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第7章 第2讲 电场能的性质—2024高考物理科学复习解决方案（讲义）
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这是一份第7章 第2讲 电场能的性质—2024高考物理科学复习解决方案（讲义），共48页。
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与电荷的起始位置和eq \(□,\s\up1(01))终止位置有关，但与电荷经过的eq \(□,\s\up1(02))路径无关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于eq \(□,\s\up1(03))匀强电场，其中d为沿eq \(□,\s\up1(04))电场方向的距离，计算时q不带正负号。
②WAB＝qUAB，适用于eq \(□,\s\up1(05))任何电场，计算时q要带正负号。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中由于受到电场力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫做电势能，用符号Ep表示。
(2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于eq \(□,\s\up1(06))电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。
(3)大小：电荷在某点的电势能，等于eq \(□,\s\up1(07))将电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功。
[特别提醒] (1)电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，我们习惯说成电场中的电荷所具有的。
(2)电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。
(3)电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。
(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
知识点 电势 Ⅰ
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的eq \(□,\s\up1(01))电势能Ep与它的eq \(□,\s\up1(02))电荷量q的比值。
(2)定义式：φ＝eq \(□,\s\up1(03))eq \f(Ep,q)。
(3)矢标性：电势是eq \(□,\s\up1(04))标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比eq \(□,\s\up1(05))零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有eq \(□,\s\up1(06))相对性，同一点的电势与选取的eq \(□,\s\up1(07))电势零点的位置有关。一般选取无穷远处为电势零点，在实际应用中常取大地的电势为零。
2．等势面
(1)定义：电场中eq \(□,\s\up1(08))电势相同的各点构成的面。
(2)四个特点
①在同一eq \(□,\s\up1(09))等势面上移动电荷时电场力不做功。
②等势面一定与eq \(□,\s\up1(10))电场线垂直。
③电场线总是从eq \(□,\s\up1(11))电势高的等势面指向eq \(□,\s\up1(12))电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度eq \(□,\s\up1(13))越大，反之eq \(□,\s\up1(14))越小。
[特别提醒] 电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷和所放电荷的电性、电荷量及电势能均无关。
知识点 电势差 Ⅱ
匀强电场中电势差与电场强度的关系 Ⅱ
1．电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值。
(2)定义式：UAB＝eq \(□,\s\up1(01))φA－φB。显然，UAB＝－UBA。
(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与电势零点的选取eq \(□,\s\up1(02))无关。
(4)电势差与电场力做功的关系：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，eq \(□,\s\up1(03))电场力做的功WAB与移动电荷的eq \(□,\s\up1(04))电荷量q的比值等于A、B两点间的电势差，即UAB＝eq \(□,\s\up1(05))eq \f(WAB,q)，计算时q要带正负号。
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式
UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点eq \(□,\s\up1(06))沿电场方向的距离。
(2)电场强度的另一表达式
①表达式：E＝eq \f(UAB,d)。(只适用于匀强电场)
②意义：电场中，场强方向是eq \(□,\s\up1(07))电势降低最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿eq \(□,\s\up1(08))电场方向单位长度降低的电势。
知识点 静电感应和静电平衡 Ⅰ
1．静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，这种现象叫静电感应。
2．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生eq \(□,\s\up1(01))定向移动，导体处于静电平衡状态。
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的场强eq \(□,\s\up1(02))处处为零；
②导体是一个等势体，导体表面是等势面；
③导体表面处的场强方向与导体表面eq \(□,\s\up1(03))垂直；
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷。
一 堵点疏通
1．电场强度处处相同的区域内，电势一定也处处相同。( )
2．A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。( )
3．电场中，场强方向是电势降落最快的方向。( )
4．电势有正负之分，因此电势是矢量。( )
5．电势的大小由电场的性质决定，与零电势点的选取无关。( )
6．电势差UAB由电场本身的性质决定，与零电势点的选取无关。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.× 5.× 6.√
二 对点激活
1．(人教版选修3－1·P19·T2改编)关于电场中两点电势的高低的判断，下列说法正确的是( )
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
答案 A
解析 由Ep＝qφ知正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；若Ep与q均为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
2.
(人教版选修3－1·P22·T3改编)如图所示，下列说法正确的是( )
A．φA>φB
B．负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C．负电荷由B移动到A时静电力做正功
D．UAB>0
答案 B
解析 沿着电场线的方向电势降低，由图知φA<φB，UAB<0，故A、D错误；WBA＝qUBA，其中q<0，UBA>0，则WBA<0，故C错误；由Ep＝qφ知负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，故B正确。
3.
(人教版选修3－1·P23·T2改编)带有等量异号电荷，相距10 cm的平行板A和B之间有一匀强电场，如图，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm。下列说法正确的是( )
A．UCD＝1000 V
B．让B板接地，则C点的电势φC＝600 V
C．让A板接地，则D点的电势φD＝400 V
D．将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
答案 B
解析 UCD＝－Ed＝－1000 V，故A错误；让B板接地，则φC＝EdCB＝600 V，故B正确；让A板接地，则φD＝－400 V，故C错误；静电力做功与路径无关，只与初末位置有关，故D错误。
4．关于等势面，下列说法正确的是( )
A．电荷在等势面上移动时不受电场力作用，所以不做功
B．等势面上各点的场强相等
C．等势面一定跟电场线垂直
D．两不同等势面在空间可以相交
答案 C
解析 等势面与电场线垂直，故沿着等势面移动电荷，电场力与运动方向一直垂直，电场力不做功，A错误；电场中电势相等的各个点构成的面叫做等势面，等势面上各个点的场强大小情况要看具体的电场，B错误；等势面一定与电场线垂直，C正确；电场中电势相等的各个点构成的面叫做等势面，两个不同的等势面的电势是不同的，所以两个不同的等势面永不相交，D错误。
考点细研 悟法培优
考点1 电势高低与电势能大小的判断
1.电势高低的判断方法
2．电势能大小的判断方法
例1
匀强电场的电场线是平行等间距的，假如在匀强电场中放入一不带电的金属小球，电场线会发生弯曲变成如图所示电场，关于该电场下列说法正确的是( )
A．由于感应起电，该金属小球放入匀强电场后总电荷量将不为零
B．电场线越密的地方电场强度越小
C．将一电子从P点移到Q点，电子的电势能一定减少
D．P点的电势一定高于Q点的电势
(1)如何判断P、Q两点电势的高低？
提示：沿电场线的方向电势逐渐降低。
(2)由于感应起电，小球两端所带电荷量相等吗？
提示：相等。
尝试解答 选C。
由于电荷守恒，金属小球的总电荷量仍为零，故A错误；电场线的疏密程度表示场强大小，电场线越密的地方场强越大，故B错误；沿电场线方向电势逐渐降低，故P点电势低于Q点电势，又因为电子带负电，所以电子在P点的电势能高于在Q点的电势能，即从P点到Q点电子的电势能一定减少，C正确，D错误。
电场线、电场强度、电势、电势能、等势面之间的关系
(1)电场线与电场强度的关系：同一电场，电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向。
(2)电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
(3)电场强度大小与电势无直接关系：零电势位置可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高。
(4)电势能与电势的关系：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大。
[变式1]
(多选)如图所示，处于x轴上的两个等量异号电荷＋Q和－Q，坐标分别为(L,0)和(3L,0)。以坐标原点O为圆心，作半径为2L的圆，圆上有a、b、c、d四个点，均处于两电荷形成的电场中。则下列说法正确的是( )
A．O点电势等于b点电势
B．b点和d点电场强度大小相等，电势相同
C．将一正试探电荷从c点沿虚线圆周移到O点电场力不做功
D．将一正试探电荷从b点沿y轴移到d点，电势能先增大后减小
答案 BD
解析 由等量异号点电荷的电场线、等势线分布图可知φO>φb，故A错误；根据对称性，b、d两点场强大小相等、电势相同，故B正确；c点电势为零，O点电势大于零，所以将正试探电荷从c点沿虚线圆周移到O点电场力做负功，故C错误；φb＝φd＜φO，所以将正试探电荷从b点沿y轴移到d点，电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故D正确。
考点2 电场线、等势线(面)及粒子的运动轨迹问题
1．几种典型电场的等势线(面)
2．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子电荷的正负判断电场强度的方向。
(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
例2
(2019·河北衡水模拟)如图所示，虚线a、b、c表示O处点电荷的电场中的三个不同的等势面，相邻等势面的间距相等，一电子射入电场后(只受电场力作用)的运动轨迹如图中实线所示，其中1、2、3、4表示运动轨迹与等势面的交点，由此可以判定( )
A．O处的点电荷一定带正电
B．电子运动过程中，动能先增大后减小
C．三个等势面的电势高低关系是φc＞φb＞φa
D．电子从位置2到位置3与从位置3到位置4过程中电场力所做的功相等
(1)如何判断场源电荷是正电荷还是负电荷？
提示：根据电子轨迹弯曲方向判断受到的是引力还是斥力，从而判断场源电荷的正负。
(2)如何判断电势的高低？
提示：判断出场源电荷电性就知道电场线方向，沿电场线电势降低。
尝试解答 选C。
从电子的运动轨迹可以看出两个电荷相互排斥，故点O处电荷带负电，A错误；两个电荷相互排斥，故电子运动过程中电场力先做负功，后做正功，根据动能定理，动能先变小后变大，B错误；点O处电荷带负电，故结合负电荷的等势面图，可以知道a、b、c三个等势面的电势高低关系是φc＞φb＞φa，C正确；点电荷产生的电场中，距离点电荷越远，电场强度越小，由于两相邻等势面的间距相等，所以U32＞U43，由W＝qU可知，电子从位置2到位置3与从位置3到位置4过程中电场力做的功不相等，D错误。
求解此类问题的思维模板
[变式2]
(多选)如图所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等。实线为一带正电荷粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则下面说法中正确的是( )
A．三个等势面中，a的电势最高
B．对于M、N两点，带电粒子通过M点时电势能较大
C．对于M、N两点，带电粒子通过M点时动能较大
D．带电粒子由M运动到N时，加速度增大
答案 CD
解析 由于带电粒子做曲线运动，且仅受电场力作用，因此所受电场力的方向必定指向轨迹的凹侧，且和等势面垂直，所以电场线方向是由c指向b再指向a，根据沿电场线方向电势降低，故φc>φb>φa，A错误；带正电荷粒子若从N点运动到M点，场强方向与运动方向成锐角，电场力做正功，电势能减少，若从M点运动到N点，场强方向与运动方向成钝角，电场力做负功，电势能增加，即在M点电势能较小，故B错误；根据能量守恒定律，电荷的动能和电势能之和保持不变，故粒子在M点的动能较大，C正确；由于相邻等势面之间电势差相等，N点等势面较密，则EN>EM，即qEN>qEM，由牛顿第二定律知，带电粒子从M点运动到N点时，加速度增大，D正确。
