高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步测试题，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列命题中正确命题的个数是（ ）
①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形；
③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．
A．1B．2
C．3D．4
2．如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
3．下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
4．下列命题正确的是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆上三点确定一个平面；
③圆心与圆上的两点确定一个平面；
④两条平行直线确定一个平面
A．①②B．②③C．②④D．③④
5．如图，已知正方体，空间中不存在平面经过其包含的所有对象的是（ ）
A．A，D，B．AB，C．A，O，CD．AB，C，
6．已知正方体，棱长为4，的中点为M，过D，M，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ）
A．18B．C．D．36
7．平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（ ）
A．个B．个
C．个D．个
8．体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下图中图形的画法正确的是（ ）
A．点在平面内B．直线在平面内
C．直线交平面于点D．三个平面两两相交
10．(多选题)下列命题中正确的是（ ）
A．三角形是平面图形B．四边形是平面图形
C．四边相等的四边形是平面图形D．圆是平面图形
11．(多选题)如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则（ ）
A．四点共面
B．四点共面
C．四点共面
D．四点共面
12．如图，已知正方体的棱长为2，设点分别为的中点，则过点的平面与正方体的截面形状可能为（ ）
A．三角形B．矩形
C．五边形D．六边形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；
14．若A，，三点都是两个不重合的平面的公共点，则A，，三点的位置关系是__________.
15．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
16．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，分如中点，则过点A，D，E的截面与三棱柱的侧面的交线的长为__________．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，在棱长为2的正方体中，设E是的中点.
(1)过点A，C且与平面平行的平面与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图中画出这个三角形（不必说明画法和理由）；
(2)求四棱锥的体积.
18．（12分）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证：
(1)，O，M三点共线；
(2)E，C，，F四点共面．
19．（12分）如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．
20．（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
（1）画出直线l的位置，并简单指出作图依据；
（2）设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．
21．（12分）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别是上的点，满足.
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
22．（12分）如图，已知直三棱柱，，，，，E，F是和上的两点，且，.
(1)证明：B，C，E，F四点共面；
(2)求点A到平面BCE的距离.
8.4.1平面-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列命题中正确命题的个数是（ ）
①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形；
③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】三角形和圆都是平面图形，四边相等的四边形和四边形有可能不是平面图形．
【详解】在①中，有不共线的三点确定一个平面，得三角形是一个是平面图形，故①为真命题；
在②③中，若这四条边不在同一平面内，例如空间四边形，则该四边形则不是平面图形，
∴②③为假命题；
在④中，圆是平面图形，∴④为真命题；
故选：B．
2．如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【分析】由图可知两平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，从而可得答案
【详解】由图可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，所以用符号语言可表示为，，，
故选：A
3．下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
【答案】B
【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可.
【详解】对于A，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；
对于B，梯形是一组对边平行且不相等，因此一定是平面图形，故B正确；
对于C，当在一条直线上时，平面和平面也可能相交，故C不正确；
对于D，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D不正确，
故选：B．
4．下列命题正确的是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆上三点确定一个平面；
③圆心与圆上的两点确定一个平面；
④两条平行直线确定一个平面
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【分析】由点、线确定平面的结论可直接得到结果.
【详解】对于①，若三点共线，则无法确定一个平面，①错误；
对于②，圆上三点不共线，则圆上任意三点可确定一个平面，②正确；
对于③，若圆上两点构成圆的直径，即与圆心共线，则此三点无法确定一个平面，③错误；
对于④，两条平行直线可确定唯一一个平面，④正确.
故选：C.
5．如图，已知正方体，空间中不存在平面经过其包含的所有对象的是（ ）
A．A，D，B．AB，C．A，O，CD．AB，C，
【答案】D
【分析】根据平面的基本性质逐一判断可得选项.
【详解】解：对于A，存在平面AD包含点A，D，，故A不正确；
对于B，存在平面AB包含AB，，故B不正确；
对于C，存在平面包含点A，O，C，故C不正确；
对于D，因为直线AB，C 是异面直线，所以不存在平面包含AB，C，，故D正确，
故选：D.
