人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示复习练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示复习练习题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．若，则=（ ）
A．B．C．D．
2．若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（ ）
A．0B．－C．0或－D．0或
3．已知空间向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，则等于（ ）
A．（0，34，10）B．（-3，19，7）C．44D．23
5．已知向量，若与互相垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知空间向量，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
7．定义，若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A．[6，12]B．[0，6]C．[-1，5]D．[0，12]
8．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A．B．17C．1D．
10．已知向量，，则（ ）
A．
B．
C．向量，的夹角的余弦值为
D．若向量（，为实数），则
三、填空题
11．已知，若与垂直，则___________.
12．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______
四、解答题
13．已知空间三点，设，.
(1)若向量与互相垂直，求的值；
(2)求向量在向量上的投影向量.
14．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.
问题：如图，在正方体中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为，E为棱上的动点，F为棱上的动点，___________，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
B能力提升
1．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且、不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．设O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，0，1)，点P是线段AB上的一个动点，且满足，若，则实数的取值范围是______．
C综合素养
1．两个非零向量，，定义．若，，则___________．
2．在正四棱柱中，，点是线段上一点，记，当为钝角时，实数的取值范围是________.
3．如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点．
(1)求的长；
(2)求的值；
(3)求证：．
4．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.
(1)作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
(2)若为棱的中点，是否存在，使平面平面，若存在，求出的所有可能值；若不存在，请说明理由.
1.3空间向量及其运算的坐标表示（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
.
故选：D
2．若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（ ）
A．0B．－C．0或－D．0或
【答案】C
由题知，
即，解得或.
故选：C
3．已知空间向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为空间向量，，且，
所以，解得：.
故选：B
4．已知，，则等于（ ）
A．（0，34，10）B．（-3，19，7）C．44D．23
【答案】C
∵，，
∴，
∴.
故选：C.
5．已知向量，若与互相垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题意，向量，
可得，，
与互相垂直，可得，
即，解得.
故选：B.
6．已知空间向量，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题设，使，即，可得.
故选：A.
7．定义，若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A．[6，12]B．[0，6]C．[-1，5]D．[0，12]
【答案】A
由题意知，．
设，则．
又，∴，∴．
故选：A
8．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因点Q在直线上运动，则，有，于是有，
因此，，，
于是得，
则当时，，此时，点Q，
所以当取得最小值时，点Q的坐标为.
故选：C
二、多选题
9．若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A．B．17C．1D．
【答案】BD
由题意得
解得或
故选：BD
10．已知向量，，则（ ）
A．
B．
C．向量，的夹角的余弦值为
D．若向量（，为实数），则
【答案】BC
解：对于选项A，由，故A选项不正确；
对于选项B，由，，故B选项正确；
对于选项C，由，得，故C选项正确；
对于D选项，由，得，解得，，有，故D选项错误.
故选：BC.
三、填空题
11．已知，若与垂直，则___________.
【答案】##
因为，
所以，，
因为与垂直，
所以，解得.
故答案为：.
12．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______
【答案】
设，因为，所以，所以点的坐标为.
又，，
所以，所以当时，取最小值，此时点的坐标为.
故答案为：.
四、解答题
13．已知空间三点，设，.
(1)若向量与互相垂直，求的值；
(2)求向量在向量上的投影向量.
【答案】(1)或(2)
(1)解：由已知得，.
所以，
. 因为与互相垂直，所以
，
即，解得或.
(2)解：因为，，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量.
14．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.
问题：如图，在正方体中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为，E为棱上的动点，F为棱上的动点，___________，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
解：由题意，
正方体棱长为2，
则，
设，
则，
所以.
选择①：，
所以，
得，
若得，
则，
故存在点，
满足，.
选择②：因为，
所以，
得，
若，
即，
得.
故存在点，
满足，.
选择③：因为，
所以与不共线，
所以，
即，
则，
故不存在点满足.
B能力提升
1．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是线段，上的点，是直线上的点，满足平面，，且、不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：如图，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，1，，
设，，，，
则，，，
，
连结，正方体中，是正方形，平面，
，，
又，平面，平面，
平面，，
又，1，，，，
，，，，，，
设，则，，，
，，即，
，，，，
，
当时，的最小值是．
故选：．
2．已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
以D为原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，，.

取的中点为H，连接，.
在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以.
又面，面，
所以面.
同理可证：面.
又，所以平面平面．
因为平面，所以点P只能在线段上运动．易知，设（），，则，，
，
．
当时，取得最小值；当时，取得最大值36．
故PC长度的取值范围为．
故选：C
3．在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
在直三棱柱中，底面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，设点、，
，，
由于，则，可得，
，则，
，
故选：A．
4．设O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，0，1)，点P是线段AB上的一个动点，且满足，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
∵O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，0，1).设P(x，y，z).
∴
∵，∴
∴
∴
∵，∴，
整理可得：，解得：.
又点P是线段AB上的一个动点，且满足，
∴.
∴.
故答案为：
C综合素养
1．两个非零向量，，定义．若，，则___________．
【答案】
因为，，
所以，
故，
所以，
故答案为：
2．在正四棱柱中，，点是线段上一点，记，当为钝角时，实数的取值范围是________.
【答案】
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
由得点：，，，为钝角且和不共线，，解得：，
实数的取值范围是.
3．如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点．
(1)求的长；
(2)求的值；
(3)求证：．
【答案】(1)(2)(3)详见解析
(1)解：建立如图所示空间直角坐标系：
，
则，
所以，
则；
(2)由（1）知，
所以，
则，
所以；
(3)由（1）知，
所以，
则，
所以．
4．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.
(1)作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
(2)若为棱的中点，是否存在，使平面平面，若存在，求出的所有可能值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析(2)存在，
(1)如图，延长交的延长线于，
连接交于，
则所在的直线即为平面与平面的交线.
证明：∵平面平面，
平面平面，平面平面，
∴.
又∵平面平面，
平面平面，
平面平面，
∴，∴.
(2)以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
，，.
设平面的一个法向量为，则，
可得.
同理可得平面的一个法向量为，
因为平面平面，所以，
得，解得.
所以存在，使平面平面，此时.