考点 3 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
(3)在匀强电场中U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d。推论如下：
推论①：如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝eq \f(φA＋φB,2)。
推论②：如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
2．E＝eq \f(U,d)在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即等差等势面越密，电场强度越大。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φx图象的斜率判断沿x方向电场强度Ex随位置变化的规律。在φx图象中斜率k＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(U,d)＝－Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，斜率为正，表示电场强度方向沿规定的负方向；斜率为负，表示电场强度方向沿规定的正方向。
(4)利用Ex图象与x轴围成的面积表示电势差，即SAB＝ExAB＝Ed＝UAB，分析计算两点间电势差。
例3
(多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行。下列说法正确的是( )
A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m
C．匀强电场的电场强度方向为由C指向A
D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J
(1)在匀强电场中，如何寻找等势线？
提示：先利用几何关系确定两个等势点，它们的连线就是一条等势线。
(2)如何确定场强的大小和方向？
提示：根据电场线与等势线垂直，且沿电场线方向电势降低可判断电场方向，场强大小可由E＝eq \f(U,d)求得。
尝试解答 选ACD。
由于AC的中点电势为2 V，所以BE为等势线，CD、AF同为等势线，故A正确；CA为电场线方向，电场强度大小E＝eq \f(U,d)＝eq \f(2,2×10×cs30°×10－2) V/m＝eq \f(20,3)eq \r(3) V/m，故B错误，C正确；由UED＝UBC＝－1 V，WED＝－eUED＝1.6×10－19 J，得电子由E点移到D点电势能减少1.6×10－19 J，D正确。
匀强电场中找等势点的方法
等分线段找等势点法：在匀强电场中，电势沿直线是均匀变化的，即直线上距离相等的线段两端的电势差相等。因此将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，找到与已知的第三个点的电势相等的点，这两个等势点的连线即等势线(或等势面)，与等势线(或等势面)垂直的线即为电场线。
[变式3－1]
在如图所示的虚线方框内有一方向平行于纸面的匀强电场，A、B、C为该电场中的三个点，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AC＝5 cm，若将一个电荷量为1.0×10－8 C的负点电荷从B移到C，电场力做的功为1.2×10－7 J，而把该点电荷从B移到A，克服电场力做的功为1.2×10－7 J，则该匀强电场的场强大小为( )
A．500 V/m B．480 V/m
C．400 V/m D．300 V/m
答案 A
解析 由题意可知，UBC＝eq \f(WBC,q)＝eq \f(1.2×10－7,－1.0×10－8) V＝－12 V，UBA＝eq \f(WBA,q)＝eq \f(－1.2×10－7,－1.0×10－8) V＝12 V，设A点电势φA＝0 V，则φB＝12 V，φC＝24 V，则B点电势与AC中点D处的电势相等，由余弦定理可知BD＝2.5 cm，则由△ABD的面积是△ABC的一半可知，C、D两点沿着电场线方向的距离为2.4 cm，匀强电场的场强大小为E＝eq \f(UCD,d)＝eq \f(12,2.4×10－2) V/m＝500 V/m，A正确。
[变式3－2] 如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势φA＝30 V，B点的电势φB＝－10 V，则C点的电势( )
A．φC＝10 V B．φC＞10 V
C．φC＜10 V D．上述选项都不正确
答案 C
解析 由于AC之间的电场线比CB之间的电场线密，相等距离之间的电势差较大，即UAC＞UCB，所以φA－φC＞φC－φB，可得φC＜eq \f(φA＋φB,2)，即φC＜10 V，C正确。
考点4 电场中的图象问题
1.vt图象：根据电荷在电场中运动的vt图象的速度变化、斜率变化(即加速度变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化。
2．φx图象：(1)电场强度可用φx图线的斜率表示，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向。
(2)在φx图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系分析电荷移动时电势能的变化。
3．Ex图象：(1)反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E>0表示场强沿正方向；E<0表示场强沿负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，“面积”的正负表示始末两点电势的高低。
4．Epx图象：(1)Epx图象可以判断某一位置电势能的大小，进而确定电势能的变化情况，根据电势能的变化可以判断电场力做功情况，结合带电粒子的运动可以确定电场力的方向。
(2)Epx图象的斜率k＝eq \f(Ep2－Ep1,x2－x1)＝eq \f(ΔEp,Δx)＝eq \f(－W电场,Δx)＝－F电场，即图象的斜率大小和正负分别表示电场力的大小和方向。
例4 两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中的C点电势最高，则( )
A．N点的电场强度大小为零
B．A点的电场强度大小为零
C．N、C间场强方向沿x轴正方向
D．将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功
(1)由q1、q2之间电势随x的变化图象可知q1、q2为同种电荷还是异种电荷？
提示：异种电荷，且q1为正，q2为负。
(2)φx图象的斜率表示什么？
提示：表示场强。
尝试解答 选D。
根据题给的两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系图象，可知O点的点电荷q1为正电荷，M点的点电荷q2为负电荷。题中φx图象斜率的绝对值表示电场强度的大小，由此可知，N点和A点的电势为零，但电场强度大小都不为零，C点的电场强度大小为零，A、B错误；从N点到C点电势逐渐增大，说明从N点到C点逆着电场线方向，故N、C间场强方向沿x轴负方向，C错误；将一负点电荷从N点移到D点，其电势能先减小后增大，则电场力先做正功后做负功，D正确。
解决电场相关图象问题的要点
同解决力学中的图象类问题相似，解决电场相关图象问题，关键是弄清图象坐标轴的物理意义，坐标正负代表什么，斜率、“面积”表示什么物理量，然后结合粒子的运动进一步分析电场力、电势能、动能等变化情况。
电场图象中的几个隐含物理量：
Ex图象：图象与坐标轴围成的面积表示电势差；
φx图象：某点切线的斜率表示该点对应位置的电场强度；
Epx图象：某点切线的斜率表示该点对应位置的电场力。
[变式4－1]
(2019·福建五校联考)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是( )
A．x1处，场强最小，且为零；电势也最小，但不为零
B．粒子在x2～x3段做匀减速直线运动
C．O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3>φ2＝φ0>φ1
D．x2～x3段的电场强度方向不变，大小均匀增加
答案 B
解析 根据电势能与电势的关系Ep＝qφ、场强与电势的关系E＝eq \f(Δφ,Δx)得E＝eq \f(1,q)eq \f(ΔEp,Δx)，由数学知识可知Epx图象的切线斜率的绝对值等于|qE|，由题图可知x1处切线斜率为零，故x1处场强最小且为零，结合粒子带负电和题图可知电势最小的点是x3处，O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3<φ2＝φ0<φ1，A、C均错误；x2～x3段是直线，斜率不变，即电场力恒定，x2～x3段的电场强度方向不变，大小不变，粒子在x2～x3段做匀减速直线运动，B正确，D错误。
[变式4－2]
某空间存在电场，其中x轴上电场的电场强度随坐标的变化关系如图所示，左右两侧图线对称，则下列说法正确的是( )
A．将负电荷从－d位置移到－2d位置，电场力做正功
B．－d位置和＋d位置电势相等
C．＋d位置到＋2d位置的电势差与＋2d位置到＋3d位置的电势差相等
D．将正电荷从－3d位置移到＋2d位置电场力做正功
答案 B
解析 在x≥d区域，电场强度沿x轴正方向，在x≤－d区域，电场强度沿x轴负方向，－d考点5 电场力做功的综合问题
例5
(多选)如图所示，A、B、C、D为匀强电场中相邻的四个等势面，一电子经过等势面D时，动能为16 eV，速度方向垂直于等势面D，且经过等势面C时，电势能为－8 eV，经过等势面B时速度恰好为零，已知相邻等势面间的距离均为4 cm，电子重力不计。则下列说法正确的是( )
A．电子做匀变速直线运动
B．匀强电场的场强大小为100 V/m
C．等势面A的电势为－8 V
D．电子再次经过等势面D时，动能为16 eV
(1)电子在等势面D时动能为16 eV，在等势面B时速度恰为零，该过程只有电场力做功，如何由动能定理求D、B两者间的电势差？
提示：由－eUDB＝0－EkD求UDB。
(2)如何求各等势面的电势？
提示：由UDB＝φD－φB结合φC＝eq \f(EpC,－e)求解。
尝试解答 选ACD。
由于电场为匀强电场，则电子所受的电场力为恒力，电子做匀变速直线运动，A正确；电子从等势面D运动到等势面B的过程中，由动能定理得－eUDB＝0－EkD，则可解得UDB＝16 V，由电势差与电场强度的关系可知E＝eq \f(UDB,dDB)＝eq \f(16,0.08) V/m＝200 V/m，B错误；电子在等势面C时，由EpC＝－eφC，代入数据解得φC＝8 V，又因为相邻等势面之间的距离相等，则相邻两等势面的电势差相等，则φB＝0、φA＝－8 V、φD＝16 V，C正确；在电子从等势面D运动到等势面B，再回到等势面D的整个过程中，电场力所做的功为零，由动能定理可知，电子再次回到等势面D时的动能仍为16 eV，D正确。
处理电场中能量问题的几点注意
(1)应用动能定理解决问题须研究合外力的功(或总功)。
(2)应用能量守恒定律解决问题须注意电势能和其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决问题须明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。
(4)有电场力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和可能守恒。
[变式5]
(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平。a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零。则小球a( )
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，速率先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
答案 BC
解析 如图所示，根据三角形定则不难看出，在小球a从N到Q的过程中，重力G大小和方向都不变、库仑斥力F变大且与重力之间的夹角θ由90°逐渐减小，合力F合将逐渐增大，A错误；从N到P的运动过程中，支持力不做功，而重力与库仑力的合力F合与速度之间的夹角α由锐角逐渐增大到90°，再增大为钝角，即合力F合对小球a先做正功后做负功，小球a的速率先增大后减小，B正确；小球a从N到Q靠近小球b的运动过程中，库仑力一直做负功，电势能一直增加，C正确；从P到Q的运动过程中，小球a减少的动能等于增加的重力势能与增加的电势能之和，D错误。
满分指导3 电势能和力学规律的综合应用
【案例剖析】
(18分)在动摩擦因数μ＝0.2的足够长的粗糙绝缘水平槽中，长为2L的绝缘轻质细杆两端各连接一个质量均为m的带电小球A和B，如图为俯视图(槽两侧光滑)。A球的电荷量为＋2q，B球的电荷量为－3q(均可视为质点，且不考虑两者间相互作用的库仑力)。现让A处于如图所示的①有界匀强电场区域MPQN内，已知虚线MP②恰位于细杆的中垂线上，MP和NQ的距离为3L，匀强电场的电场强度为E＝eq \f(1.2mg,q)，方向水平向右。释放带电系统，让A、B③从静止开始运动(忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响)。求：
(1)小球B第一次到达电场边界MP④所用的时间；
(2)小球A第一次⑤离开电场边界NQ时的速度大小；
(3)带电系统运动过程中，B球⑥电势能增加量的最大值。
[审题 抓住信息，准确推断]
[破题 形成思路，快速突破]
(1)小球B第一次到达电场边界MP所用时间的求解。
①求B球进入电场前的加速度。
a．研究对象：A、B两球组成的系统；
b．列动力学方程：2Eq－μ·2mg＝2ma1。
②求B球第一次到达电场边界MP所用时间。
列运动学方程：L＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)。
(2)小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小求解。
①研究过程：从B球进入电场到A球第一次离开电场。
②小球B刚进入电场的速度v1的求解。
a．选择规律：运动学方程；
b．方程式：veq \\al(2,1)＝2a1L。
③小球A第一次离开电场的速度v2的求解。
a．选择规律：动力学方程和运动学方程；
b．动力学方程式：2Eq－3Eq－μ·2mg＝2ma2；
运动学方程式：veq \\al(2,2)－veq \\al(2,1)＝2a2L。
