高中数学6.4 平面向量的应用课时练习

这是一份高中数学6.4 平面向量的应用课时练习，文件包含人教A版2019必修第二册高一下学期数学同步精讲6431余弦定理典例精讲原卷版+解析docx、人教A版2019必修第二册高一下学期数学同步精讲6431余弦定理专项检测原卷版+解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。

本节课知识点目录：
余弦定理1；已知两边及一角解三角形
余弦定理2；已知三边解三角形
余弦定理3；无边长求角。
余弦定理4；均值和余弦定理结合求最值范围
余弦定理5；与向量结合
余弦定理6；与面积结合
李用余弦定理判断三角形形状
余弦定理与中线、角平分线等应用
综合
-----典例精讲
一、余弦定理1：已知两边及一角解三角
【典型例题】
【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b=（ ）
A．B．C．3D．或3
【例2】在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（ ）
A．3B．C．D．3
【例3】在中，若，，，则边（ ）
A．4B．16C．D．10
【例4】．在中，的对边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【例5】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．或
【对点实战】
1.在中，，则（ ）
A．3B．C．D．
2.在中，如果，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
3.在中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
4.已知的内角所对的边分别为若，则=（ ）
A．B．C．D．
5.在中，，，，则（ ）
A．B．C．或D．无解
6.在锐角中，，，且，则______．
二、余弦定理2：已知三边解三角形
【典型例题】
【例1】在三角形中，，则大小为（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例3】下列选项中，能构成钝角三角形的三边长的选项是（ ）
A．B．C．D．
【例4】若的三边满足，则最小的内角余弦值为_____.
【例5】在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C的大小．
【例6】在钝角中，，，，，则的取值范围是______．
【对点实战】
1.．已知的内角所对的边分别为，若，则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
2.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小．
3.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD＝________．
4.已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是_____________.
5.在中，角所对的边分别为，若，，，则角C的大小为__________．
三、余弦定理3：无边长求角
【典型例题】
【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则 （ ）
A．B．C．D．
【例2】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则角（ ）
A．B．C．D．或
【例3】在中，若，则等于（ ）
A．B．或C．D．

【例4】在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【例5】在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【对点实战】
1.已知是三边之长，若满足等式，则等于（ ）
A．B．C．D．
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的值为
A．B．
C．或D．或
3.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为_________．
4.已知的三边长为，，，若满足，则角大小为______．
四、余弦定理4：均值和余弦结合求最值范围
【典型例题】
【例1】在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【例2】若锐角的边长分别为、、，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例3】在中，角所对的边分别为，且，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例4】．已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（ ）
A．B．为锐角三角形
C．D．
【例5】（多选）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B可以是（ ）
A．B．C．D．
【例6】在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且，则B的取值范围是___________.
【例7】在中，，则取最小值时，___________．
【对点实战】
1.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（多选）已知的内角所对的边分别为，若，则的取值可以是
A．B．C．D．
3.（多选）设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4.在中，设边所对的角为，若，则的最大值为________．
5.设的内角所对的边分别为，已知，则的最大值为_________ .
6.已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为____________．
7.若2a+1，，2a−1为钝角三角形的三边长，求实数a的取值范围.
五、余弦定理5：与向量结合
【典型例题】
【例1】已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，若，则角C的大小为（ ）
A．B．C．D．
【例2】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【例3】在平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【例4】在中，，则的最小角的余弦值为______.
【例5】在中，角所对的边分别为，若，，若，的周长为，的面积为，则的值是______.
【对点实战】
1.如图，已知为中的角平分线，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2.在中，内角A､B､C所对的边分别是a､b､c.若，，则___________.
3.在中，已知，则________________．
六、余弦定理6：与面积结合
三角形面积公式的应用：
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到余弦定理进行边和角的转化．
【典型例题】
【例1】在中，，，的面积为，则为（ ）．A．B．C．D．
【例2】已知的三边上高的长度比分别为，若的最短边与最长边的长度和为，则面积为
A．B．C．D．
【例3】已知、、分别为内角、、的对边，，，，则的面积为__________.
