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高中人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算随堂练习题
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这是一份高中人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算随堂练习题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应点的坐标（ ）
A．(3，-1)B．(-1，-3)C．(3，1)D．(2，-4)
2.已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3.若方程有两个虚根，且，则实数m的值为（ ）
A．B．C．2D．
4.复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
5.设若、、为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6.设的共轭复数是，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．
7.已知复数满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8.设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（ ）
A．只有纯虚数根B．只有实数根
C．有两个实数根，两个纯虚数根D．既没有实数根，也没有纯虚数根
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________．
10.已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则且
B．方程可能有两个实数根
C．时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根，则或
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共计30分.
11.已知为虚数单位，，，，若为纯虚数，则复数的模等于______．
12.设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.
13.已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________．
14.已知复数，，满足, （其中是给定的实数），则的实部是___________（用含有的式子表示）.
15.复平面上两个点，对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①，且；②两点，连线的中点所对应的复数，则的面积为______.
16.设，是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则______.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）已知复数满足，求.
（2）已知为坐标原点，对应的复数为，对应的复数为.若与共线，求的值.
18.（12分）
已知复数z的模为，且z的实部和虚部是相等的正数．
(1)设，求；
(2)如果，求实数a、b的值．
19.（12分）
已知设复数满足使得关于的方程有实根，其中为的共轭复数，求满足条件的构成的集合.
20.（12分）
已知，(其中为虚数单位)．
(1)若为纯虚数，求实数的值；
(2)若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围．
21.（12分）
设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数.
22.（12分）
在复数范围内，证明，并由此写出-1的4个四次方根．
7.2.2复数乘、除运算-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应点的坐标（ ）
A．(3，-1)B．(-1，-3)C．(3，1)D．(2，-4)
【答案】A
【分析】利用复数的运算法则和几何意义可得出答案.
【详解】解：由题意得：
的共轭复数为，在复平面内对应的点的坐标是
故选：A
2.已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.
【详解】设，
由于对应点在第二象限，所以，
，，
，.
甲，
乙，
丙，
丁，
由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.
故选：B
3.．若方程有两个虚根，且，则实数m的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据给定条件可得与互为共轭复数，设，可得，再将或代入方程，经计算整理借助复数为0即可得解.
【详解】因方程有两个虚根，则与互为共轭复数，设，有，
由得，解得，
把代入得：，整理得，
而，于是得，且，解得，，若，同理得，，
所以实数m的值为.
故选：A
4.复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算、模的坐标运算及复数的几何意义即可判断.
【详解】因为，所以，故A错误；
，，故B错误；
，，故C错误；
由复数的几何意义可知：，则，故D正确.
故选：D.
5.设若、、为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.
【详解】由复数模的概念可知，不能得到，
例如，A错误；
由可得，若，则不一定成立，
即不一定成立，B错误；
因为，，而，
所以，所以，C正确；
取，显然满足，但，D错误.
故选：C
6.设的共轭复数是，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】设，根据已知条件分别求出、，结合复数运算法则即可得到.
【详解】设，则，
由，，得，即，
当 时，；
当时，.
综上，.故选：D.
7.已知复数满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，，根据复数相等的充要条件，得出的关系式，消去，得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出结论.
【详解】设，，则，
整理得，
所以消去得，①
因为，所以方程①有实数解，，
解得．
故选：D.
8.设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（ ）
A．只有纯虚数根B．只有实数根
C．有两个实数根，两个纯虚数根D．既没有实数根，也没有纯虚数根
【答案】D
【分析】根据题意假设是方程的根，进而代入得，同号，再求得，即可判断求得答案.
【详解】解：因为关于x的方程有纯虚数根，不妨设为，
所以，即，
所以，所以，同号，
所以，
所以，
令，所以，即
因为，
所以，
所以不可能为纯虚数，也不可能为实数，
所以关于x的方程既没有实数根，也没有纯虚数根
故选：D
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________．
【答案】
【分析】利用复数的摸的性质及复数的运算性质，进行运算即可求出答案.
【详解】解：，
∴，，
又，则，，∴，
∴.故答案为：.
10.已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则且
B．方程可能有两个实数根
C．时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根，则或
【答案】AD
【分析】将方程进行等价变形为，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当且时，无纯虚根判断C.
【详解】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确；
B选项：方程可变形为：，
即，则，只有一解，故B错误；
C选项：当且时，方程仅存在一解，此时无纯虚根，故C错误；
D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确
故选：AD
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共计30分.
11.已知为虚数单位，，，，若为纯虚数，则复数的模等于______．
【答案】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再由为纯虚数求出的值，最后根据复数模的公式求得答案.
【详解】，
因为为纯虚数，所以 ，所以，
所以，所以.