(3)如何求带电系统运动过程中，B球电势能增加量的最大值？
提示：B球克服电场力做功越多，其增加的电势能越大。先求出A球出电场后系统的加速度和系统速度减小到零时A球离开右边界的距离x，判断x≤2L是否成立，以确定此时B球是否在电场中，如果在电场中，则利用电场力做功与电势能变化的关系求解，如果不在电场中，则进一步分析计算。
[解题 规范步骤，水到渠成]
(1)带电系统开始运动后，先向右加速运动，当B进入电场区时，开始做减速运动。设B球进入电场前的过程中，系统的加速度为a1，由牛顿第二定律：
2Eq－μ·2mg＝2ma1，解得a1＝g(2分)
B球刚进入电场时，由L＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)(2分)
可得t1＝ eq \r(\f(2L,g))。(1分)
(2)设B从静止到刚进入电场的速度为v1，由veq \\al(2,1)＝2a1L
可得v1＝eq \r(2gL)(2分)
设B球进入电场后，系统的加速度为a2，由牛顿第二定律得：
2Eq－3Eq－2μmg＝2ma2，解得：a2＝－0.8g(2分)
之后系统做匀减速直线运动，设小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小为v2，由veq \\al(2,2)－veq \\al(2,1)＝2a2L可得v2＝eq \f(\r(10gL),5)。(2分)
(3)当带电系统速度第一次为零时，此时A球已经到达右边界NQ右侧，B球克服电场力做的功越多，B球增加的电势能越多，设系统速度减小到零时，A球离右边界NQ的距离为x，A球离开电场后，系统的加速度为a3，由牛顿第二定律：－3Eq－2μmg＝2ma3，解得：a3＝－2g(2分)
由x＝eq \f(0－v\\al(2,2),2a3)解得：x＝0.1L<2L，所以B没有出电场，(3分)
故B电势能增加量的最大值为
ΔEp＝－W＝－[－3Eq(L＋x)]＝3Eq(L＋x)＝3Eq·1.1L＝3.3EqL＝3.96mgL。(2分)
[点题 突破瓶颈，稳拿满分]
常见的思维障碍：
(1)在求小球A第一次离开电场边界NQ的速度大小时，错误地认为A球在电场中一直做匀加速直线运动，没有分析B球进入电场后，系统的受力情况发生了变化，导致结果错误。
(2)小球A离开电场之后，错误地认为B球的加速度不变，没有分析A球离开电场之后，系统的受力情况发生了变化，加速度发生了变化，导致结果错误。
高考模拟 随堂集训
1．(2019·北京高考)如图所
示，a、b两点位于以负点电荷－Q(Q>0)为球心的球面上，c点在球面外，则( )
A．a点场强的大小比b点大
B．b点场强的大小比c点小
C．a点电势比b点高
D．b点电势比c点低
答案 D
解析 由点电荷的场强公式E＝keq \f(Q,r2)知，a、b两点与－Q距离相等，场强大小相等，A错误；由E＝keq \f(Q,r2)知，离－Q越近，场强越大，故b点场强大小比c点大(或由负点电荷形成的电场的电场线形状是“万箭穿心”，离点电荷越近电场线越密，场强越大，得出b点的场强比c点的大)，B错误；点电荷形成的电场的等势面是以点电荷为球心的一簇球面，离－Q距离相等的两点的电势相等，C错误；沿电场线的方向电势降低，故离－Q越近，电势越低，D正确。
2．(2019·全国卷Ⅲ)(多选)
如图，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点。则( )
A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
答案 BC
解析 b点距q近，a点距－q近，则b点的电势高于a点的电势，A错误。如图所示，a、b两点的电场强度可视为E3与E4、E1与E2的合场强。其中E1∥E3，E2∥E4，且知E1＝E3，E2＝E4，故合场强Ea与Eb大小相等、方向相同，B、C正确。由于φa<φb，将负电荷从低电势处移至高电势处的过程中，电场力做正功，电势能减少，D错误。
3．(2019·海南高考)如图，静电场中的一条电场线上有M、N两点，箭头代表电场的方向，则( )
A．M点的电势比N点的低
B．M点的场强大小一定比N点的大
C．电子在M点的电势能比在N点的低
D．电子在M点受到的电场力大小一定比在N点的大
答案 C
解析 沿电场线的方向电势降低，A错误；电子从M点向N点移动时克服电场力做功，电势能增大，故电子在M点的电势能比在N点的低，C正确；因为由一条电场线不能判断M、N两点的电场强度的大小，所以不能判断电子在M点受到的电场力是否比在N点的大，B、D错误。
4．(2019·江苏高考)(多选)如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点。先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场力做功为－W。再将Q1从C点沿CB移到B点并固定。最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点。下列说法正确的有( )
A．Q1移入之前，C点的电势为eq \f(W,q)
B．Q1从C点移到B点的过程中，所受电场力做的功为0
C．Q2从无穷远处移到C点的过程中，所受电场力做的功为2W
D．Q2在移到C点后的电势能为－4W
答案 ABD
解析 根据电场力做功与电势能变化的关系知Q1在C点的电势能Ep＝W，根据电势的定义式知C点电势φ＝eq \f(Ep,q)＝eq \f(W,q)，A正确；在A点的点电荷产生的电场中，B、C两点处在同一等势面上，Q1从C点移到B点的过程中，电场力做功为0，B正确；将Q1移到B点固定后，再将Q2从无穷远处移到C点，两固定点电荷对Q2的库仑力做的功均为2W，则电场力对Q2做的总功为4W，C错误；因为无穷远处电势为0，则Q2移到C点后的电势能为－4W，D正确。
5．(2018·全国卷Ⅰ)
(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案 AB
解析 匀强电场内a、b、c、d、f间距相等，则电子每通过相邻两个等势面电场力做功相同，则Wad＝3Wbc，即Wbc＝－eUbc＝－2 eV，Ubc＝φb－φc＝2 V，所以φc＝0，A正确；根据动能定理从a到d：Wad＝Ekd－Eka，可得：Ekd＝4 eV，电子在d时有动能4 eV，速度可能沿各个方向，取极端情况：①电子沿电场线方向运动，从d到f电场力做功Wdf＝Wbc＝－2 eV，Ekf＝Ekd＋Wdf＝2 eV>0，可到达平面f；②电子到d时速度方向沿等势面d，将不能到达平面f，B正确；同理电子到达等势面c的动能Ekc＝6 eV，由于等势面c的电势为零，电子在等势面c的电势能为零，根据能量守恒定律，电子在运动过程中电势能和动能的总和保持一个定值，即Epd＋Ekd＝Epc＋Ekc＝6 eV，故电子经过平面d时，其电势能为Epd＝2 eV，C错误；电子经过平面b和d时的动能分别为：Ekb＝8 eV和Ekd＝4 eV，由Ek＝eq \f(1,2)mv2可得电子经过平面b时的速率是经过d时的eq \r(2)倍，D错误。
6.
(2018·全国卷Ⅱ)(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为eq \f(W1＋W2,2)
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为eq \f(W2,qL)
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案 BD
解析 根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝eq \f(φc＋φa,2)，φN＝eq \f(φd＋φb,2)，若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝qeq \f(φc＋φa,2)－qeq \f(φd＋φb,2)＝eq \f(qUcd＋qUab,2)＝eq \f(W1＋W2,2)，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是eq \f(W2,qL)，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝eq \f(φc＋φa,2)，φN＝eq \f(φd＋φb,2)，解得：UaM－UbN＝0，故D正确。
7．(2018·天津高考)
如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
答案 D
解析 将粒子的运动分情况讨论：如图，从M点运动到N点或从N点运动到M点，根据电场的性质依次判断；电场线越密，电场强度越大，同一个粒子受到的电场力越大，根据牛顿第二定律可知其加速度越大，故有aM＜aN；(a)若粒子从M点运动到N点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图甲所示，故电场力做负功，电势能增大，动能减小，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN；(b)若粒子从N点运动到M点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图乙所示，故电场力做正功，电势能减小，动能增大，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN。综上所述，D正确。
8．(2017·全国卷Ⅲ)
(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析
如图所示，由匀强电场中两平行线距离相等的两点间电势差相等知，Oa间电势差与bc间电势差相等，故O点电势为1 V，B正确；则在x轴上，每0.5 cm长度对应电势差为1 V,10 V对应的等势线与x轴交点e的坐标为(4.5,0)，△aOe中，Oe∶Oa＝4.5∶6＝3∶4，由几何知识得：Od长度为3.6 cm，代入公式E＝eq \f(U,d)得，E＝2.5 V/cm，A正确；电子带负电，电势越高，电势能越小，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝－eUbc＝9 eV，D正确。
9.
(2017·江苏高考)(多选)在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示。下列说法正确的有( )
A．q1和q2带有异种电荷
B．x1处的电场强度为零
C．负电荷从x1移到x2，电势能减小
D．负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
答案 AC
解析 两个点电荷在x轴上，且x1处的电势为零，x>x1处的电势大于零，x10．(2018·北京高考节选)静电场可以用电场线和等势面形象描述。
(1)请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
(2)点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比eq \f(N1,N2)。
答案 (1)keq \f(Q,r2) (2)eq \f(r\\al(2,2),r\\al(2,1))
解析 (1)在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷，根据库仑定律，检验电荷受到的电场力F＝keq \f(Qq,r2)，根据电场强度的定义E＝eq \f(F,q)，得E＝keq \f(Q,r2)。
(2)穿过每个面的电场线的总条数是相等的，若面积大，则单位面积上通过的条数就少，故通过两等势面单位面积上的电场线条数之比eq \f(N1,N2)＝eq \f(S2,S1)＝eq \f(4πr\\al(2,2),4πr\\al(2,1))＝eq \f(r\\al(2,2),r\\al(2,1))。
课时作业
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6题为单选，7～10题为多选)
1．(2016·全国卷Ⅲ)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
答案 B
解析 假设两个电势不同的等势面相交，则交点处的电势就是两个不同的值，这是不可能的，A错误；电场线与等势面处处相互垂直，B正确；同一等势面上各点电势相等，而场强不一定相等，C错误；负电荷从高电势处移到低电势处，电势能增加，电场力做负功，D错误。
2．(2016·江苏高考)
一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图所示。容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度比B点的大
B．小球表面的电势比容器内表面的低
C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直
D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同
答案 C
解析 电场线的疏密表示场强的大小，因为A点处电场线较B点处稀疏，所以EA3．(2019·山东淄博模拟)如图所示，实线为两个点电荷Q1、Q2产生的电场的电场线，虚线为电子从A点运动到B点的运动轨迹，则下列判断正确的是( )
A．A点的场强小于B点的场强
B．Q1的电荷量大于Q2的电荷量
C．电子在A点的电势能大于在B点的电势能
D．电子在A点的速度大于在B点的速度
答案 D
解析 根据“电场线的密疏表示场强的大小”可知，A点的场强比B点的场强大，A错误；根据电场线分布情况可知，Q1、Q2是同种电荷。由题图电场线分布特点可知点电荷Q2带电荷量较多，即Q1＜Q2，B错误；电子做曲线运动，受到的合力方向指向曲线的凹侧，故电子过B点时受到的电场力F方向斜向下，可知电子从A点运动到B点的过程中，电场力方向与速度方向的夹角总是大于90°，电场力做负功，电势能增大，动能减小，即电子在A点的电势能小于在B点的电势能，电子在A点的速度大于在B点的速度，C错误，D正确。
4．真空中，在x轴上x＝0和x＝8处分别固定两个电性相同的点电荷Q1和Q2。电荷间连线上的电场强度E随x变化的图象如图所示(＋x方向为场强正方向)，其中x＝6处E＝0。将一个正试探电荷在x＝2处由静止释放(重力不计，取无穷远处电势为零)。则( )
A．Q1、Q2均为负电荷
B．Q1、Q2带电量之比为9∶1
C．在x＝6处电势为0
D．该试探电荷向x轴正方向运动时，电势能一直减小
答案 B
解析 由图可知，在x＝0处场强为正，x＝8处场强为负，可知Q1、Q2均为正电荷，A错误；根据x＝6处E＝0可知，在x＝6处，E1＝E2，即keq \f(Q1,62)＝keq \f(Q2,22)，解得eq \f(Q1,Q2)＝eq \f(62,22)＝eq \f(9,1)，B正确；由于无穷远处电势为零，故在x＝6处电势大于0，C错误；该试探电荷向x轴正方向运动时，电场力先做正功再做负功，因此电势能先减小后增大，D错误。
5.