【例4】在中，，，，则的内切圆面积为_________
【例5】已知的面积为，且，，则的长为________.
【对点实战】
1.在中，若，三角形的面积，则B角为________.
2.已知锐角三角形内接于单位圆，且，则面积的最大值是___________.
七、利用余弦定理判断三角形形状
【典型例题】
【例1】在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【例2】在中，，则此三角形必是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．钝角三角形
【例3】在中，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形
【例4】在中，角，，所对的边分别是，，，若，则的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
【例5】在中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【对点实战】
1.在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
2.（多选）在中，，，，则角的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
3.（多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5B．C．D．6
八、余弦定理与中线角平分线等应用
【典型例题】
【例1】在中，，，，角的平分线与边交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【例2】．的内角，，的对边分别是，，.已知，，边上的中线长度为，则（ ）
A．B．C．1D．
【例3】在中，若，则边上的中线的长为___________.
【例4】在中，为中点，，且，则________．
【例5】在中，点是边的中点，，，则的最大值为___________.
【例6】在中，已知，的平分线交于，且，，则的面积为_________.
【例7】在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.
【对点实战】
1.在中，为的平分线，，则等于_____________．
2.已知分别是三个内角的对边，边上的中线长记为，则___________（用表示结果）．
3.在中，，，，则的角平分线的长为______．
4.在中，已知，则边上的中线长度为__________.
在中，角，所对的边分别为，已知，，，则边上的中线长_________．
九、综合
【典型例题】
【例1】在中，角，，的对边分别是，，，若，则与的大小关系是
A．B．C．D．不能确定
【例2】．在四边形中，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【例3】已知在中，角A，，的对边分别为，，，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【例4】（多选）在中，边所对的角分别为，若，则
A．B．C．D．
【例5】（多选）在中，角的对边分别为，若，则角可为（ ）
A．B．C．D．
【例6】在平面四边形中，，，，，，则__________.
【例7】在中，为边上一点，，，，若，则__________．
【例8】如图，，，，则______.
余弦定理
本节课知识点目录：
余弦定理1；已知两边及一角解三角形
余弦定理2；已知三边解三角形
余弦定理3；无边长求角。
余弦定理4；均值和余弦定理结合求最值范围
余弦定理5；与向量结合
余弦定理6；与面积结合
李用余弦定理判断三角形形状
余弦定理与中线、角平分线等应用
综合
-----典例精讲
一、余弦定理1：已知两边及一角解三角
【典型例题】
【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b=（ ）
A．B．C．3D．或3
【答案】D
【分析】根据可得，再利用余弦定理求解即可
【详解】由题，因为，故为锐角，故，又由余弦定理可得，故，化简得，故或3
故选：D
【例2】在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（ ）
A．3B．C．D．3
【答案】A
【分析】由余弦定理列方程求解．
【详解】由余弦定理得，解得（负值舍去）．
故选：A．
【例3】在中，若，，，则边（ ）
A．4B．16C．D．10
【答案】C
【分析】由余弦定理可得答案.
【详解】因为，，，
所以由余弦定理得，
则边.故选：C.
【例4】．在中，的对边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接由余弦定理可得答案.
【详解】由余弦定理可得
所以 故选：D
【例5】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】利用余弦定理列方程求解即可.
【详解】解：因为，，，
所以由余弦定理得，
即，解得或故选：D
【对点实战】
1.在中，，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理可得答案.
【详解】由余弦定理得，
故.
故选：B.
2.在中，如果，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理可得，
.
所以.故选：B.
3.在中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．
【详解】解：在中，，，，
设，利用余弦定理，
整理得，解得或（负值舍去）．
故选：C
4.已知的内角所对的边分别为若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由商数关系求得角，用余弦定理求．
【详解】，所以，又是三角形内角，所以，
由余弦定理得，解得（负值舍去）．
故选：B．
5.在中，，，，则（ ）
A．B．C．或D．无解
【答案】C
【分析】利用余弦定理可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】由余弦定理可得，即，
，解得或.
故选：C.