故答案为：.
12.设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.
【答案】
【分析】设出复数的代数形式，由求出的实部，然后由是纯虚数列式即可计算作答.
【详解】设，由，可得，解得，
又是纯虚数，设且，则，则，解得，
所以或.
故答案为：
13.已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________．
【答案】
【分析】设，根据题意及根与系数的关系可得，且。由此可得的值
【详解】解：设，
由根与系数的关系可得，则2a=k−1a2+b2=k2−1，
因为，所以，
所以，解得，
由，得或，
所以，
故答案为：
14.已知复数，，满足, （其中是给定的实数），则的实部是___________（用含有的式子表示）.
【答案】
【分析】令，根据，再利用，为的实部的2倍求解.
【详解】令，，，
，再由，
可得，.
故答案为：
15.复平面上两个点，对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①，且；②两点，连线的中点所对应的复数，则的面积为______.
【答案】.
【分析】设，求得，结合中点坐标公式求得的值，再求出和，代入三角形面积公式，即可求解.
【详解】设，则，
所以，
由两点连线的中点对应的复数为，所以，解得，
所以，，
所以的面积为.
故答案为：.
16.设，是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则______.
【答案】
【分析】设，，．则．则，．利用是实数，可得．于是，，，即可得出答案．
【详解】解：设，，．则．则，．
是实数，，．，．
，，即.故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）已知复数满足，求.
（2）已知为坐标原点，对应的复数为，对应的复数为.若与共线，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设，代入，列出方程组，联立求解，即得解，；
（2）利用向量共线的坐标表示列出方程组，即得解
【详解】（1）设，则.又，
所以，由复数相等得，解得，
所以.所以.
（2）因为对应的复数为，对应的复数为，
所以，，
因为与共线，所以存在实数使，即，
所以，
解得的值为.
18.（12分）
已知复数z的模为，且z的实部和虚部是相等的正数．
(1)设，求；
(2)如果，求实数a、b的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）第一步求出复数复数z的实部与虚部，可以设，所以，代入求解
（2）由（1）可知代入可以利用对应系数相等求的的值.
(1)
，
(2)
由，得解得，
故答案为：；，.
19.（12分）
已知设复数满足使得关于的方程有实根，其中为的共轭复数，求满足条件的构成的集合.
【答案】.
【分析】设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1），代入原方程化简，实部和虚部都等于0，解方程组即可求得.
【详解】设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1）.
将原方程改为（a+bi）x2+2（a-bi）x+2=0，分离实部与虚部后等价于：
…… ①
…… ②
若b=0，则a2=1，但当a=1时，①无实数解，从而，此时存在实数满足①、②，故z=-1满足条件.
若b≠0，则由②知x∈{0，2}，但显然x=0不满足①，故只能是x=2，代入①解得，进而，相应有
综上，满足条件的所有复数构成的集合为.
20.（12分）
已知，(其中为虚数单位)．
(1)若为纯虚数，求实数的值；
(2)若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2) ．
【分析】(1)利用复数运算化简，然后根据纯虚数的定义求解即可；(2)利用共轭复数和复数的模的定义化简，得到不等式，然后对不等式求解即可.
【详解】(1)由，，可得，
，
因为为纯虚数，
所以；
(2)因为，
所以，
由，可得，，
解得，，
故实数的取值范围为.
21.（12分）
设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数.
【答案】(1)|z|＝1，.(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，设z＝x＋y(x，y∈R，且y≠0)，由复数的加法及除法运算法则求出ω，根据ω是实数，且y≠0，可得x2＋y2＝1，从而可得|z|的值，又－1<ω<2，从而可得复数z的实部的取值范围；
（2）根据复数除法的运算法则求出μ＝，结合（1）问结论即可证明.
(1)
解：因为z是虚数，所以设z＝x＋y(x，y∈R，且y≠0)，
则ω＝z＋＝(x＋y)＋＝x＋y＋＝＋，
因为ω是实数，且y≠0，所以y－＝0，即x2＋y2＝1，
所以|z|＝，此时ω＝2x，
又－1<ω<2，所以－1<2x<2，解得－所以复数z的实部的取值范围是；
(2)
证明：μ＝＝＝＝，
又由（1）知x2＋y2＝1，所以μ＝－i，
因为y≠0，所以μ为纯虚数.
22.（12分）
在复数范围内，证明，并由此写出-1的4个四次方根．
【答案】证明具体见解析；在复数范围内，-1的4次方根为：或或或.
【分析】从等式的右边开始化简，通过平方差公式和复数的运算即可证明；令，则，进而根据证明的结论求得答案.
【详解】右边
=左边，即等式成立.
令，则，则或或或，
解得：或或或.