(2019·辽宁辽阳模拟)点电荷Q1、Q2分别固定在x轴上的原点O处和x＝5d处，正点电荷q(不计重力)从x＝d处以初速度v0沿x轴正方向运动，其速率v与在x轴上的位置关系如图所示，则下列判断正确的是( )
A．点电荷Q1带负电荷、Q2带正电荷
B．点电荷Q1、Q2所带电荷量的绝对值之比为2∶3
C．正点电荷q从x＝d处到x＝4d处的过程中，在x＝2d处的电势能最小
D．从x＝d处到x＝4d处，电势先增大后减小
答案 D
解析 正点电荷q从x＝d处到x＝4d处的过程，速度先减小后增大，则电场力先做负功后做正功，即从x＝d处到x＝2d处场强方向向左，从x＝2d处到x＝4d处场强方向向右，则x＝2d处合场强为零。由上面的分析结合场强的叠加可知点电荷Q1、Q2均带负电荷，故A错误；由x＝2d处合场强为零得：eq \f(kQ1,2d2)＝eq \f(kQ2,3d2)，解得Q1∶Q2＝4∶9，B错误；由前面的分析知：正点电荷q从x＝d处到x＝4d处的过程中，电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，所以在x＝2d处的电势能最大，C错误；由Ep＝qφ可知正电荷电势能越大则电势越大，因此在x＝2d处电势最大，从x＝d处到x＝2d处，电势先增大后减小，D正确。
6．(2019·安徽合肥模拟)两电荷量分别为Q1和Q2的点电荷固定在y轴上的M、N两点，两电荷连线上各点电势φ随坐标y变化的关系图象如图所示，其中P点电势最高，且在y轴上MP长度小于PN长度。则下列说法正确的是( )
A．Q1和Q2都带正电荷
B．Q1的电荷量大于Q2的电荷量
C．在M、N之间将一点电荷沿y轴从P点下侧移到上侧，电势能先减小后增大，则该点电荷带正电
D．一点电荷只在电场力作用下沿y轴从P点运动到接近N点，加速度逐渐变大
答案 D
解析 从N到P电势升高，从P到M电势降低，则电场线方向从P到N，从P到M，则Q1和Q2都带负电荷，A错误；在P点，φy图线切线斜率为零，则P点的电场强度大小为零，说明Q1和Q2两点电荷在P点产生的场强大小相等，方向相反，由公式E＝keq \f(Q,r2)，MP＜NP，则Q1的电荷量小于Q2的电荷量，B错误；点电荷从P点下侧移到P点上侧，电势能先减小后增大，则此过程中电场力对其先做正功后做负功，结合Q1、Q2均为负电荷可知，该点电荷带负电，C错误；根据φy图线切线斜率表示电场强度，从P点到N点斜率越来越大，故场强越来越大，则一点电荷只在电场力作用下沿y轴从P点运动到接近N点，加速度逐渐变大，D正确。
7.
水平线上的O点放置一点电荷，图中画出了电荷周围对称分布的几条电场线，如图所示。以水平线上的某点O′为圆心画一个圆，与电场线分别相交于点a、b、c、d、e。则下列说法中正确的是( )
A．b、e两点的电场强度相同
B．b、c两点间电势差等于e、d两点间电势差
C．电子在c点的电势能小于在b点的电势能
D．正点电荷从a点沿圆周逆时针移动到d点过程中，电场力对它做正功
答案 BC
解析 由图看出，场源电荷为正电荷，b、e两点电场强度的大小相等，但方向不同，而电场强度是矢量，所以b、e两点的电场强度不同，A错误；根据对称性可知，b、c两点间电势差与e、d两点间电势差相等，B正确；根据沿着电场线电势逐渐降低可知，离场源电荷越远，电势越低，故c点电势高于b点电势，由Ep＝qφ＝－eφ，知电子在c点的电势能小于在b点的电势能，C正确；正点电荷从a点沿圆周逆时针移动到d点过程中，电势逐渐升高，由Ep＝qφ知电势能逐渐增大，则知电场力对它做负功，D错误。
8．(2019·安徽安庆模拟)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，将一电荷量为q＝－2×10－5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是( )
A．坐标原点O的电势为6 V
B．电场强度的大小为eq \r(2) V/m
C．该点电荷在c点的电势能为2×10－5 J
D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为8×10－5 J
答案 AD
解析 匀强电场中沿同一方向前进相同距离电势的降低相等，所以φb－φc＝φa－φO，代入数据解得：φO＝6 V，A正确；同理可知，ab中点e的电势为φe＝6 V，连接Oe，则Oe为等势线，如图所示，由几何关系可知ab垂直Oe，则ab为一条电场线，且电场强度的方向由b指向a，电场强度的大小为：E＝eq \f(Ube,dbe)＝eq \f(8－6,\f(\r(22＋22),2)×10－2) V/m＝100eq \r(2) V/m，B错误；该点电荷在c点的电势能为：Epc＝qφc＝－2×10－4 J，C错误；由几何关系得bd∥Oe，则φd＝φb，则该点电荷从a点移动到d点电场力做功为：Wad＝Wab＝qUab＝(－2×10－5)×(4－8) J＝8×10－5 J，D正确。
9.
空间存在一沿x轴对称分布的电场，其电势φ随x变化的情况如图所示，若在－x0处由静止释放一带正电的粒子，该粒子仅在电场力的作用下运动到x0的过程中，下列关于带电粒子的电势能Ep、动能Ek随位移x的变化图线，以及速度v、加速度a随时间t变化的图线正确的是( )
答案 AD
解析 根据电势能Ep＝qφ可知，φx图象的变化规律与带正电的粒子的电势能随x的变化规律相同，A正确；观察φx图象，其斜率表示电场强度，所以电场向右，从－x0到x0的过程中电场强度先减小后增大，带正电的粒子从－x0处由静止释放后，受到沿x轴正方向的电场力先减小后增大，经过相同位移电场力做的功先减小后增大，根据动能定理可知，B错误(也可以根据Ep＋Ek＝Ep0得出Ek的图象)；从－x0 到x0的过程中粒子的加速度也是先减小后增大，D正确；再根据vt图象的斜率表示加速度可知，C错误。
10．(2019·湖南衡阳模拟)如图所示，粗糙绝缘的水平面附近存在一平行于水平面的电场，其中某一区域的电场线与x轴平行，x轴上的电势φ与坐标x的关系如图中曲线所示，曲线过(0.1,4.5)和(0.15,3)两点，图中虚线为该曲线过点(0.15,3)的切线，现有一质量为0.20 kg、电荷量为＋2.0×10－8 C的滑块P(可视为质点)，从x＝0.10 m处由静止释放，其与水平面的动摩擦因数为0.02，取重力加速度g＝10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．滑块P运动过程中的电势能先减小后增大
B．滑块P运动过程中的加速度先减小后增大
C．x＝0.15 m处的电场强度大小为2.0×106 N/C
D．滑块P运动的最大速度为0.1 m/s
答案 BCD
解析 由电势φ与位移x图线的斜率表示电场强度可知，电场强度方向未变，滑块运动的过程中电场力始终做正功，电势能逐渐减小，A错误；φ x图线的斜率的绝对值表示电场强度的大小，则x＝0.15 m处的场强大小为E＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(3×105,0.3－0.15) V/m＝2×106 V/m＝2.0×106 N/C，滑块P在此处的电场力大小为：F＝qE＝2×10－8×2×106 N＝0.04 N，滑动摩擦力大小为f＝μmg＝0.02×2 N＝0.04 N，在x＝0.15 m前电场力大于摩擦力，做加速运动，加速度逐渐减小，在x＝0.15 m后电场力小于摩擦力，做减速运动，加速度逐渐增大，B、C正确；在x＝0.15 m处，电场力等于摩擦力，速度最大，根据动能定理得，qU－fx＝eq \f(1,2)mv2，因为x＝0.10 m和x＝0.15 m处的电势差为1.5×105 V，代入求解，最大速度为0.1 m/s，D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(14分)
如图所示，AB⊥CD且A、B、C、D位于一半径为r的竖直圆上，在C点有一固定点电荷，电荷量为＋Q。现从A点将一质量为m、电荷量为－q的小球由静止释放，小球沿光滑绝缘轨道ADB运动到D点时速度为eq \r(gr)，g为重力加速度，不考虑运动电荷对静电场的影响，求：
(1)小球运动到D点时对轨道的压力；
(2)小球从A点到D点过程中电势能的改变量。
答案 (1)2mg－keq \f(Qq,4r2)，方向竖直向下 (2)eq \f(1,2)mgr
解析 (1)小球在D点时有FN＋keq \f(Qq,2r2)－mg＝meq \f(v2,r)
解得FN＝2mg－keq \f(Qq,4r2)
由牛顿第三定律得，小球在D点时对轨道的压力大小为FN′＝2mg－keq \f(Qq,4r2)，方向竖直向下。
(2)小球从A运动到D，根据动能定理，有：
mgr＋W电＝eq \f(1,2)m(eq \r(gr))2－0
解得电场力做的功：W电＝－eq \f(1,2)mgr
因为电场力做负功，则电势能增加，ΔEp＝eq \f(1,2)mgr。
12．(16分)如图所示，带电荷量为Q的正点电荷固定在倾角为30°的光滑绝缘斜面底部的C点，斜面上有A、B两点，且A、B和C在同一直线上，A和C相距为L，B为AC中点。现将一带电小球从A点由静止释放，当带电小球运动到B点时速度恰好为零。已知带电小球在A点处的加速度大小为eq \f(g,4)，静电力常量为k，求：
(1)小球运动到B点时的加速度大小；
(2)B和A两点间的电势差(用Q和L表示)。
答案 (1)eq \f(g,2) (2)eq \f(kQ,L)
解析 (1)带电小球在A点时：
mgsin30°－keq \f(Qq,L2)＝maA
带电小球在B点时：
eq \f(kQq,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))2)－mgsin30°＝maB
且aA＝eq \f(g,4)
由以上各式联立解得：aB＝eq \f(g,2)。
(2)由A点到B点应用动能定理得：
mgsin30°·eq \f(L,2)－UBA·q＝0
由mgsin30°－keq \f(Qq,L2)＝maA＝meq \f(g,4)可得：
eq \f(1,4)mg＝keq \f(Qq,L2)
解得：UBA＝eq \f(kQ,L)。判断方法
具体应用
依据电场线方向
沿电场线的方向电势逐渐降低，电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面
依据电场力做功
根据UAB＝eq \f(WAB,q)＝φA－φB，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
依据电势能大小
正电荷在电势较高处电势能较大，负电荷在电势较低处电势能较大
依据场源电荷的正、负
取无穷远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷越近电势越高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷越近电势越低
判断方法
具体应用
根据电场线
的方向判断
(1)正电荷顺着电场线运动电势能减小
(2)负电荷顺着电场线运动电势能增加
根据电场力
做功判断
(1)静电力做正功，电势能必减小
(2)静电力做负功，电势能必增加
根据公式判断
由Ep＝qφ知，正电荷，电势越高，电势能越大；负电荷，电势越高，电势能越小
根据能量
守恒判断
在电场中，若只有静电力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，电势能增加
电场
等势线(面)
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷
的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异号
点电荷的
电场
连线的中垂线上电势处处为零
等量同号
(正)点电
荷的电场
两点电荷连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
电场
力做
功的
计算
方法
电场
中的
功能
关系
(1)电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加，即：W＝－ΔEp。
(2)合外力做正功，动能增大；合外力做负功，动能减小。
(3)如果只有电场力做功，则动能和电势能之间相互转化，动能(Ek)和电势能(Ep)的总和不变，即：ΔEk＝－ΔEp
关键信息
信息挖掘
题干
①有界匀强电场区域MPQN内
说明在空间MPQN内有电场，其他地方没有电场
②恰位于细杆的中垂线上
明确了系统开始运动的空间位置，此时只有A球受电场力
③从静止开始运动
系统开始运动时的初速度为零
问题
④所用的时间
可利用牛顿第二定律及运动学公式求解
⑤离开电场边界NQ时的速度大小
分析A球在离开NQ前的运动情况：先加速运动，再减速运动
⑥电势能增加量的最大值
B球进入电场后受电场力方向向左，只要B球向右运动，电势能就会增加
1．静电力做功
(1)特点：静电力做功与电荷的起始位置和eq \(□,\s\up1(01))终止位置有关，但与电荷经过的eq \(□,\s\up1(02))路径无关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于eq \(□,\s\up1(03))匀强电场，其中d为沿eq \(□,\s\up1(04))电场方向的距离，计算时q不带正负号。
②WAB＝qUAB，适用于eq \(□,\s\up1(05))任何电场，计算时q要带正负号。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中由于受到电场力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫做电势能，用符号Ep表示。
(2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于eq \(□,\s\up1(06))电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。
(3)大小：电荷在某点的电势能，等于eq \(□,\s\up1(07))将电荷从该点移到零势能位置时静电力做的功。
[特别提醒] (1)电势能由电场和电荷共同决定，属于电场和电荷系统所共有的，我们习惯说成电场中的电荷所具有的。
(2)电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电势能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。
(3)电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。
(4)零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地或无穷远处为零势能位置。
知识点 电势 Ⅰ
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的eq \(□,\s\up1(01))电势能Ep与它的eq \(□,\s\up1(02))电荷量q的比值。
(2)定义式：φ＝eq \(□,\s\up1(03))eq \f(Ep,q)。
(3)矢标性：电势是eq \(□,\s\up1(04))标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比eq \(□,\s\up1(05))零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有eq \(□,\s\up1(06))相对性，同一点的电势与选取的eq \(□,\s\up1(07))电势零点的位置有关。一般选取无穷远处为电势零点，在实际应用中常取大地的电势为零。
2．等势面
(1)定义：电场中eq \(□,\s\up1(08))电势相同的各点构成的面。
(2)四个特点
①在同一eq \(□,\s\up1(09))等势面上移动电荷时电场力不做功。
②等势面一定与eq \(□,\s\up1(10))电场线垂直。
③电场线总是从eq \(□,\s\up1(11))电势高的等势面指向eq \(□,\s\up1(12))电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度eq \(□,\s\up1(13))越大，反之eq \(□,\s\up1(14))越小。
[特别提醒] 电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷和所放电荷的电性、电荷量及电势能均无关。
知识点 电势差 Ⅱ
匀强电场中电势差与电场强度的关系 Ⅱ
1．电势差
(1)定义：电场中两点间电势的差值。
(2)定义式：UAB＝eq \(□,\s\up1(01))φA－φB。显然，UAB＝－UBA。
(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与电势零点的选取eq \(□,\s\up1(02))无关。
(4)电势差与电场力做功的关系：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，eq \(□,\s\up1(03))电场力做的功WAB与移动电荷的eq \(□,\s\up1(04))电荷量q的比值等于A、B两点间的电势差，即UAB＝eq \(□,\s\up1(05))eq \f(WAB,q)，计算时q要带正负号。
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式
UAB＝Ed，其中d为匀强电场中A、B两点eq \(□,\s\up1(06))沿电场方向的距离。
(2)电场强度的另一表达式
①表达式：E＝eq \f(UAB,d)。(只适用于匀强电场)
②意义：电场中，场强方向是eq \(□,\s\up1(07))电势降低最快的方向。在匀强电场中，场强在数值上等于沿eq \(□,\s\up1(08))电场方向单位长度降低的电势。
知识点 静电感应和静电平衡 Ⅰ
1．静电感应
当把一个不带电的金属导体放在电场中时，导体的两端分别感应出等量的正、负电荷，这种现象叫静电感应。
2．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加场强为零时，自由电荷不再发生eq \(□,\s\up1(01))定向移动，导体处于静电平衡状态。
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的场强eq \(□,\s\up1(02))处处为零；
②导体是一个等势体，导体表面是等势面；
③导体表面处的场强方向与导体表面eq \(□,\s\up1(03))垂直；
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上；
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷。
一 堵点疏通
1．电场强度处处相同的区域内，电势一定也处处相同。( )
2．A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。( )
3．电场中，场强方向是电势降落最快的方向。( )
4．电势有正负之分，因此电势是矢量。( )
5．电势的大小由电场的性质决定，与零电势点的选取无关。( )
6．电势差UAB由电场本身的性质决定，与零电势点的选取无关。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.× 5.× 6.√
二 对点激活
1．(人教版选修3－1·P19·T2改编)关于电场中两点电势的高低的判断，下列说法正确的是( )
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
答案 A
解析 由Ep＝qφ知正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；若Ep与q均为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
2.