6.在锐角中，，，且，则______．
【答案】5
【分析】根据二倍角的余弦公式求得，结合余弦定理即可求出b.
【解析】由，
得，又，所以；
由余弦定理，得，
即，由，解得.故答案为：5
二、余弦定理2：已知三边解三角形
【典型例题】
【例1】在三角形中，，则大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理先求解出的值，然后即可求解出的大小.
【详解】因为，
所以，故选：D.
【例2】已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三边关系结合余弦定理求出，进而结合同角的平方关系即可求出结果.
【详解】因为，所以设，结合余弦定理得，因为，所以，因此，
故选：D.
【例3】下列选项中，能构成钝角三角形的三边长的选项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由构成三角形三边满足的条件可判断A；由余弦定理的推理可求出最大的边所对的角即可判断选项BCD，进而可得正确选项.
【详解】设三角形最大的内角为 ，
对于选项A：不满足两边之和大于第三边，不能够成三角形，故选项A不正确；
对于选项B： ，所以角为钝角，故选项B正确；
对于选项C：，所以角为直角，故选项C不正确；
对于选项D：，此时三角形为锐角三角形，故选项D不正确，
故选：B.
【例4】若的三边满足，则最小的内角余弦值为_____.
【答案】
【分析】根据已知设，，，然后将用表示，再确定最小内角，再利用余弦定理求解即可.
【详解】因为，所以设，，，
所以，，，又，所以为最小内角，
由余弦定理，得，
故答案为：
【例5】在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C的大小．
解 根据余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,2×4\r(3)×6＋2\r(3))＝eq \f(\r(3),2).
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,6)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4).
∴B＝π－A－C＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,4)＝eq \f(7π,12)，∴A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(7π,12)，C＝eq \f(π,4).
【例6】在钝角中，，，，，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据条件，利用以及三角形两边和大于第三边列不等式组求解即可.
【解析】，解得
故答案为：.
【对点实战】
1.．已知的内角所对的边分别为，若，则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】C
【分析】根据余弦定理，求得，得到，即可求解.
【详解】由题意，在中，满足，
设，其中，
由余弦定理可得，
因为角为三角形的内角，所以，所以为钝角三角形.
故选：C.
2.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小．
解 ∵a>c>b，∴A为最大角．
由余弦定理的推论，得
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq \f(1,2).
又∵0°∴最大角A为120°.
3.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD＝________．
【答案】
【解析】在中，由余弦定理变式得，又，∴ ，∴ ，∴，故答案.
4.已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是_____________.
【答案】
【分析】根据大边对大角及余弦定理直接计算即可.
【解析】设三边长分别为，则，
即最大角的余弦值为.故答案为：
5.在中，角所对的边分别为，若，，，则角C的大小为__________．
【答案】##
【分析】在中，利用余弦定理求得，即可求解.
【解析】在中，因为，，，
由余弦定理可得，
又由，所以.故答案为：.
三、余弦定理3：无边长求角
【典型例题】
【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，利用余弦定理求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以．故选：D．
【例2】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则角（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】根据余弦定理求解即可
【详解】由余弦定理，，又，故
故选：B
【点睛】
余弦定理：，，
【例3】在中，若，则等于（ ）
A．B．或C．D．
【答案】C
【分析】由余弦定理可得，将条件代入可得，从而可得答案.
【详解】由，得
在中，由余弦定理可得：
又,所以 故选：C
【例4】在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用余弦定理求解.
【详解】由题知，，，
在中，由余弦定理得，，
所以，又，所以.故选：C.
【例5】在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理直接求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，又，
所以.故选：D
【对点实战】
1.已知是三边之长，若满足等式，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将题意的等式化简得到，结合余弦定理即可得出结果.
【详解】由题意知，，化简，得，
由余弦定理，得，
又，所以.故选：A
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的值为
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】利用余弦定理先计算出的值，然后即可求解出的值.
【详解】解：，，即，
且有意义即，，在中，为或，故选：．
3.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为_________．
【答案】
【解析】， ，则.
4.已知的三边长为，，，若满足，则角大小为______．
【答案】.
