必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示综合训练题

这是一份必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示综合训练题，共57页。试卷主要包含了平面向量基本定理概念，基底实战理解，基底基础，基底，等和线与三点共线，向量最值范围，三角形内分点面积比值型，联赛等内容，欢迎下载使用。
本节课知识点目录：
平面向量基本定理概念；
基底理解：坐标系坐标轴合力。
基地基础：向量平行和绕三角形（基础）
基底：绕三角形“中线型”
基底：然三角形“中线上的中线型”
基底：“不正常基底型”
等和线与三点共线
向量最值范围
三角形内分点面积比值型（“奔驰定理”）
联赛、联考与自主招生题选
一、平面向量基本定理概念
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
【典型例题】
【例1】下列说法错误的是（ ）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
【例2】．设是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【例3】设，是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【例4】如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【例5】设向量与不共线，若，则实数的值分别为（ ）
A．0，0B．1，1C．3，0D．3，4
【例6】设向量，若用表示，则________.
【对点实战】
1.设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
2.设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）
A．①②B．①③
C．①④D．③④
3.下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量.
B．在平面向量基本定理中，若，则.
C．若单位向量､的夹角为，则在方向上的投影向量是.
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.
4.给出以下说法，其中不正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则存在实数，使；
C．若，是非零向量，，那么；
D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底.
5.已知向量是一个基底，实数满足，则_________．
6.若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）
A．不可以表示平面内的所有向量；
B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；
C．若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；
D．若存在实数使，则.
二、基底实战理解：就是坐标轴坐标系
1.共起点基底，理解成坐标轴。不一定是垂直的坐标轴。（可补充球面航海经纬度增加类比理解）
2.两基底所在直线区域，可以按照基底向量剪头方向对照直角坐标系四个象限。
3第3题，原解法涉及到老教材的“线性规划”，根据其概况，建议类比即将学习的圆内点和圆外点知识，适当的扩展一下。
【典型例题】
【例1】如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（ ）
A．m>0，n>0B．m>0，n 0 , n > 0 ,
当且仅当 即
又∵ ∴时取等号，的最小值为 9 .故答案为：9
【例3】已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．
【详解】因为是内一点，且所以O为的重心
在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时
所以，即
当M与C重合时，最大，此时 所以，即
因为在内且不含边界所以取开区间，即。所以选B
【例4】如图，矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线，,于.若，，则的最小值是（ ）
B． C． D．
【答案】C,设,则，又,所以，因此
，
【例5】已知中，过中线的中点任作一条直线分别交边，于，两点，设，（），则的最小值 ．
【答案】由已知可得
,由
.
【例6】在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为________．
【答案】由，得，即，因为点E在射线AD（不含点A）上移动，所以，又因为，所以，
则（当且仅当，即时取等号）；故填．
九、三角形内分点面积比值型（“奔驰定理”）
三角形内分点结论
【典型例题】
【例1】已知为内一点，，则，的面积之比为______．
【答案】
【分析】取的中点，的中点，然后利用已知化简得到，利用面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，由，得，
取为中点，为中点，则，所以．
故答案为：.
【例2】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】
作出图形，结合三点共线性质可得，，同时设，联立解出，进而确定关系，同时满足，进而求出关系，即可求解两三角形面积之比.
【详解】
如图，延长交于，则，因为，，三点共线，所以，即，所以，则，故且，又，故，所以，，所以，所以．
故答案为：C
【例3】在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设AD交BC于E，然后根据条件得到点E的位置，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比.
【详解】如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得：
，∴，∴.
设，则，∴.
又，∴，∴.故选：B.
【例4】设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设为的中点，由为的中点.则,，由向量线性运算得，则三点共线，且，由此可得题中三角形面积比．
【详解】
由，所以，
设为的中点，由为的中点.则,
所以，则三点共线，且，如图.
所以,则点到的距离是点到的距离的倍.所以.
故选：C.
十、联赛、联考与自主招生题选
【例1】在中，为角的平分线，点在上，为的中点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质推导出，利用平面向量的加法法则可得出，再利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】如下图所示，
根据角平分线的性质可知，点到直线、的距离相等，故，故，
所以，，
为的中点，则，
因此，.故选：C.
【例2】如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】
画出图形，结合图形，得出求的最大值时，只需考虑图中以为起点，个顶点为终点向量，分别求出即得结论．根据其对称性，可知最小值，进而可知的取值范围，即可得正确选项.
【详解】
如下图所示，求的最大值，只需考虑下图中以为起点，个顶点为终点向量即可，讨论如下：
当，此时；
当，此时；
当，此时；
当，此时；
当，此时；
当，此时；
所以的最大值为，根据其对称性，可知的最小值为，
则的取值范围为，
由选项判断可知，选项BC正确，故选：BC.
【例3】如图在平行四边形ABCD中，E为CD的中点， ，AE与BF交于O点.若，且AE与BF不垂直，则__________.
【答案】
【分析】
设，分别表示，，利用向量相等求得，然后由求解.
【详解】
设，所以，，，
又，所以，所以，则，
则，解得，所以，因为，
所以,即，因为AE与BF不垂直，所以，
所以，即.故答案为：