(人教版选修3－1·P22·T3改编)如图所示，下列说法正确的是( )
A．φA>φB
B．负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C．负电荷由B移动到A时静电力做正功
D．UAB>0
答案 B
解析 沿着电场线的方向电势降低，由图知φA<φB，UAB<0，故A、D错误；WBA＝qUBA，其中q<0，UBA>0，则WBA<0，故C错误；由Ep＝qφ知负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，故B正确。
3.
(人教版选修3－1·P23·T2改编)带有等量异号电荷，相距10 cm的平行板A和B之间有一匀强电场，如图，电场强度E＝2×104 V/m，方向向下。电场中C点距B板为3 cm，D点距A板为2 cm。下列说法正确的是( )
A．UCD＝1000 V
B．让B板接地，则C点的电势φC＝600 V
C．让A板接地，则D点的电势φD＝400 V
D．将一个电子从C点移到D点静电力做的功，与将电子先从C点移到P点再移到D点静电力做的功数值不同
答案 B
解析 UCD＝－Ed＝－1000 V，故A错误；让B板接地，则φC＝EdCB＝600 V，故B正确；让A板接地，则φD＝－400 V，故C错误；静电力做功与路径无关，只与初末位置有关，故D错误。
4．关于等势面，下列说法正确的是( )
A．电荷在等势面上移动时不受电场力作用，所以不做功
B．等势面上各点的场强相等
C．等势面一定跟电场线垂直
D．两不同等势面在空间可以相交
答案 C
解析 等势面与电场线垂直，故沿着等势面移动电荷，电场力与运动方向一直垂直，电场力不做功，A错误；电场中电势相等的各个点构成的面叫做等势面，等势面上各个点的场强大小情况要看具体的电场，B错误；等势面一定与电场线垂直，C正确；电场中电势相等的各个点构成的面叫做等势面，两个不同的等势面的电势是不同的，所以两个不同的等势面永不相交，D错误。
考点细研 悟法培优
考点1 电势高低与电势能大小的判断
1.电势高低的判断方法
2．电势能大小的判断方法
例1
匀强电场的电场线是平行等间距的，假如在匀强电场中放入一不带电的金属小球，电场线会发生弯曲变成如图所示电场，关于该电场下列说法正确的是( )
A．由于感应起电，该金属小球放入匀强电场后总电荷量将不为零
B．电场线越密的地方电场强度越小
C．将一电子从P点移到Q点，电子的电势能一定减少
D．P点的电势一定高于Q点的电势
(1)如何判断P、Q两点电势的高低？
提示：沿电场线的方向电势逐渐降低。
(2)由于感应起电，小球两端所带电荷量相等吗？
提示：相等。
尝试解答 选C。
由于电荷守恒，金属小球的总电荷量仍为零，故A错误；电场线的疏密程度表示场强大小，电场线越密的地方场强越大，故B错误；沿电场线方向电势逐渐降低，故P点电势低于Q点电势，又因为电子带负电，所以电子在P点的电势能高于在Q点的电势能，即从P点到Q点电子的电势能一定减少，C正确，D错误。
电场线、电场强度、电势、电势能、等势面之间的关系
(1)电场线与电场强度的关系：同一电场，电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向。
(2)电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
(3)电场强度大小与电势无直接关系：零电势位置可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高。
(4)电势能与电势的关系：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大。
[变式1]
(多选)如图所示，处于x轴上的两个等量异号电荷＋Q和－Q，坐标分别为(L,0)和(3L,0)。以坐标原点O为圆心，作半径为2L的圆，圆上有a、b、c、d四个点，均处于两电荷形成的电场中。则下列说法正确的是( )
A．O点电势等于b点电势
B．b点和d点电场强度大小相等，电势相同
C．将一正试探电荷从c点沿虚线圆周移到O点电场力不做功
D．将一正试探电荷从b点沿y轴移到d点，电势能先增大后减小
答案 BD
解析 由等量异号点电荷的电场线、等势线分布图可知φO>φb，故A错误；根据对称性，b、d两点场强大小相等、电势相同，故B正确；c点电势为零，O点电势大于零，所以将正试探电荷从c点沿虚线圆周移到O点电场力做负功，故C错误；φb＝φd＜φO，所以将正试探电荷从b点沿y轴移到d点，电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故D正确。
考点2 电场线、等势线(面)及粒子的运动轨迹问题
1．几种典型电场的等势线(面)
2．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子电荷的正负判断电场强度的方向。
(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
例2
(2019·河北衡水模拟)如图所示，虚线a、b、c表示O处点电荷的电场中的三个不同的等势面，相邻等势面的间距相等，一电子射入电场后(只受电场力作用)的运动轨迹如图中实线所示，其中1、2、3、4表示运动轨迹与等势面的交点，由此可以判定( )
A．O处的点电荷一定带正电
B．电子运动过程中，动能先增大后减小
C．三个等势面的电势高低关系是φc＞φb＞φa
D．电子从位置2到位置3与从位置3到位置4过程中电场力所做的功相等
(1)如何判断场源电荷是正电荷还是负电荷？
提示：根据电子轨迹弯曲方向判断受到的是引力还是斥力，从而判断场源电荷的正负。
(2)如何判断电势的高低？
提示：判断出场源电荷电性就知道电场线方向，沿电场线电势降低。
尝试解答 选C。
从电子的运动轨迹可以看出两个电荷相互排斥，故点O处电荷带负电，A错误；两个电荷相互排斥，故电子运动过程中电场力先做负功，后做正功，根据动能定理，动能先变小后变大，B错误；点O处电荷带负电，故结合负电荷的等势面图，可以知道a、b、c三个等势面的电势高低关系是φc＞φb＞φa，C正确；点电荷产生的电场中，距离点电荷越远，电场强度越小，由于两相邻等势面的间距相等，所以U32＞U43，由W＝qU可知，电子从位置2到位置3与从位置3到位置4过程中电场力做的功不相等，D错误。
求解此类问题的思维模板
[变式2]
(多选)如图所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面与纸平面的交线，且相邻等势面之间的电势差相等。实线为一带正电荷粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，M、N是这条轨迹上的两点，则下面说法中正确的是( )
A．三个等势面中，a的电势最高
B．对于M、N两点，带电粒子通过M点时电势能较大
C．对于M、N两点，带电粒子通过M点时动能较大
D．带电粒子由M运动到N时，加速度增大
答案 CD
解析 由于带电粒子做曲线运动，且仅受电场力作用，因此所受电场力的方向必定指向轨迹的凹侧，且和等势面垂直，所以电场线方向是由c指向b再指向a，根据沿电场线方向电势降低，故φc>φb>φa，A错误；带正电荷粒子若从N点运动到M点，场强方向与运动方向成锐角，电场力做正功，电势能减少，若从M点运动到N点，场强方向与运动方向成钝角，电场力做负功，电势能增加，即在M点电势能较小，故B错误；根据能量守恒定律，电荷的动能和电势能之和保持不变，故粒子在M点的动能较大，C正确；由于相邻等势面之间电势差相等，N点等势面较密，则EN>EM，即qEN>qEM，由牛顿第二定律知，带电粒子从M点运动到N点时，加速度增大，D正确。
考点 3 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
(3)在匀强电场中U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d。推论如下：
推论①：如图甲，C点为线段AB的中点，则有φC＝eq \f(φA＋φB,2)。
推论②：如图乙，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
2．E＝eq \f(U,d)在非匀强电场中的几点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即等差等势面越密，电场强度越大。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φx图象的斜率判断沿x方向电场强度Ex随位置变化的规律。在φx图象中斜率k＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(U,d)＝－Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，斜率为正，表示电场强度方向沿规定的负方向；斜率为负，表示电场强度方向沿规定的正方向。
(4)利用Ex图象与x轴围成的面积表示电势差，即SAB＝ExAB＝Ed＝UAB，分析计算两点间电势差。
例3
(多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行。下列说法正确的是( )
A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m
C．匀强电场的电场强度方向为由C指向A
D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J
(1)在匀强电场中，如何寻找等势线？
提示：先利用几何关系确定两个等势点，它们的连线就是一条等势线。
(2)如何确定场强的大小和方向？
提示：根据电场线与等势线垂直，且沿电场线方向电势降低可判断电场方向，场强大小可由E＝eq \f(U,d)求得。
尝试解答 选ACD。
由于AC的中点电势为2 V，所以BE为等势线，CD、AF同为等势线，故A正确；CA为电场线方向，电场强度大小E＝eq \f(U,d)＝eq \f(2,2×10×cs30°×10－2) V/m＝eq \f(20,3)eq \r(3) V/m，故B错误，C正确；由UED＝UBC＝－1 V，WED＝－eUED＝1.6×10－19 J，得电子由E点移到D点电势能减少1.6×10－19 J，D正确。
匀强电场中找等势点的方法
等分线段找等势点法：在匀强电场中，电势沿直线是均匀变化的，即直线上距离相等的线段两端的电势差相等。因此将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，找到与已知的第三个点的电势相等的点，这两个等势点的连线即等势线(或等势面)，与等势线(或等势面)垂直的线即为电场线。
[变式3－1]
在如图所示的虚线方框内有一方向平行于纸面的匀强电场，A、B、C为该电场中的三个点，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AC＝5 cm，若将一个电荷量为1.0×10－8 C的负点电荷从B移到C，电场力做的功为1.2×10－7 J，而把该点电荷从B移到A，克服电场力做的功为1.2×10－7 J，则该匀强电场的场强大小为( )
A．500 V/m B．480 V/m
C．400 V/m D．300 V/m
答案 A
解析 由题意可知，UBC＝eq \f(WBC,q)＝eq \f(1.2×10－7,－1.0×10－8) V＝－12 V，UBA＝eq \f(WBA,q)＝eq \f(－1.2×10－7,－1.0×10－8) V＝12 V，设A点电势φA＝0 V，则φB＝12 V，φC＝24 V，则B点电势与AC中点D处的电势相等，由余弦定理可知BD＝2.5 cm，则由△ABD的面积是△ABC的一半可知，C、D两点沿着电场线方向的距离为2.4 cm，匀强电场的场强大小为E＝eq \f(UCD,d)＝eq \f(12,2.4×10－2) V/m＝500 V/m，A正确。
[变式3－2] 如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势φA＝30 V，B点的电势φB＝－10 V，则C点的电势( )
A．φC＝10 V B．φC＞10 V
C．φC＜10 V D．上述选项都不正确
答案 C
解析 由于AC之间的电场线比CB之间的电场线密，相等距离之间的电势差较大，即UAC＞UCB，所以φA－φC＞φC－φB，可得φC＜eq \f(φA＋φB,2)，即φC＜10 V，C正确。
考点4 电场中的图象问题
1.vt图象：根据电荷在电场中运动的vt图象的速度变化、斜率变化(即加速度变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化。