【分析】先将已知条件化简整理，再结合余弦定理求出角的余弦值，进而可以求出结果.
【解析】因为，所以，结合余弦定理得，因为，所以,
故答案为：.
四、余弦定理4：均值和余弦结合求最值范围
【典型例题】
【例1】在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.
【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，
于是得，，解得，而有，即，
所以最大边的取值范围是：.
故选：D
【例2】若锐角的边长分别为、、，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围.
【详解】设的内角、、的对边分别为、、，则必为锐角，
由于为锐角三角形，则，可得，
，可得，则，，解得.
故选：B.
【例3】在中，角所对的边分别为，且，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用余弦定理结合求得的范围，从而可得出角的范围，利用辅助角公式将化为，，结合正弦函数的性质即可求得实数的取值范围.
【详解】解：由余弦定理得，
当时，取等号，
，由已知得，
，.故选：C.
【例4】．已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（ ）
A．B．为锐角三角形
C．D．
【答案】ACD
【分析】画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误
【详解】解：
，所以，故A正确；
若，则为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断的形状，故B错误；
而，故C正确
由余弦定理有
故有，故D正确
故选：ACD．
【例5】（多选）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】计算的范围，由此判断出正确结论.
【详解】，
当且仅当时等号成立，
所以，所以AB选项正确，CD选项错误.
故选：AB
【例6】在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且，则B的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据余弦定理结合基本不等式求解出的取值范围，由此可求的取值范围.
【详解】因为，取等号时，
所以，所以，
故答案为：.
【例7】在中，，则取最小值时，___________．
【答案】
【分析】将代入余弦公式化简可得，再代入计算可得，利用不等式可求出的最小值，并求出此时的大小.
【解析】解：，可得，即,
，当且仅当时取等号，
所以,，.故答案为：．
【对点实战】
1.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形为锐角三角形，满足最大角的余弦值大于即可.
【详解】设角对应的边为，
当是最大边时，，所以，
当不是最大边时，，所以，
所以的取值范围是，故选：C.
2.（多选）已知的内角所对的边分别为，若，则的取值可以是
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用代入条件可得,进而求解即可
【详解】因为
所以
所以
解得或 因为所以 所以.
故选：ABC.
3.（多选）设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】由余弦定理和基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得，可得，
因为，可得，所以A错误；
由，可得，
当且仅当时等号成立，
因为，所以，所以B正确；
由且，
所以，
可得，所以，可得，
因为，所以，所以C正确；
由，可得，
所以，
因为，所以，所以D正确；
故选：BCD.
4.在中，设边所对的角为，若，则的最大值为________．
【答案】6
【分析】题目考察余弦定理和基本不等式的综合应用，根据余弦定理写出之间的关系式，应用基本不等式求最大值
【详解】根据题意，在中，若，，则，即，又由，则有，即的最大值为6．
故答案为：6
5.设的内角所对的边分别为，已知，则的最大值为_________ .
【答案】
【分析】根据余弦定理及基本不等式，结合题干条件，即可求得答案.
【详解】由余弦定理得，即，
由基本不等式可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，又，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
6.已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为____________．
【答案】
【分析】利用余弦定理将表示为关于的函数表达式，利用锐角中，，且，，结合已知等式把不等式中的换走，得到，再利用对勾函数单调性，求得的取值范围.
【详解】，又锐角中，，且，，
将代入上面三个不等式，得到且，
，令，则，所以在上单减，在上单增，
又当时，的值为，当或时，的值为，
故答案为：
7.若2a+1，，2a−1为钝角三角形的三边长，求实数a的取值范围.
【答案】(2,8)
【分析】由三角形的性质知2a+1最大，设其对的角为θ，由两边之和大于第三边知a>2，再利用余弦定理csθ<0，解不等式可得解.
【详解】∵2a+1，，2a−1是三角形的三边长，∴2a+1>0a>02a−1>0，解得：a>12，此时2a+1最大，
要使2a+1，，2a−1是三角形的三边长，还需a+2a−1>2a+1，解得：a>2.
