数学必修 第二册10.1 随机事件与概率精练

这是一份数学必修 第二册10.1 随机事件与概率精练，共34页。试卷主要包含了样本空间及其求法，随机事件与必然事件，随机事件的含义，互斥事件和对立事件，事件的运算等内容，欢迎下载使用。

本节课知识点目录：
样本空间及其求法。
随机事件与必然事件。
随机事件的含义
互斥事件和对立事件
事件的运算
一、样本空间及其求法
【典型例题】
【例1】将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间__________.
【例2】为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（ ）
A．3B．5C．6D．9
【例3】集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（ ）
A．8B．9C．12D．11
【例4】同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【例5】在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【例6】袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为 （ ）
A．5B．6C．7D．8
【例7】一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（ ）
A．（男，女），（男，男），（女，女）
B．（男，女），（女，男）
C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D．（男，男），（女，女）
【对点实战】
1.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2.一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为（ ）
A．男女、男男、女女B．男女、女男
C．男男、男女、女男、女女D．男男、女女
3.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.袋中有5只球，其中有3只红球，编号为1，2，3，有2只黄球，编号为4，5.现从中任意取一只球，试验A：观察颜色；试验B：观察号码.
试验A的样本空间为_______________________.
试验B的样本空间为_______________________.
5.从含有件次品的件产品中任取件，观察其中次品数，其样本空间为______．
6.同时抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点个数分别为________.
二、随机事件与必然事件
【典型例题】
【例1】下列是周期现象的为（ ）
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年6月份的平均降雨量．
A．①②④B．③④C．①②D．①②③
【例2】下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④
【例3】下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①三角形内角和为；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例4】下面的事件：
①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；
②某人买彩票中奖；
③非零实系数一次方程必有一实根；
④明天会下雨．
其中是必然事件的有（ ）
A．①B．④C．① ③D．① ④
【例5】下列事件中，是随机事件的是（ ）
①射击运动员某次比赛第一枪击中9环
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14
③13个人中至少有2个人的生日在同一个月
④抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上
A．①③B．③④C．①④D．②③
【例6】下列事件中，属于不确定的事件是（ ）
A．常温下，锡会融化；B．水蒸气遇冷能够凝结；
C．上海龙华古寺是一座千年古塔；D．电话铃声一响就被接听
【例7】下列试验能构成事件的是（ ）
A．掷一次硬币B．标准大气压下，水烧至
C．从100件产品中任取3件D．某人投篮5次，恰有3次投中
【例8】班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
【对点实战】
1.下列成语描述的事件是随机事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月
C．水涨船高D．瓜熟蒂落
2.下列事件为确定事件的有（ ）
（1）在一标准大气压下，的水结冰
（2）边长为，的长方形面积为ab
（3）抛一个硬币，落地后正面朝上
（4）平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.下列事件中，不可能事件是（ ）
A．三角形内角和为
B．三角形中大边对大角，小边对小角
C．锐角三角形中两个内角和等于
D．三角形中任意两边之和大于第三边
4.在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，至少一件是一级品．
其中的随机事件有（ ）
A．①③B．③④C．②④D．①②
5.已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
6.抛掷一枚骰子和一枚硬币，写出样本空间.
三、随机事件的含义
【典型例题】
【例1】如图，一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，元件处于正常状态记为“1”，处于失效状态记为“0”，把每个元件是否处于正常状态看成随机现象，记表示，，的状态，，，，指出下列随机事件的含义．
(1)事件；
(2)事件；
(3)事件．
【例2】先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x， y，则事件“朝上的面的点数x， y满足lg2xy＝1”包含的样本点有_______________．
【例3】班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
【例4】一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为（ ）
A．10B．15C．16D．17
【例5】已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1]，给出事件A：f(x)≥a.
（1）当A为必然事件时，求a的取值范围；
（2）当A为不可能事件时，求a的取值范围.
【例6】做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.
（1）求这个试验样本点的个数；
（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.
【例7】树形图（TreeDiagram）是一种有层次地枚举各种可能情况的可视化方法.树形图有助于我们直观地探求某些样本空间.例如，考察有两个孩子的家庭，记“从中任意抽取一个家庭，两个孩子是一男一女”为事件A.我们画出如图所示的树形图，可知样本空间{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，事件{（男，女），（女，男）}.
试用树形图的方法分析下列习题
一只不透明的口袋内装有大小相同的3个球，且分别标有1，2，3三个号码.记“从袋中不放回地抽取2个球，第一个球的号码是1”为事件A，“从袋中不放回地抽取2个球，第二个球的号码是2”为事件B.试分别写出，A，B及AB所包含的样本点.
【对点实战】
1.指出下列试验的样本空间和样本点个数：
（1）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；
（2）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取2个球.
2.在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：
(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；
(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}．
3.柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚．指出下列随机事件的含义．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
4.如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.
5.试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况．
设事件A表示随机事件“甲乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”．
试用集合表示事件A，B，C.
四、互斥事件和对立事件
【典型例题】
【例1】某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至少一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都没有中靶
【例2】抽查10件产品，设A={至多有1件次品}，则事件A的对立事件是（ ）
A．{至多有2件正品}B．{至多有1件次品}
C．{至少有1件正品}D．{至少有2件次品}
【例3】某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（ ）
A．至少有一次中靶B．三次都不中靶
C．恰有两次中靶D．至少两次中靶
【例4】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球D．至少有一个白球与至少一个红球
【例5】从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件．
(1)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”；
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；
(3)“取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”．
【例6】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件．
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.