2．φx图象：(1)电场强度可用φx图线的斜率表示，斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向。
(2)在φx图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系分析电荷移动时电势能的变化。
3．Ex图象：(1)反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E>0表示场强沿正方向；E<0表示场强沿负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，“面积”的正负表示始末两点电势的高低。
4．Epx图象：(1)Epx图象可以判断某一位置电势能的大小，进而确定电势能的变化情况，根据电势能的变化可以判断电场力做功情况，结合带电粒子的运动可以确定电场力的方向。
(2)Epx图象的斜率k＝eq \f(Ep2－Ep1,x2－x1)＝eq \f(ΔEp,Δx)＝eq \f(－W电场,Δx)＝－F电场，即图象的斜率大小和正负分别表示电场力的大小和方向。
例4 两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中的C点电势最高，则( )
A．N点的电场强度大小为零
B．A点的电场强度大小为零
C．N、C间场强方向沿x轴正方向
D．将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功
(1)由q1、q2之间电势随x的变化图象可知q1、q2为同种电荷还是异种电荷？
提示：异种电荷，且q1为正，q2为负。
(2)φx图象的斜率表示什么？
提示：表示场强。
尝试解答 选D。
根据题给的两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系图象，可知O点的点电荷q1为正电荷，M点的点电荷q2为负电荷。题中φx图象斜率的绝对值表示电场强度的大小，由此可知，N点和A点的电势为零，但电场强度大小都不为零，C点的电场强度大小为零，A、B错误；从N点到C点电势逐渐增大，说明从N点到C点逆着电场线方向，故N、C间场强方向沿x轴负方向，C错误；将一负点电荷从N点移到D点，其电势能先减小后增大，则电场力先做正功后做负功，D正确。
解决电场相关图象问题的要点
同解决力学中的图象类问题相似，解决电场相关图象问题，关键是弄清图象坐标轴的物理意义，坐标正负代表什么，斜率、“面积”表示什么物理量，然后结合粒子的运动进一步分析电场力、电势能、动能等变化情况。
电场图象中的几个隐含物理量：
Ex图象：图象与坐标轴围成的面积表示电势差；
φx图象：某点切线的斜率表示该点对应位置的电场强度；
Epx图象：某点切线的斜率表示该点对应位置的电场力。
[变式4－1]
(2019·福建五校联考)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是( )
A．x1处，场强最小，且为零；电势也最小，但不为零
B．粒子在x2～x3段做匀减速直线运动
C．O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3>φ2＝φ0>φ1
D．x2～x3段的电场强度方向不变，大小均匀增加
答案 B
解析 根据电势能与电势的关系Ep＝qφ、场强与电势的关系E＝eq \f(Δφ,Δx)得E＝eq \f(1,q)eq \f(ΔEp,Δx)，由数学知识可知Epx图象的切线斜率的绝对值等于|qE|，由题图可知x1处切线斜率为零，故x1处场强最小且为零，结合粒子带负电和题图可知电势最小的点是x3处，O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3<φ2＝φ0<φ1，A、C均错误；x2～x3段是直线，斜率不变，即电场力恒定，x2～x3段的电场强度方向不变，大小不变，粒子在x2～x3段做匀减速直线运动，B正确，D错误。
[变式4－2]
某空间存在电场，其中x轴上电场的电场强度随坐标的变化关系如图所示，左右两侧图线对称，则下列说法正确的是( )
A．将负电荷从－d位置移到－2d位置，电场力做正功
B．－d位置和＋d位置电势相等
C．＋d位置到＋2d位置的电势差与＋2d位置到＋3d位置的电势差相等
D．将正电荷从－3d位置移到＋2d位置电场力做正功
答案 B
解析 在x≥d区域，电场强度沿x轴正方向，在x≤－d区域，电场强度沿x轴负方向，－d
例5
(多选)如图所示，A、B、C、D为匀强电场中相邻的四个等势面，一电子经过等势面D时，动能为16 eV，速度方向垂直于等势面D，且经过等势面C时，电势能为－8 eV，经过等势面B时速度恰好为零，已知相邻等势面间的距离均为4 cm，电子重力不计。则下列说法正确的是( )
A．电子做匀变速直线运动
B．匀强电场的场强大小为100 V/m
C．等势面A的电势为－8 V
D．电子再次经过等势面D时，动能为16 eV
(1)电子在等势面D时动能为16 eV，在等势面B时速度恰为零，该过程只有电场力做功，如何由动能定理求D、B两者间的电势差？
提示：由－eUDB＝0－EkD求UDB。
(2)如何求各等势面的电势？
提示：由UDB＝φD－φB结合φC＝eq \f(EpC,－e)求解。
尝试解答 选ACD。
由于电场为匀强电场，则电子所受的电场力为恒力，电子做匀变速直线运动，A正确；电子从等势面D运动到等势面B的过程中，由动能定理得－eUDB＝0－EkD，则可解得UDB＝16 V，由电势差与电场强度的关系可知E＝eq \f(UDB,dDB)＝eq \f(16,0.08) V/m＝200 V/m，B错误；电子在等势面C时，由EpC＝－eφC，代入数据解得φC＝8 V，又因为相邻等势面之间的距离相等，则相邻两等势面的电势差相等，则φB＝0、φA＝－8 V、φD＝16 V，C正确；在电子从等势面D运动到等势面B，再回到等势面D的整个过程中，电场力所做的功为零，由动能定理可知，电子再次回到等势面D时的动能仍为16 eV，D正确。
处理电场中能量问题的几点注意
(1)应用动能定理解决问题须研究合外力的功(或总功)。
(2)应用能量守恒定律解决问题须注意电势能和其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决问题须明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。
(4)有电场力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和可能守恒。
[变式5]
(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平。a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零。则小球a( )
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，速率先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
答案 BC
解析 如图所示，根据三角形定则不难看出，在小球a从N到Q的过程中，重力G大小和方向都不变、库仑斥力F变大且与重力之间的夹角θ由90°逐渐减小，合力F合将逐渐增大，A错误；从N到P的运动过程中，支持力不做功，而重力与库仑力的合力F合与速度之间的夹角α由锐角逐渐增大到90°，再增大为钝角，即合力F合对小球a先做正功后做负功，小球a的速率先增大后减小，B正确；小球a从N到Q靠近小球b的运动过程中，库仑力一直做负功，电势能一直增加，C正确；从P到Q的运动过程中，小球a减少的动能等于增加的重力势能与增加的电势能之和，D错误。
满分指导3 电势能和力学规律的综合应用
【案例剖析】
(18分)在动摩擦因数μ＝0.2的足够长的粗糙绝缘水平槽中，长为2L的绝缘轻质细杆两端各连接一个质量均为m的带电小球A和B，如图为俯视图(槽两侧光滑)。A球的电荷量为＋2q，B球的电荷量为－3q(均可视为质点，且不考虑两者间相互作用的库仑力)。现让A处于如图所示的①有界匀强电场区域MPQN内，已知虚线MP②恰位于细杆的中垂线上，MP和NQ的距离为3L，匀强电场的电场强度为E＝eq \f(1.2mg,q)，方向水平向右。释放带电系统，让A、B③从静止开始运动(忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响)。求：
(1)小球B第一次到达电场边界MP④所用的时间；
(2)小球A第一次⑤离开电场边界NQ时的速度大小；
(3)带电系统运动过程中，B球⑥电势能增加量的最大值。
[审题 抓住信息，准确推断]
[破题 形成思路，快速突破]
(1)小球B第一次到达电场边界MP所用时间的求解。
①求B球进入电场前的加速度。
a．研究对象：A、B两球组成的系统；
b．列动力学方程：2Eq－μ·2mg＝2ma1。
②求B球第一次到达电场边界MP所用时间。
列运动学方程：L＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)。
(2)小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小求解。
①研究过程：从B球进入电场到A球第一次离开电场。
②小球B刚进入电场的速度v1的求解。
a．选择规律：运动学方程；
b．方程式：veq \\al(2,1)＝2a1L。
③小球A第一次离开电场的速度v2的求解。
a．选择规律：动力学方程和运动学方程；
b．动力学方程式：2Eq－3Eq－μ·2mg＝2ma2；
运动学方程式：veq \\al(2,2)－veq \\al(2,1)＝2a2L。
(3)如何求带电系统运动过程中，B球电势能增加量的最大值？
提示：B球克服电场力做功越多，其增加的电势能越大。先求出A球出电场后系统的加速度和系统速度减小到零时A球离开右边界的距离x，判断x≤2L是否成立，以确定此时B球是否在电场中，如果在电场中，则利用电场力做功与电势能变化的关系求解，如果不在电场中，则进一步分析计算。
[解题 规范步骤，水到渠成]
(1)带电系统开始运动后，先向右加速运动，当B进入电场区时，开始做减速运动。设B球进入电场前的过程中，系统的加速度为a1，由牛顿第二定律：
2Eq－μ·2mg＝2ma1，解得a1＝g(2分)
B球刚进入电场时，由L＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)(2分)
可得t1＝ eq \r(\f(2L,g))。(1分)
(2)设B从静止到刚进入电场的速度为v1，由veq \\al(2,1)＝2a1L
可得v1＝eq \r(2gL)(2分)
设B球进入电场后，系统的加速度为a2，由牛顿第二定律得：
2Eq－3Eq－2μmg＝2ma2，解得：a2＝－0.8g(2分)
之后系统做匀减速直线运动，设小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小为v2，由veq \\al(2,2)－veq \\al(2,1)＝2a2L可得v2＝eq \f(\r(10gL),5)。(2分)
(3)当带电系统速度第一次为零时，此时A球已经到达右边界NQ右侧，B球克服电场力做的功越多，B球增加的电势能越多，设系统速度减小到零时，A球离右边界NQ的距离为x，A球离开电场后，系统的加速度为a3，由牛顿第二定律：－3Eq－2μmg＝2ma3，解得：a3＝－2g(2分)
由x＝eq \f(0－v\\al(2,2),2a3)解得：x＝0.1L<2L，所以B没有出电场，(3分)
故B电势能增加量的最大值为
ΔEp＝－W＝－[－3Eq(L＋x)]＝3Eq(L＋x)＝3Eq·1.1L＝3.3EqL＝3.96mgL。(2分)
[点题 突破瓶颈，稳拿满分]
常见的思维障碍：
(1)在求小球A第一次离开电场边界NQ的速度大小时，错误地认为A球在电场中一直做匀加速直线运动，没有分析B球进入电场后，系统的受力情况发生了变化，导致结果错误。
(2)小球A离开电场之后，错误地认为B球的加速度不变，没有分析A球离开电场之后，系统的受力情况发生了变化，加速度发生了变化，导致结果错误。
高考模拟 随堂集训
1．(2019·北京高考)如图所
示，a、b两点位于以负点电荷－Q(Q>0)为球心的球面上，c点在球面外，则( )
A．a点场强的大小比b点大
B．b点场强的大小比c点小
C．a点电势比b点高
D．b点电势比c点低
答案 D
