选项.
【详解】选项A，，则，
但由图象可知，，不满足题意，故A错误；
选项B，，由，解得，
由函数图象可知，函数在处有定义，故B错误；
选项C，，则，理由同A项，故C项也错误；
故的解析式可能是D.
故选：D.
5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数型函数和分式型函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，函数单调递增，故有，
此时函数的值域为，
当时，函数单调递减，故有，
此时函数的值域为，
要想函数的值域为，
只需，
故选：B
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，利用算得，结合同角的三角函数关系计算即可求解.
【详解】由题意知，，，则，
，
，
得，，
所以，
所以.
故选：C
7. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性，结合对数的运算性质进行判断即可.
【详解】因为，，
所以，于是有，
因为，
所以，而，
所以有，即，
故选：A
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换底公式和对数函数的单调性.
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，推得函数的周期为 ，令，得到且，进而求得，，再由，即可求解.
【详解】由为奇函数，则，即
又由为偶函数，可得，即，
可得，即，所以
所以函数是以为周期的周期函数，
因为且
令，可得且，
又因为，即，即
因为时，，可得，解得，
再令，可得，即，所以，可得，
所以，则.
故选：B.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 设为定义在R上偶函数，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性的性质逐一判断即可.
【详解】A：显然该函数的定义域为全体实数，
因为，
所以该函数是奇函数，不符合题意；
B：显然该函数定义域为全体实数，
因为，
所以该函数是偶函数，符合题意；
C：显然该函数的定义域为全体实数，
因为，
所以该函数是偶函数，符合题意；
D：由该函数解析式可知，显然该函数的定义域不为全体实数，不符合题意，
故选：BC
10. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据基本不等式，结合指数函数和对数函数的单调性、对数的运算法则逐一判断即可.
【详解】A：因为，，
所以有，
当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确；
B：因为，所以
，因为，
所以，即，于是有，因此本选项结论正确；
C：当时，显然成立，
而，所以本选项结论不正确；
D：因为，，且，所以
当且仅当时取等号，即当时取等号，因此本选项结论正确，
故选：ABD
11. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若对任意，，总有，则是奇函数
B. 若对任意，，总有，则是偶函数
C. 若对任意，；总有，则
D. 若对任意，，总有，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义即可判断.
【详解】对于A，对任意，，总有，令得；令得，所以；
令得，所以；
令得，所以是奇函数，故A正确；
对于B，对任意，，总有，令得；
令得，所以是奇函数，故B错误；
对于C，对任意，，总有，由A选项分析，
令得，又因为，
所以，故C正确；
对于D，对任意，，总有，由B选项分析，
令得，
令得，所以；
令得
令得，所以
令得，所以，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知函数，有下列四个结论正确的是（ ）
A. 图象关于直线对称B. 的值域为
C. 在上单调递减D. 在上恰有10个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二倍角公式、函数对称性的性质，结合二次函数的性质、余弦型函数的单调性、函数零点的定义逐一判断即可.
【详解】A：因为，
，
所以有，
因此该函数图象关于直线对称，本选项结论正确；
B： 因为，
所以本选项不正确；
C：，
令
令，即，对称轴为，
因为，所以，
所以函数单调递减，
当时，函数有最大值，因此，
因为函数在上单调递减，而函数单调递减，
因此函数在上单调递增，又因为，
所以在上单调递减，因此本选项正确；
D：，
于是有，
当，
因为，所以，
当，
因为，所以，
综上所述：在上恰有10个零点，因此本选项正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用复合函数的单调性的性质、二次函数的单调性、余弦函数的单调性.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 函数的最小正周期为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦型函数的最小正周期的计算方法，即可求解.
【详解】根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，可得：
函数的最小正周期为.
故答案为：.
14. 已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数的对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递增，所以，
因为存在，使得不等式成立，
所以有，或，
因此实数的取值范围为，
故答案为：
15. 已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，讨论余弦函数的单调性求得当且时函数图象与直线有2个交点，即可求解.
【详解】，
由，得，
设，则当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，所以，
得，要使方程在上有2个实根，
则函数图象与直线上有2个交点，
当且，即时，函数图象与直线有2个交点，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：
16. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质进行求解即可.
【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需，
设，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
因为，
所以，
当时，即时，
，此时，
因此由，而，
所以；
当时，即当时，
此时，此时，
因此由，而，
所以，
若时，即时，
若，即当时，
显然此时，
由，显然，
若，即当时，
显然此时，
因此由，而，
综上所述：实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用对钩函数的单调性求出的最值，再结合最值的正负性分类讨论.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合交集的定义进行求解即可；
（2）根据解一元二次不等式的方法，结合集合并集的运算性质进行求解即可.