6．已知正方体，棱长为4，的中点为M，过D，M，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ）
A．18B．C．D．36
【答案】A
【分析】先根据空间中点、线、面位置关系作出截面并判断形状，然后结合线段长度求解出截面的面积.
【详解】延长交于点，连接交于点，连接，
因为为中点，所以，
所以为中点，且，所以为的中点，
根据平行关系可知为中点，
由图可知，截面图形为四边形，
又因为，，，
所以为等腰三角形，所以，
又为中点，为中点，所以为的中位线，
所以，
故选：A.
7．平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（ ）
A．个B．个
C．个D．个
【答案】C
【分析】根据已知条件，可以有二组三条直线平行，再分析如何增加两条直线使交点最少，作图即可求解.
【详解】因为最多三条直线平行，可以有二组三条直线平行，
如图，，这条线共有个交点，
如图交点分别为，
若要使交点最少可以使过两组平行线的三个交点，此时没有增加新的交点，
因为平面内条直线没有四条直线共点，不能过三条线的公共点，
比如不能过图中的，
由于不能过点为了保证交点最少，可以过两条直线的交点，
最少增加个新的交点，如图点，
所以至少有个交点，
故选：C.
8．体积为216的正方体中，点M是线段的中点，点N在线段上，，则正方体被平面AMN所截得的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积.
【详解】依题意得，N是的中点，，
则，
延长直线MN于P，延长交直线MN于Q，
连接AP交于E，连接AQ交于F，
作出截面AFNME如下图所示，
则中，
，
故的面积
=，
四边形MNFE的面积
，
故所求截面面积为.
故选:B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下图中图形的画法正确的是（ ）
A．点在平面内B．直线在平面内
C．直线交平面于点D．三个平面两两相交
【答案】ACD
【分析】根据点与平面、直线与平面、平面与平面的画法即可得出答案.
【详解】由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知对，B答案直线应画在平行四边形里面.
故选：
10．(多选题)下列命题中正确的是（ ）
A．三角形是平面图形B．四边形是平面图形
C．四边相等的四边形是平面图形D．圆是平面图形
【答案】AD
【分析】根据三角形和圆，以及空间四边形的概念，即可判断.
【详解】根据基本事实可知AD正确，
对BC，四边形可以是空间四边形，四点不在同一平面，故BC错误；
故选：AD．
11．(多选题)如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则（ ）
A．四点共面
B．四点共面
C．四点共面
D．四点共面
【答案】ACD
【分析】对于A，易知共面，再判断是否在这个平面即可；对于B，显然在平面内，D不在平面内，可知四点不共面；对于C，由已知可知，可判断四点共面；对于D，连接并延长，交于H，连接，可知，可判断四点共面.
【详解】对于A，由是四边形的中心，知是的中点，所以在平面内，所以四点共面，故A正确；
对于B，由分别为棱的中点，知在平面内，D不在平面内，所以四点不共面，故B错误；
对于C，由已知可知，所以四点共面，故C正确；
对于D，连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则，所以四点共面，故D正确；
故选：ACD
12．如图，已知正方体的棱长为2，设点分别为的中点，则过点的平面与正方体的截面形状可能为（ ）
A．三角形B．矩形
C．五边形D．六边形
【答案】BCD
【分析】在正方体的内部，由平面的延展性，截面不可能的三角形；取的中点，连接，此时过的平面即为平面；取，，连接，此时过的平面即为五边形；分别取的中点，连接，此时过的平面即为六边形，
【详解】在正方体的内部，由平面的延展性，截面不可能的三角形，故A错误；
取的中点，连接，因为，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形是矩形，此时过的平面即为平面，B正确；
取，，连接， 分别取的中点，取，连接、，可得，，所以在同一平面内，在同一平面内，又过的平面只有一个，
所以是五边形，此时过的平面即为五边形，故C正确；
分别取的中点，连接， 由正方体的性质，交于一点，所以的中点在平面内，即也在平面内，所以是六边形，此时过的平面即为六边形，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；
【答案】6
【分析】当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，结合正方体，即可得出答案.