设最长边2a+1所对的角为θ，则θ>90°，
所以csθ=a2+(2a−1)2−(2a+1)22a(2a−1)=a(a−8)2a(2a−1)<0，解得：12综上可知实数a的取值范围是(2,8).
五、余弦定理5：与向量结合
【典型例题】
【例1】已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，若，则角C的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据可得，进而由余弦定理可解得角.
【详解】由得，整理得，
由余弦定理得，又，所以.
故选：B.
【例2】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得，再利用余弦定理求出，即可得解；
【详解】解：因为，，且
所以，化简得，所以，又，所以．故选：C．
【例3】在平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由余弦定理求即可求，根据几何图形中线段对应向量的线性关系及向量数量积的运算律，有，即可求值.
【详解】
由题意，，即，
∴，
∴，即.故选：A
【例4】在中，，则的最小角的余弦值为______.
【答案】
【分析】将代入已知条件，整理得，由平面向量基本定理可得，，可得边所对角为最小的角，由余弦定理即可求解.
【详解】由可得，
即，所以，
而和不共线，所以，，解得：，
所以边为最小的边，故角为最小的角，
由余弦定理可得：，
所以的最小角的余弦值为，故答案为：.
【例5】在中，角所对的边分别为，若，，若，的周长为，的面积为，则的值是______.
【答案】.
【分析】首先应用两个向量的数量积，求得角的大小，根据三角形的面积公式求得，结合三角形的周长，求得，之后应用余弦定理，求得边长a的值.
【详解】根据题意，有，
整理得，因为，所以，
从而求得，所以，
根据题意有，，即，
根据余弦定理，可得
，故答案为：.
【对点实战】
1.如图，已知为中的角平分线，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用已知条件，利用余弦定理求出，即可得到为直角三角形，从而求出，然后求解向量的数量积即可．
【详解】解：为中的角平分线，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以， ．
故选：．
2.在中，内角A､B､C所对的边分别是a､b､c.若，，则___________.
【答案】
【分析】由平面向量数量积的定义求出，即可得到，再由余弦定理求出的值，最后利用完全平方公式求出的值．
【解析】解：因为，，即，解得，所以，由余弦定理得，即，
即，
所以．
故答案为：
3.在中，已知，则________________．
【答案】
【分析】先利用余弦定理求出，再根据向量的数量积定义即可求出．
【解析】解：，
．
故答案为：．
六、余弦定理6：与面积结合
三角形面积公式的应用：
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到余弦定理进行边和角的转化．
【典型例题】
【例1】在中，，，的面积为，则为（ ）．A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件，先根据三角形面积公式求出的值，然后利用余弦定理求出的值，即可得的值.
【详解】解：在中，因为，，的面积为，
所以，所以，
因为，所以，
所以.故选：B.
【例2】已知的三边上高的长度比分别为，若的最短边与最长边的长度和为，则面积为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的三边、、上对应的高的长度分别为、、，可得出，根据题中条件求出的三边边长，利用余弦定理、同角三角函数的平方关系以及三角形的面积公式可求得结果.
【详解】不妨设的三边、、上对应的高的长度分别为、、，
由三角形的面积公式可得，所以，所，
所以为最短边，为最长边，所以，所以，，，
所以，则为锐角，故，
所以.
故选：B.
【例3】已知、、分别为内角、、的对边，，，，则的面积为__________.
【答案】
【分析】利用余弦定理得出，利用余弦定理结合可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】由余弦定理可得，
因为，
即，即，即，解得，
由三角形的面积公式可得.
故答案为：.
【例4】在中，，，，则的内切圆面积为__________【答案】
【分析】先利用余弦定理求出，再利用等面积法可求出圆半径，即可求出面积.
【解析】如图，设，
由余弦定理得，，
设内切圆的半径为，则，
，解得，
所以圆的面积为.故答案为：.
【例5】已知的面积为，且，，则的长为________.
【答案】
【分析】求得的值，利用三角形的面积公式求得，结合余弦定理可求得的值，即为所求.
【解析】在中，，所以，
由，，
由余弦定理得，
因此，.