【小问1详解】
由，或，
即或，
若，所以
【小问2详解】
由，或，
即，
因为，
所以，
即实数的取值范围为.
18. 已知
（1）化简；
（2）若，，且，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用诱导公式进行求解即可；
（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，因为，所以
所以，
，
因为，，所以，
因为，所以，
于是
所以
.
19. 北京时间2023年12月15日21时41分，我国在海南文昌航天发射中心用长征五号运载火箭成功将遥感四十一号卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功.据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：米/秒），其中（单位：米/秒）是喷流相对速度（即喷流相对火箭箭体喷出的速度，由火箭发动机性能决定，运动过程中视为常数），是指火箭的初始速度（单级火箭初始速度视为0，二级火箭视为上一飞行阶段火箭的最大速度），在每个飞行阶段中，（单位：吨）是火箭消耗的推进剂的质量，（单位：吨）是指火箭在该阶段的总质量（含推进剂），称为总质比，已知型火箭是一枚单级火箭，型火箭是一枚二级火箭，它们的喷流相对速度均为1000米/秒.（参考数据：，）.
（1）型火箭飞行时会经历两个飞行阶段，先点燃一级助推器，一级助推器燃料耗尽后将其抛掉，再点然二级火箭进入第二阶段，型火箭的总质量共12吨，其中一级助推器总重量7吨，装载了6吨推进剂，二级火箭总重为5吨，装载了4吨推进剂，求理想状态下型火箭的最大速度；
（2）型火箭只有一个飞行阶段，经过技术改进后其喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒，求在技术改进前总质比的最小整数值
【答案】（1）米/秒
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知公式，结合公式中字母代表的意义、对数的运算性质进行求解即可；
（2）根据题意列出不等式，根据对数的性质和对数函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
第一阶段：，，
所以最大速度为，
第二阶段，最大速度为，
因此理想状态下型火箭的最大速度为米/秒；
【小问2详解】
设，
要使型火箭在理想状态下的最大速度至少增加500米/秒，
则有
，因为，所以，
因此技术改进前总质比的最小整数值为.
20. 已知函数，的图像关于点中心对称.
（1）求实数的值：
（2）探究的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的平移性质，结合函数的对称性进行求解即可；
（2）根据函数的单调性定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可；
（3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可.
【小问1详解】
因为函数，的图像关于点中心对称，
所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，
即函数的图像关于点中心对称，
因此函数是奇函数，
于是有，即，
因为，
所以是奇函数，因此符合题意；
【小问2详解】
因为，所以，
设是任意两个实数，且，
，
因为，所以，因此，
所以函数是增函数；
【小问3详解】
因为函数，的图像关于点中心对称，
所以，即，
所以由，
因为函数是增函数，
所以，或，
解得，或，
因此原不等式的解集为.
21. 如图，正方形的边长为2，，分别为AB，BC的中点.以O为圆心，OA为半径的圆弧上有一点P，T、S两点分别在线段AB、BC上，使得四边形SBTP为矩形.
（1）将点绕点逆时针旋转后使其与点重合，求；
（2）求矩形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中利用余弦定理计算.
（2）根据三角函数的定义设出点坐标的角参数形式，然后写出矩形面积表达式，利用同角三角函数关系换元化简为二次函数最值问题求解.
【小问1详解】
连接OM,ON,MN，因为分别为的中点，正方形边长为2，
所以，
所以，
所以，
.
所以；
【小问2详解】
以O为坐标原点，OA为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系如图所示.
设，则,且，
则
，
令，
，
当，即时，矩形面积的取得最大值为.
22. 已知函数，.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）用表示，中的最大值，设函数，，试讨论的图象与轴的交点个数.
【答案】（1）；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由对数函数单调性、二次函数单调性，结合复合函数单调性列出不等式组求解即得.
（2）由时，得无零点，当时，，再分类讨论在上的零点即得.
【小问1详解】
函数在是增函数，在上单调递增，
当且仅当在上单调递增，且，
于是，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
当时，，因此在上无零点；
则只须讨论在上的零点个数，又时，，则只须讨论在上的零点个数，
对，，，对称轴为，，
①当，即时，在上恒成立，则，无零点；
②当，则，在上单调递减，显然，，
则存在唯一的，有，且，因此有2个零点；
③当，即时，
（i），即有时，由，
则存在唯一，有，且，则有2个零点；
（ii），即有时，，则，
则存在唯一，有，且，则有2个零点；
（iii），即有时，，
由，得，则在上无零点，即无零点，
由，得，则在上恰1个零点，即有1个零点，
由，得，则在上有两个零点，即有2个零点，
综上，当时，无零点，
当时，有1个零点，
当时，有2个零点.
【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题.