所以，在复数范围内-1的4个四次方根为：或或或.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应点的坐标（ ）
A．(3，-1)B．(-1，-3)C．(3，1)D．(2，-4)
2.已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3.若方程有两个虚根，且，则实数m的值为（ ）
A．B．C．2D．
4.复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
5.设若、、为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6.设的共轭复数是，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．
7.已知复数满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8.设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（ ）
A．只有纯虚数根B．只有实数根
C．有两个实数根，两个纯虚数根D．既没有实数根，也没有纯虚数根
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________．
10.已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则且
B．方程可能有两个实数根
C．时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根，则或
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共计30分.
11.已知为虚数单位，，，，若为纯虚数，则复数的模等于______．
12.设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.
13.已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________．
14.已知复数，，满足, （其中是给定的实数），则的实部是___________（用含有的式子表示）.
15.复平面上两个点，对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①，且；②两点，连线的中点所对应的复数，则的面积为______.
16.设，是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则______.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）已知复数满足，求.
（2）已知为坐标原点，对应的复数为，对应的复数为.若与共线，求的值.
18.（12分）
已知复数z的模为，且z的实部和虚部是相等的正数．
(1)设，求；
(2)如果，求实数a、b的值．
19.（12分）
已知设复数满足使得关于的方程有实根，其中为的共轭复数，求满足条件的构成的集合.
20.（12分）
已知，(其中为虚数单位)．
(1)若为纯虚数，求实数的值；
(2)若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围．
21.（12分）
设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数.
22.（12分）
在复数范围内，证明，并由此写出-1的4个四次方根．
7.2.2复数乘、除运算-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应点的坐标（ ）
A．(3，-1)B．(-1，-3)C．(3，1)D．(2，-4)
【答案】A
【分析】利用复数的运算法则和几何意义可得出答案.
【详解】解：由题意得：
的共轭复数为，在复平面内对应的点的坐标是
故选：A
2.已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【分析】设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.
【详解】设，
由于对应点在第二象限，所以，
，，
，.
甲，
乙，
丙，
丁，
由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.
故选：B
3.．若方程有两个虚根，且，则实数m的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据给定条件可得与互为共轭复数，设，可得，再将或代入方程，经计算整理借助复数为0即可得解.
【详解】因方程有两个虚根，则与互为共轭复数，设，有，
由得，解得，
把代入得：，整理得，
而，于是得，且，解得，，若，同理得，，
所以实数m的值为.
故选：A
4.复数，表示的共轭复数，表示的模，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算、模的坐标运算及复数的几何意义即可判断.
【详解】因为，所以，故A错误；
，，故B错误；
，，故C错误；
由复数的几何意义可知：，则，故D正确.
故选：D.
5.设若、、为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.
【详解】由复数模的概念可知，不能得到，
例如，A错误；
由可得，若，则不一定成立，
即不一定成立，B错误；
因为，，而，
所以，所以，C正确；
取，显然满足，但，D错误.
故选：C
6.设的共轭复数是，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】设，根据已知条件分别求出、，结合复数运算法则即可得到.
【详解】设，则，
由，，得，即，
当 时，；
当时，.
综上，.故选：D.
7.已知复数满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，，根据复数相等的充要条件，得出的关系式，消去，得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出结论.
【详解】设，，则，
整理得，
所以消去得，①
因为，所以方程①有实数解，，
解得．
故选：D.
8.设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（ ）
A．只有纯虚数根B．只有实数根
C．有两个实数根，两个纯虚数根D．既没有实数根，也没有纯虚数根
【答案】D
【分析】根据题意假设是方程的根，进而代入得，同号，再求得，即可判断求得答案.
【详解】解：因为关于x的方程有纯虚数根，不妨设为，
所以，即，
所以，所以，同号，
所以，
所以，
令，所以，即
因为，
所以，
所以不可能为纯虚数，也不可能为实数，
所以关于x的方程既没有实数根，也没有纯虚数根
故选：D
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________．
【答案】
【分析】利用复数的摸的性质及复数的运算性质，进行运算即可求出答案.
【详解】解：，
∴，，
又，则，，∴，
∴.故答案为：.
10.已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则且
B．方程可能有两个实数根
C．时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根，则或
【答案】AD
【分析】将方程进行等价变形为，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当且时，无纯虚根判断C.
【详解】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确；
B选项：方程可变形为：，
即，则，只有一解，故B错误；
C选项：当且时，方程仅存在一解，此时无纯虚根，故C错误；
D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确
故选：AD
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共计30分.
11.已知为虚数单位，，，，若为纯虚数，则复数的模等于______．
【答案】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再由为纯虚数求出的值，最后根据复数模的公式求得答案.
【详解】，
因为为纯虚数，所以 ，所以，
所以，所以.