故答案为：.
【对点实战】
1.在中，若，三角形的面积，则B角为________.
【答案】
【分析】由三角形面积公式求得，由等腰三角形的性质可得的值，【解析】中，，
三角形的面积，
，
故，
故答案为.
2.已知锐角三角形内接于单位圆，且，则面积的最大值是___________.
【答案】
【分析】由题意可知，由圆的性质可知，在中，使用余弦定理和基本不等式，可得，再根据三角形面积公式，即可求出结果.
【解析】如图，
设圆的半径为1，因为，所以是直角三角形，即，
所以角，
由余弦定理可知
由基本不等式可知
，当且仅当时，取等号；
所以，
又.
所以的面积的最大值为.
七、利用余弦定理判断三角形形状
【典型例题】
【例1】在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】
先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以三角形是直角三角形.故选：B
【例2】在中，，则此三角形必是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．钝角三角形
【答案】B
【分析】利用余弦定理的变形化角为边即可求解.
【详解】由，则，
即，整理可得，所以为直角三角形.故选：B
【例3】在中，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】首先根据余弦定理，边角互化，转化为边的关系，化简后判断三角形的形状.
【详解】由余弦定理得：，，
代入中，得，
等式两边同乘得：，
移项合并得：，
整理得：，
即，可得或，
则三角形为等腰三角形或直角三角形.
故选：D．
【例4】在中，角，，所对的边分别是，，，若，则的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】C
【分析】利用余弦定理即可得出选项.
【详解】由题意可得，即，
则，从而，
故一定是钝角三角形.
故选：C
【例5】在中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由已知可得，由余弦定理可得，化简变形可得，则有或，从而可判断三角形的形状
【详解】解：由，得，所以由余弦定理得，，
所以，
所以，，
所以或，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故选：D
【对点实战】
1.在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理可得，将，代入解得，进而判断三角形形状.
【详解】由余弦定理知，因为，，
所以，所以，所以，
因此，所以，即是等边三角形，故选：D.
2.（多选）在中，，，，则角的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.
【详解】由余弦定理，得，
即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以；
当时，，此时为直角三角形，所以.
故选：AD
3.（多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5B．C．D．6
【答案】CD
【分析】直接利用三角形的解的情况①b＝csinB或②b＜csinB的应用求出结果．
【详解】解：①b＞csinB＝6．三角形有两解
②当b＝3时，三角形有一解．
③当b＝6时，三角形为等腰直角三角形，有一解．
④当b＜3时，三角形无解，
故选：CD．
八、余弦定理与中线角平分线等应用
【典型例题】
【例1】在中，，，，角的平分线与边交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理求得的值，再根据角平分线的性质求得的值，再利用余弦定理，求得的值.
【详解】由余弦定理可得，
可得，所以，
再根据角平分线的性质，可得，所以，
所以，
所以.故选：D.
【例2】．的内角，，的对边分别是，，.已知，，边上的中线长度为，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】由已知条件利用余弦定理用表示，又，再次利用余弦定理化简等式可用表示c，代入即可得解.
【详解】在中，由余弦定理，
因为，，边上的中线长度为，
所以，化简可得，
又因为，
由余弦定理得，整理可得，
所以.故选：C
【例3】在中，若，则边上的中线的长为___________.
【答案】
【分析】根据互补对应余弦值互为相反数，利用余弦定理表示出余弦值，由此可求解出的长度.
【解析】因为，
，
又因为，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：.
【例4】在中，为中点，，且，则________．
【答案】4
【分析】由化简得，根据向量关系化简求得结果．
【解析】由得
所以，则，因为得
因为，则
因为，设，则
所以，解得或（舍去），所以
故答案为：4
【例5】在中，点是边的中点，，，则的最大值为___________.
【答案】
用余弦定理表示出，求出后利用余弦函数性质可得最大值．
【解析】记，则，
在中，，
同理在中可得，
∴，设，，．
则
，其中，是锐角，
显然存在，使得，
∴的最大值为．故答案为：．
【例6】在中，已知，的平分线交于，且，，则的面积为_________.