解析 由点电荷的场强公式E＝keq \f(Q,r2)知，a、b两点与－Q距离相等，场强大小相等，A错误；由E＝keq \f(Q,r2)知，离－Q越近，场强越大，故b点场强大小比c点大(或由负点电荷形成的电场的电场线形状是“万箭穿心”，离点电荷越近电场线越密，场强越大，得出b点的场强比c点的大)，B错误；点电荷形成的电场的等势面是以点电荷为球心的一簇球面，离－Q距离相等的两点的电势相等，C错误；沿电场线的方向电势降低，故离－Q越近，电势越低，D正确。
2．(2019·全国卷Ⅲ)(多选)
如图，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点。则( )
A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
答案 BC
解析 b点距q近，a点距－q近，则b点的电势高于a点的电势，A错误。如图所示，a、b两点的电场强度可视为E3与E4、E1与E2的合场强。其中E1∥E3，E2∥E4，且知E1＝E3，E2＝E4，故合场强Ea与Eb大小相等、方向相同，B、C正确。由于φa<φb，将负电荷从低电势处移至高电势处的过程中，电场力做正功，电势能减少，D错误。
3．(2019·海南高考)如图，静电场中的一条电场线上有M、N两点，箭头代表电场的方向，则( )
A．M点的电势比N点的低
B．M点的场强大小一定比N点的大
C．电子在M点的电势能比在N点的低
D．电子在M点受到的电场力大小一定比在N点的大
答案 C
解析 沿电场线的方向电势降低，A错误；电子从M点向N点移动时克服电场力做功，电势能增大，故电子在M点的电势能比在N点的低，C正确；因为由一条电场线不能判断M、N两点的电场强度的大小，所以不能判断电子在M点受到的电场力是否比在N点的大，B、D错误。
4．(2019·江苏高考)(多选)如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点。先将一电荷量也为＋q的点电荷Q1从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场力做功为－W。再将Q1从C点沿CB移到B点并固定。最后将一电荷量为－2q的点电荷Q2从无穷远处移到C点。下列说法正确的有( )
A．Q1移入之前，C点的电势为eq \f(W,q)
B．Q1从C点移到B点的过程中，所受电场力做的功为0
C．Q2从无穷远处移到C点的过程中，所受电场力做的功为2W
D．Q2在移到C点后的电势能为－4W
答案 ABD
解析 根据电场力做功与电势能变化的关系知Q1在C点的电势能Ep＝W，根据电势的定义式知C点电势φ＝eq \f(Ep,q)＝eq \f(W,q)，A正确；在A点的点电荷产生的电场中，B、C两点处在同一等势面上，Q1从C点移到B点的过程中，电场力做功为0，B正确；将Q1移到B点固定后，再将Q2从无穷远处移到C点，两固定点电荷对Q2的库仑力做的功均为2W，则电场力对Q2做的总功为4W，C错误；因为无穷远处电势为0，则Q2移到C点后的电势能为－4W，D正确。
5．(2018·全国卷Ⅰ)
(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
答案 AB
解析 匀强电场内a、b、c、d、f间距相等，则电子每通过相邻两个等势面电场力做功相同，则Wad＝3Wbc，即Wbc＝－eUbc＝－2 eV，Ubc＝φb－φc＝2 V，所以φc＝0，A正确；根据动能定理从a到d：Wad＝Ekd－Eka，可得：Ekd＝4 eV，电子在d时有动能4 eV，速度可能沿各个方向，取极端情况：①电子沿电场线方向运动，从d到f电场力做功Wdf＝Wbc＝－2 eV，Ekf＝Ekd＋Wdf＝2 eV>0，可到达平面f；②电子到d时速度方向沿等势面d，将不能到达平面f，B正确；同理电子到达等势面c的动能Ekc＝6 eV，由于等势面c的电势为零，电子在等势面c的电势能为零，根据能量守恒定律，电子在运动过程中电势能和动能的总和保持一个定值，即Epd＋Ekd＝Epc＋Ekc＝6 eV，故电子经过平面d时，其电势能为Epd＝2 eV，C错误；电子经过平面b和d时的动能分别为：Ekb＝8 eV和Ekd＝4 eV，由Ek＝eq \f(1,2)mv2可得电子经过平面b时的速率是经过d时的eq \r(2)倍，D错误。
6.
(2018·全国卷Ⅱ)(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为eq \f(W1＋W2,2)
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为eq \f(W2,qL)
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案 BD
解析 根据题意无法判断电场方向，故A错误；由于电场为匀强电场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以φM＝eq \f(φc＋φa,2)，φN＝eq \f(φd＋φb,2)，若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W＝qUMN＝q(φM－φN)＝qeq \f(φc＋φa,2)－qeq \f(φd＋φb,2)＝eq \f(qUcd＋qUab,2)＝eq \f(W1＋W2,2)，故B正确；因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是eq \f(W2,qL)，故C错误；若W1＝W2，说明Ucd＝Uab，UaM－UbN＝(φa－φM)－(φb－φN)，又因为φM＝eq \f(φc＋φa,2)，φN＝eq \f(φd＋φb,2)，解得：UaM－UbN＝0，故D正确。
7．(2018·天津高考)
如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
A．vM＜vN，aM＜aN B．vM＜vN，φM＜φN
C．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN
答案 D
解析 将粒子的运动分情况讨论：如图，从M点运动到N点或从N点运动到M点，根据电场的性质依次判断；电场线越密，电场强度越大，同一个粒子受到的电场力越大，根据牛顿第二定律可知其加速度越大，故有aM＜aN；(a)若粒子从M点运动到N点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图甲所示，故电场力做负功，电势能增大，动能减小，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN；(b)若粒子从N点运动到M点，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图乙所示，故电场力做正功，电势能减小，动能增大，即vM＞vN，EpM＜EpN，负电荷在低电势处电势能大，故φM＞φN。综上所述，D正确。
8．(2017·全国卷Ⅲ)
(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
答案 ABD
解析
如图所示，由匀强电场中两平行线距离相等的两点间电势差相等知，Oa间电势差与bc间电势差相等，故O点电势为1 V，B正确；则在x轴上，每0.5 cm长度对应电势差为1 V,10 V对应的等势线与x轴交点e的坐标为(4.5,0)，△aOe中，Oe∶Oa＝4.5∶6＝3∶4，由几何知识得：Od长度为3.6 cm，代入公式E＝eq \f(U,d)得，E＝2.5 V/cm，A正确；电子带负电，电势越高，电势能越小，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝－eUbc＝9 eV，D正确。
9.
(2017·江苏高考)(多选)在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示。下列说法正确的有( )
A．q1和q2带有异种电荷
B．x1处的电场强度为零
C．负电荷从x1移到x2，电势能减小
D．负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
答案 AC
解析 两个点电荷在x轴上，且x1处的电势为零，x>x1处的电势大于零，x
(1)请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式；
(2)点电荷的电场线和等势面分布如图所示，等势面S1、S2到点电荷的距离分别为r1、r2。我们知道，电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算S1、S2上单位面积通过的电场线条数之比eq \f(N1,N2)。
答案 (1)keq \f(Q,r2) (2)eq \f(r\\al(2,2),r\\al(2,1))
解析 (1)在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷，根据库仑定律，检验电荷受到的电场力F＝keq \f(Qq,r2)，根据电场强度的定义E＝eq \f(F,q)，得E＝keq \f(Q,r2)。
(2)穿过每个面的电场线的总条数是相等的，若面积大，则单位面积上通过的条数就少，故通过两等势面单位面积上的电场线条数之比eq \f(N1,N2)＝eq \f(S2,S1)＝eq \f(4πr\\al(2,2),4πr\\al(2,1))＝eq \f(r\\al(2,2),r\\al(2,1))。
课时作业
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6题为单选，7～10题为多选)
1．(2016·全国卷Ⅲ)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A．两个电势不同的等势面可能相交
B．电场线与等势面处处相互垂直
C．同一等势面上各点电场强度一定相等
D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
答案 B
解析 假设两个电势不同的等势面相交，则交点处的电势就是两个不同的值，这是不可能的，A错误；电场线与等势面处处相互垂直，B正确；同一等势面上各点电势相等，而场强不一定相等，C错误；负电荷从高电势处移到低电势处，电势能增加，电场力做负功，D错误。
2．(2016·江苏高考)
一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内的电场线分布如图所示。容器内表面为等势面，A、B为容器内表面上的两点，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度比B点的大
B．小球表面的电势比容器内表面的低
C．B点的电场强度方向与该处内表面垂直
D．将检验电荷从A点沿不同路径移到B点，电场力所做的功不同
答案 C
解析 电场线的疏密表示场强的大小，因为A点处电场线较B点处稀疏，所以EA
A．A点的场强小于B点的场强
B．Q1的电荷量大于Q2的电荷量
C．电子在A点的电势能大于在B点的电势能
D．电子在A点的速度大于在B点的速度
答案 D
解析 根据“电场线的密疏表示场强的大小”可知，A点的场强比B点的场强大，A错误；根据电场线分布情况可知，Q1、Q2是同种电荷。由题图电场线分布特点可知点电荷Q2带电荷量较多，即Q1＜Q2，B错误；电子做曲线运动，受到的合力方向指向曲线的凹侧，故电子过B点时受到的电场力F方向斜向下，可知电子从A点运动到B点的过程中，电场力方向与速度方向的夹角总是大于90°，电场力做负功，电势能增大，动能减小，即电子在A点的电势能小于在B点的电势能，电子在A点的速度大于在B点的速度，C错误，D正确。
4．真空中，在x轴上x＝0和x＝8处分别固定两个电性相同的点电荷Q1和Q2。电荷间连线上的电场强度E随x变化的图象如图所示(＋x方向为场强正方向)，其中x＝6处E＝0。将一个正试探电荷在x＝2处由静止释放(重力不计，取无穷远处电势为零)。则( )
A．Q1、Q2均为负电荷
B．Q1、Q2带电量之比为9∶1
C．在x＝6处电势为0
D．该试探电荷向x轴正方向运动时，电势能一直减小
答案 B
解析 由图可知，在x＝0处场强为正，x＝8处场强为负，可知Q1、Q2均为正电荷，A错误；根据x＝6处E＝0可知，在x＝6处，E1＝E2，即keq \f(Q1,62)＝keq \f(Q2,22)，解得eq \f(Q1,Q2)＝eq \f(62,22)＝eq \f(9,1)，B正确；由于无穷远处电势为零，故在x＝6处电势大于0，C错误；该试探电荷向x轴正方向运动时，电场力先做正功再做负功，因此电势能先减小后增大，D错误。
5.