故答案为：.
12.设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.
【答案】
【分析】设出复数的代数形式，由求出的实部，然后由是纯虚数列式即可计算作答.
【详解】设，由，可得，解得，
又是纯虚数，设且，则，则，解得，
所以或.
故答案为：
13.已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________．
【答案】
【分析】设，根据题意及根与系数的关系可得，且。由此可得的值
【详解】解：设，
由根与系数的关系可得，则2a=k−1a2+b2=k2−1，
因为，所以，
所以，解得，
由，得或，
所以，
故答案为：
14.已知复数，，满足, （其中是给定的实数），则的实部是___________（用含有的式子表示）.
【答案】
【分析】令，根据，再利用，为的实部的2倍求解.
【详解】令，，，
，再由，
可得，.
故答案为：
15.复平面上两个点，对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①，且；②两点，连线的中点所对应的复数，则的面积为______.
【答案】.
【分析】设，求得，结合中点坐标公式求得的值，再求出和，代入三角形面积公式，即可求解.
【详解】设，则，
所以，
由两点连线的中点对应的复数为，所以，解得，
所以，，
所以的面积为.
故答案为：.
16.设，是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则______.
【答案】
【分析】设，，．则．则，．利用是实数，可得．于是，，，即可得出答案．
【详解】解：设，，．则．则，．
是实数，，．，．
，，即.故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）已知复数满足，求.
（2）已知为坐标原点，对应的复数为，对应的复数为.若与共线，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设，代入，列出方程组，联立求解，即得解，；
（2）利用向量共线的坐标表示列出方程组，即得解
【详解】（1）设，则.又，
所以，由复数相等得，解得，
所以.所以.
（2）因为对应的复数为，对应的复数为，
所以，，
因为与共线，所以存在实数使，即，
所以，
解得的值为.
18.（12分）
已知复数z的模为，且z的实部和虚部是相等的正数．
(1)设，求；
(2)如果，求实数a、b的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）第一步求出复数复数z的实部与虚部，可以设，所以，代入求解
（2）由（1）可知代入可以利用对应系数相等求的的值.
(1)
，
(2)
由，得解得，
故答案为：；，.
19.（12分）
已知设复数满足使得关于的方程有实根，其中为的共轭复数，求满足条件的构成的集合.
【答案】.
【分析】设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1），代入原方程化简，实部和虚部都等于0，解方程组即可求得.
【详解】设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1）.
将原方程改为（a+bi）x2+2（a-bi）x+2=0，分离实部与虚部后等价于：
…… ①
…… ②
若b=0，则a2=1，但当a=1时，①无实数解，从而，此时存在实数满足①、②，故z=-1满足条件.
若b≠0，则由②知x∈{0，2}，但显然x=0不满足①，故只能是x=2，代入①解得，进而，相应有
综上，满足条件的所有复数构成的集合为.
20.（12分）
已知，(其中为虚数单位)．
(1)若为纯虚数，求实数的值；
(2)若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2) ．
【分析】(1)利用复数运算化简，然后根据纯虚数的定义求解即可；(2)利用共轭复数和复数的模的定义化简，得到不等式，然后对不等式求解即可.
【详解】(1)由，，可得，
，
因为为纯虚数，
所以；
(2)因为，
所以，
由，可得，，
解得，，
故实数的取值范围为.
21.（12分）
设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数.
【答案】(1)|z|＝1，.(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，设z＝x＋y(x，y∈R，且y≠0)，由复数的加法及除法运算法则求出ω，根据ω是实数，且y≠0，可得x2＋y2＝1，从而可得|z|的值，又－1<ω<2，从而可得复数z的实部的取值范围；
（2）根据复数除法的运算法则求出μ＝，结合（1）问结论即可证明.
(1)
解：因为z是虚数，所以设z＝x＋y(x，y∈R，且y≠0)，
则ω＝z＋＝(x＋y)＋＝x＋y＋＝＋，
因为ω是实数，且y≠0，所以y－＝0，即x2＋y2＝1，
所以|z|＝，此时ω＝2x，
又－1<ω<2，所以－1<2x<2，解得－
(2)
证明：μ＝＝＝＝，
又由（1）知x2＋y2＝1，所以μ＝－i，
因为y≠0，所以μ为纯虚数.
22.（12分）
在复数范围内，证明，并由此写出-1的4个四次方根．
【答案】证明具体见解析；在复数范围内，-1的4次方根为：或或或.
【分析】从等式的右边开始化简，通过平方差公式和复数的运算即可证明；令，则，进而根据证明的结论求得答案.
【详解】右边
=左边，即等式成立.
令，则，则或或或，
解得：或或或.
所以，在复数范围内-1的4个四次方根为：或或或.
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