【详解】解：当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，
如图正方体的四条侧棱，
所以最多可确定6个面.
故答案为：6.
14．若A，，三点都是两个不重合的平面的公共点，则A，，三点的位置关系是__________.
【答案】共线
【分析】根据A，，三点都是两个不重合的平面的公共点，则这两个平面相交，则根据平面的基本性质即可得出答案.
【详解】解：因为A，，三点都是两个不重合的平面的公共点，
所以这两个平面相交，
所以A，，三点都交线上，
所以A，，三点共线.
故答案为：共线.
15．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
【答案】32
【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解
【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；
然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：
（1）全同侧，这样的平面有2个；
（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，
1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，
考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，
故共有6个，
所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，
故答案为：32
16．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，分如中点，则过点A，D，E的截面与三棱柱的侧面的交线的长为__________．
【答案】
【分析】首先根据平行线将平面进行扩展得到过点A，D，E的截面与三棱柱的侧面的交线为，确定点为线段的三等分点靠近的点，最后在直角三角形中求得线段的长度即可.
【详解】由题意将直三棱柱补成一个直四棱柱,
取中点，连接,显然，
取中点，连接，则，
所以A，D，F，E四点共平面，连接与的交点为，连接
所以过点A，D，F，E的截面与三棱柱的侧面的交线为，
因为，且,
所以点为线段的三等分点靠近的点，
因为，所以，
又D为中点，所以，
因为面,所以，
则.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，在棱长为2的正方体中，设E是的中点.
(1)过点A，C且与平面平行的平面与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图中画出这个三角形（不必说明画法和理由）；
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)图象见解析；(2).
【分析】（1）根据题意，取中点为，连接，即可作图求得截面三角形；
（2）将棱锥拆分为两个等体积的三棱锥，利用棱锥的体积公式即可求得结果.
(1)
取的中点M，连接AM，CM，易知为所作三角形.
(2)
因为且，四边形为平行四边形.
.
故四棱锥的体积为.
18．（12分）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点．求证：
(1)，O，M三点共线；
(2)E，C，，F四点共面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证
（2）根据平行的传递性，可证，根据基本事实的推论，即可得证.
(1)
由题意得平面，
又，平面，
所以平面，
由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上，
所以三点共线
(2)
连接EF、、，
因为E、F分别为AB、的中点，
所以，
又正方体，
所以，
所以，
因为两平行直线可确定一个平面，
所以E，C，，F四点共面.
19．（12分）如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．
【答案】证明过程见解析.
【分析】运用平面基本事实进行证明即可.
【详解】因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．
所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为，
所以，因为，所以，因为，
所以，即直线AD，BD，CD在同一平面内．
20．（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
（1）画出直线l的位置，并简单指出作图依据；
（2）设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）根据点线面位置关系，三个平面两两相交，三条交线的可能情况分析，此题中的情况三条交线必交于一点，即可作图；
（2）利用平行关系结合三角形相似可求出PA1，再求出线段PB1的长．
【详解】(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．
(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，
∴AD＝A1E＝A1D1＝.
∵A1P∥D1N，且D1N＝，
∴A1P＝D1N＝，
于是PB1=A1B1-A1P=.
21．（12分）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别是上的点，满足.
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)
连接AC，
分别是的中点，
.
在中，，
所以四点共面.
(2)
，所以，
又平面平面，
同理平面，
为平面与平面的一个公共点.
又平面平面，即三点共线.
22．（12分）如图，已知直三棱柱，，，，，E，F是和上的两点，且，.
(1)证明：B，C，E，F四点共面；
(2)求点A到平面BCE的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知得到，即证明四点共面；
（2）先转化顶点求出四面体的体积，再通过余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式求出，再利用体积公式进行求解.
(1)
证明：因为，所以，
又因为，所以，即B，C，E，F四点共面.
(2)
解：因为，
又因为，点到平面的距离为，所以；
在中，，，，则，，
所以，
设A到平面BCE的距离为，则，解得，
即点A到平面BCE的距离为.