(2019·辽宁辽阳模拟)点电荷Q1、Q2分别固定在x轴上的原点O处和x＝5d处，正点电荷q(不计重力)从x＝d处以初速度v0沿x轴正方向运动，其速率v与在x轴上的位置关系如图所示，则下列判断正确的是( )
A．点电荷Q1带负电荷、Q2带正电荷
B．点电荷Q1、Q2所带电荷量的绝对值之比为2∶3
C．正点电荷q从x＝d处到x＝4d处的过程中，在x＝2d处的电势能最小
D．从x＝d处到x＝4d处，电势先增大后减小
答案 D
解析 正点电荷q从x＝d处到x＝4d处的过程，速度先减小后增大，则电场力先做负功后做正功，即从x＝d处到x＝2d处场强方向向左，从x＝2d处到x＝4d处场强方向向右，则x＝2d处合场强为零。由上面的分析结合场强的叠加可知点电荷Q1、Q2均带负电荷，故A错误；由x＝2d处合场强为零得：eq \f(kQ1,2d2)＝eq \f(kQ2,3d2)，解得Q1∶Q2＝4∶9，B错误；由前面的分析知：正点电荷q从x＝d处到x＝4d处的过程中，电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，所以在x＝2d处的电势能最大，C错误；由Ep＝qφ可知正电荷电势能越大则电势越大，因此在x＝2d处电势最大，从x＝d处到x＝2d处，电势先增大后减小，D正确。
6．(2019·安徽合肥模拟)两电荷量分别为Q1和Q2的点电荷固定在y轴上的M、N两点，两电荷连线上各点电势φ随坐标y变化的关系图象如图所示，其中P点电势最高，且在y轴上MP长度小于PN长度。则下列说法正确的是( )
A．Q1和Q2都带正电荷
B．Q1的电荷量大于Q2的电荷量
C．在M、N之间将一点电荷沿y轴从P点下侧移到上侧，电势能先减小后增大，则该点电荷带正电
D．一点电荷只在电场力作用下沿y轴从P点运动到接近N点，加速度逐渐变大
答案 D
解析 从N到P电势升高，从P到M电势降低，则电场线方向从P到N，从P到M，则Q1和Q2都带负电荷，A错误；在P点，φy图线切线斜率为零，则P点的电场强度大小为零，说明Q1和Q2两点电荷在P点产生的场强大小相等，方向相反，由公式E＝keq \f(Q,r2)，MP＜NP，则Q1的电荷量小于Q2的电荷量，B错误；点电荷从P点下侧移到P点上侧，电势能先减小后增大，则此过程中电场力对其先做正功后做负功，结合Q1、Q2均为负电荷可知，该点电荷带负电，C错误；根据φy图线切线斜率表示电场强度，从P点到N点斜率越来越大，故场强越来越大，则一点电荷只在电场力作用下沿y轴从P点运动到接近N点，加速度逐渐变大，D正确。
7.
水平线上的O点放置一点电荷，图中画出了电荷周围对称分布的几条电场线，如图所示。以水平线上的某点O′为圆心画一个圆，与电场线分别相交于点a、b、c、d、e。则下列说法中正确的是( )
A．b、e两点的电场强度相同
B．b、c两点间电势差等于e、d两点间电势差
C．电子在c点的电势能小于在b点的电势能
D．正点电荷从a点沿圆周逆时针移动到d点过程中，电场力对它做正功
答案 BC
解析 由图看出，场源电荷为正电荷，b、e两点电场强度的大小相等，但方向不同，而电场强度是矢量，所以b、e两点的电场强度不同，A错误；根据对称性可知，b、c两点间电势差与e、d两点间电势差相等，B正确；根据沿着电场线电势逐渐降低可知，离场源电荷越远，电势越低，故c点电势高于b点电势，由Ep＝qφ＝－eφ，知电子在c点的电势能小于在b点的电势能，C正确；正点电荷从a点沿圆周逆时针移动到d点过程中，电势逐渐升高，由Ep＝qφ知电势能逐渐增大，则知电场力对它做负功，D错误。
8．(2019·安徽安庆模拟)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，将一电荷量为q＝－2×10－5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是( )
A．坐标原点O的电势为6 V
B．电场强度的大小为eq \r(2) V/m
C．该点电荷在c点的电势能为2×10－5 J
D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为8×10－5 J
答案 AD
解析 匀强电场中沿同一方向前进相同距离电势的降低相等，所以φb－φc＝φa－φO，代入数据解得：φO＝6 V，A正确；同理可知，ab中点e的电势为φe＝6 V，连接Oe，则Oe为等势线，如图所示，由几何关系可知ab垂直Oe，则ab为一条电场线，且电场强度的方向由b指向a，电场强度的大小为：E＝eq \f(Ube,dbe)＝eq \f(8－6,\f(\r(22＋22),2)×10－2) V/m＝100eq \r(2) V/m，B错误；该点电荷在c点的电势能为：Epc＝qφc＝－2×10－4 J，C错误；由几何关系得bd∥Oe，则φd＝φb，则该点电荷从a点移动到d点电场力做功为：Wad＝Wab＝qUab＝(－2×10－5)×(4－8) J＝8×10－5 J，D正确。
9.
空间存在一沿x轴对称分布的电场，其电势φ随x变化的情况如图所示，若在－x0处由静止释放一带正电的粒子，该粒子仅在电场力的作用下运动到x0的过程中，下列关于带电粒子的电势能Ep、动能Ek随位移x的变化图线，以及速度v、加速度a随时间t变化的图线正确的是( )
答案 AD
解析 根据电势能Ep＝qφ可知，φx图象的变化规律与带正电的粒子的电势能随x的变化规律相同，A正确；观察φx图象，其斜率表示电场强度，所以电场向右，从－x0到x0的过程中电场强度先减小后增大，带正电的粒子从－x0处由静止释放后，受到沿x轴正方向的电场力先减小后增大，经过相同位移电场力做的功先减小后增大，根据动能定理可知，B错误(也可以根据Ep＋Ek＝Ep0得出Ek的图象)；从－x0 到x0的过程中粒子的加速度也是先减小后增大，D正确；再根据vt图象的斜率表示加速度可知，C错误。
10．(2019·湖南衡阳模拟)如图所示，粗糙绝缘的水平面附近存在一平行于水平面的电场，其中某一区域的电场线与x轴平行，x轴上的电势φ与坐标x的关系如图中曲线所示，曲线过(0.1,4.5)和(0.15,3)两点，图中虚线为该曲线过点(0.15,3)的切线，现有一质量为0.20 kg、电荷量为＋2.0×10－8 C的滑块P(可视为质点)，从x＝0.10 m处由静止释放，其与水平面的动摩擦因数为0.02，取重力加速度g＝10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．滑块P运动过程中的电势能先减小后增大
B．滑块P运动过程中的加速度先减小后增大
C．x＝0.15 m处的电场强度大小为2.0×106 N/C
D．滑块P运动的最大速度为0.1 m/s
答案 BCD
解析 由电势φ与位移x图线的斜率表示电场强度可知，电场强度方向未变，滑块运动的过程中电场力始终做正功，电势能逐渐减小，A错误；φ x图线的斜率的绝对值表示电场强度的大小，则x＝0.15 m处的场强大小为E＝eq \f(Δφ,Δx)＝eq \f(3×105,0.3－0.15) V/m＝2×106 V/m＝2.0×106 N/C，滑块P在此处的电场力大小为：F＝qE＝2×10－8×2×106 N＝0.04 N，滑动摩擦力大小为f＝μmg＝0.02×2 N＝0.04 N，在x＝0.15 m前电场力大于摩擦力，做加速运动，加速度逐渐减小，在x＝0.15 m后电场力小于摩擦力，做减速运动，加速度逐渐增大，B、C正确；在x＝0.15 m处，电场力等于摩擦力，速度最大，根据动能定理得，qU－fx＝eq \f(1,2)mv2，因为x＝0.10 m和x＝0.15 m处的电势差为1.5×105 V，代入求解，最大速度为0.1 m/s，D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(14分)
如图所示，AB⊥CD且A、B、C、D位于一半径为r的竖直圆上，在C点有一固定点电荷，电荷量为＋Q。现从A点将一质量为m、电荷量为－q的小球由静止释放，小球沿光滑绝缘轨道ADB运动到D点时速度为eq \r(gr)，g为重力加速度，不考虑运动电荷对静电场的影响，求：
(1)小球运动到D点时对轨道的压力；
(2)小球从A点到D点过程中电势能的改变量。
答案 (1)2mg－keq \f(Qq,4r2)，方向竖直向下 (2)eq \f(1,2)mgr
解析 (1)小球在D点时有FN＋keq \f(Qq,2r2)－mg＝meq \f(v2,r)
解得FN＝2mg－keq \f(Qq,4r2)
由牛顿第三定律得，小球在D点时对轨道的压力大小为FN′＝2mg－keq \f(Qq,4r2)，方向竖直向下。
(2)小球从A运动到D，根据动能定理，有：
mgr＋W电＝eq \f(1,2)m(eq \r(gr))2－0
解得电场力做的功：W电＝－eq \f(1,2)mgr
因为电场力做负功，则电势能增加，ΔEp＝eq \f(1,2)mgr。
12．(16分)如图所示，带电荷量为Q的正点电荷固定在倾角为30°的光滑绝缘斜面底部的C点，斜面上有A、B两点，且A、B和C在同一直线上，A和C相距为L，B为AC中点。现将一带电小球从A点由静止释放，当带电小球运动到B点时速度恰好为零。已知带电小球在A点处的加速度大小为eq \f(g,4)，静电力常量为k，求：
(1)小球运动到B点时的加速度大小；
(2)B和A两点间的电势差(用Q和L表示)。
答案 (1)eq \f(g,2) (2)eq \f(kQ,L)
解析 (1)带电小球在A点时：
mgsin30°－keq \f(Qq,L2)＝maA
带电小球在B点时：
eq \f(kQq,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))2)－mgsin30°＝maB
且aA＝eq \f(g,4)
由以上各式联立解得：aB＝eq \f(g,2)。
(2)由A点到B点应用动能定理得：
mgsin30°·eq \f(L,2)－UBA·q＝0
由mgsin30°－keq \f(Qq,L2)＝maA＝meq \f(g,4)可得：
eq \f(1,4)mg＝keq \f(Qq,L2)
解得：UBA＝eq \f(kQ,L)。判断方法
具体应用
依据电场线方向
沿电场线的方向电势逐渐降低，电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面
依据电场力做功
根据UAB＝eq \f(WAB,q)＝φA－φB，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
依据电势能大小
正电荷在电势较高处电势能较大，负电荷在电势较低处电势能较大
依据场源电荷的正、负
取无穷远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷越近电势越高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷越近电势越低
判断方法
具体应用
根据电场线
的方向判断
(1)正电荷顺着电场线运动电势能减小
(2)负电荷顺着电场线运动电势能增加
根据电场力
做功判断
(1)静电力做正功，电势能必减小
(2)静电力做负功，电势能必增加
根据公式判断
由Ep＝qφ知，正电荷，电势越高，电势能越大；负电荷，电势越高，电势能越小
根据能量
守恒判断
在电场中，若只有静电力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，电势能增加
电场
等势线(面)
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷
的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异号
点电荷的
电场
连线的中垂线上电势处处为零
等量同号
(正)点电
荷的电场
两点电荷连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
电场
力做
功的
计算
方法
电场
中的
功能
关系
(1)电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加，即：W＝－ΔEp。
(2)合外力做正功，动能增大；合外力做负功，动能减小。
(3)如果只有电场力做功，则动能和电势能之间相互转化，动能(Ek)和电势能(Ep)的总和不变，即：ΔEk＝－ΔEp
关键信息
信息挖掘
题干
①有界匀强电场区域MPQN内
说明在空间MPQN内有电场，其他地方没有电场
②恰位于细杆的中垂线上
明确了系统开始运动的空间位置，此时只有A球受电场力
③从静止开始运动
系统开始运动时的初速度为零
问题
④所用的时间
可利用牛顿第二定律及运动学公式求解
⑤离开电场边界NQ时的速度大小
分析A球在离开NQ前的运动情况：先加速运动，再减速运动
⑥电势能增加量的最大值
B球进入电场后受电场力方向向左，只要B球向右运动，电势能就会增加
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