【答案】
设，，将利用三角形面积公式表示出来，可得，在中，利用余弦定理可得，解得，即可求出，，进而可得的值，再利用三角形面积公式即可求解.
【解析】因为平分，所以，设，则，，
因为，设，所以，
所以，，因为，所以，即，
在中，，所以，可得，解得：，
所以，所以， ，
所以，故答案为：
【例7】在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.
【答案】3
【分析】在和中，分别利用余弦定理，求得，再在中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.
【解析】如图所示，设，，则，
在中，由余弦定理，可得，即，①
在中，由余弦定理，可得，
即，②由①+②，可得，
在中，由余弦定理，可得，
即，
解得，所以，即的最大值为.故答案为：.
【对点实战】
1.在中，为的平分线，，则等于_____________．
【答案】
【解析】试题分析： 因为为的平分线，所以， 由余弦定理得
，，
.所以答案应填：．
2.已知分别是三个内角的对边，边上的中线长记为，则___________（用表示结果）．
【答案】
【分析】根据余弦定理求解.
【解析】设的中点为，中，，
中，
，
所以
故答案为：
3.在中，，，，则的角平分线的长为______．
【答案】
【分析】由已知判断是直角三角形，求出再利用余弦定理计算可得答案.
【解析】因为,且,所以,
由已知得,因为是的平分线,所以,即,
所以,解得,
在中，由余弦定理得
所以,故答案为：.
4.在中，已知，则边上的中线长度为__________.
【答案】
【分析】在分别利用余弦定理，列方程，解方程组可得答案
【解析】解：因为，为的中点，
所以
在中，由余弦定理得,
在中，由余弦定理得,
因为，
所以，
所以，得，
解得，或（舍去）
故答案为：
5.在中，角，所对的边分别为，已知，，，则边上的中线长_________．
【答案】
【分析】设边上的中线长，分别再和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.
【解析】设边上的中线长，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
所以，解答，即，
所以为边上的中线长.
故答案为：
九、综合
【典型例题】
【例1】在中，角，，的对边分别是，，，若，则与的大小关系是
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】先利用和差角的余弦公式判断出C为钝角，利用余弦定理即可求出.
【详解】在中，,
所以,
所以可化为，
即，所以，即C为钝角，
由余弦定理得：所以.故选：A
【例2】．在四边形中，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理求出对角线夹角的余弦，再由余弦定理求得线段长．
【详解】设与交于点，因为，，，，
所以，，，
所以，
，
所以．故选：B．
【例3】已知在中，角A，，的对边分别为，，，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理及题干条件，可得，，根据余弦定理，可求得的值，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】由题意得，
所以，又，所以，所以，
，所以，因为，，
所以，故A正确，B、D错误；
，
所以，
所以，故C错误.故选：A
【例4】（多选）在中，边所对的角分别为，若，则
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由余弦定理可得，求得，再由化简可得，求得，，即可得出结果.
【详解】，则由余弦定理可得，
，，，，
即，，，，则，由直角三角形可知
.故选：BD.
【例5】（多选）在中，角的对边分别为，若，则角可为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用余弦定理化简可得；分别验证各个选项中的的取值，根据可确定正确选项.
【详解】由余弦定理得：，
又，，整理可得：；
对于A，，则，A错误；
对于B，，则，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，，则，D错误.
故选：BC.
【例6】在平面四边形中，，，，，，则__________.
【答案】
【分析】求出的值，可求得的值，进一步可得出的值，由余弦定理求出的长，即可求得的长.
【详解】在中，，则，
所以，，
由余弦定理得，
整理可得，因为，解得，因此，.
故答案为：.
【例7】在中，为边上一点，，，，若，则__________．
【答案】
【解析】试题分析：设，
在中有：，
在中有：，又，代入得，解得．
【例8】如图，，，，则______.
【答案】
【分析】根据题意可推导出，，从而可得，，再利用余弦定理即可求出的长．
【解析】∵，，
∴，
∴，，
∴根据余弦定理得
∴故答案为：.