【例7】从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
其中，为互斥事件的是（ ）
A．①B．②④C．③D．①③
【例8】一个口袋中装有个白球和个黑球，下列事件中，是独立事件的是（ ）
A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
【对点实战】
1.某小组有3名男生和2名女生，从中选取2名学生参加演讲比赛，下列事件中互斥而不对立的事件为（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生B．恰有1名男生和恰有2名女生
C．至少有1名男生和全是男生D．至少有1名男生和全是女生
2.许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为（ ）
A．至多做完三套练习题B．至多做完两套练习题
C．至多做完四套练习题D．至少做完两套练习题
3.从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．①B．②④C．③D．①③
4.从40张扑克牌(红桃､黑桃､方块､梅花，点数从1~10各1张)中，任取一张.
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
5.某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．
（1）求事件A包含的基本事件；
（2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．
6.用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”.
（1）写出试验的样本空间.
（2）用集合的形式表示事件.
（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由.
五、事件的运算
【典型例题】
【例1】抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ）
A．全是红球B．至少有1个红球
C．至多有1个红球D．1个红球，1个白球
【例3】某产品分为甲、乙、丙三级，其中甲级为正品，乙、丙两级均属次品．从等级分别为甲、乙、丙的三件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A， B， C，则抽得次品为（ ）
A．AB．
C．D．
【例4】如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
【例5】生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“产品合格”，“产品不合格”．
【例6】.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
【例7】掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）A∪B，B+C；
（3）记为事件H的对立事件，求.
【例8】设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）A发生，B，C不发生；
（4）A，B都发生，C不发生；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生；
（6）A，B，C中恰好有两个发生.
【对点实战】
1.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．与互斥D．与对立
2.打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（ ）
A．全部击中B．至少击中发
C．至少击中发D．以上均不正确
3.如果事件A，B互斥，那么（ ）
A．A∪B是必然事件B．∪是必然事件
C．与一定互斥D．与一定不互斥
4.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
5.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品.事件B:至少有两件次品.事件C:至少有一件次品.事件D:至多有一件次品.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是__________.
6.抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，若事件，事件，求事件，.
7.把标号为1，2，3，4的四张卡片分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人1张，事件A表示随机事件“甲分得1号卡片”，事件B表示随机事件“乙分得1号卡片”.
（1）分别指什么事件？
（2）事件A与事件B是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件A、事件B的对立事件.
定义
字母表示
样本点
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点
用ω表示样本点
样本空间
全体样本点的集合称为试验E的样本空间
用Ω表示样本空间
有限样本空间
如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
随机
事件
我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件
空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生．我们称∅为不可能事件
定义
符号
图示
互斥事件
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝∅
对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \x\t(A)
A∪B＝Ω且A∩B＝∅
定义
符号
图示
包含关系
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并事件
(或和事件)
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(或积事件)
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
随机事件样本空间与事件运算
-----典例精讲
本节课知识点目录：
样本空间及其求法。
随机事件与必然事件。
随机事件的含义
互斥事件和对立事件
事件的运算
一、样本空间及其求法
【典型例题】
【例1】将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间__________.
【答案】
【分析】根据样本空间的定义进行求解即可.
【详解】将2个1和1个0随机排成一排，这个试验的样本空间，
故答案为：
【例2】为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（ ）
A．3B．5C．6D．9
【答案】C
【分析】用列举法一一表示出该试验中样本点，从而求出该试验中样本点的个数
【详解】由题意，得样本点为（数学，计算机），（数学，航空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘画），（航空模型，绘画），共6个，
故选：C．
【例3】集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（ ）
A．8B．9C．12D．11
【答案】D
【分析】写出所有样本点即可求解.
【详解】根据题意，所有样本点为：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11个，
故选：D
【例4】同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据基本事件概念即可求解.
【详解】因为事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，
共包含6个样本点.
故选：D.
【例5】在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】由题意一一列举数字之差的绝对值为2或4的事件即可得出结果.
【详解】从5个小球中任取2个，
其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含
(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)4个样本点，
故选：B.
【例6】袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为 （ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】由题意一一列举出基本事件即可得出选项.
【详解】因为是有放回地随机摸3次，
所以随机试验的样本空间为Ω={(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，
(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}.共8个.
故选：D
【例7】一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（ ）
A．（男，女），（男，男），（女，女）
B．（男，女），（女，男）
C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D．（男，男），（女，女）
【答案】C
【分析】把所有的情况一一列出即可求解.
【详解】把第一个孩子的性别写在前面，第一个孩子的性别写在后面，
则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），
故选：C.
【对点实战】
1.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】列出2个数的和大于4的样本点即可求解．
【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，
则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4) }.
其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．
故选：C.
2.一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为（ ）
A．男女、男男、女女B．男女、女男
C．男男、男女、女男、女女D．男男、女女
【答案】C
【分析】由题意一一列举基本事件即可得出选项.
【详解】用列举法可知，性别情况有男男、男女、女男、女女，共4种可能.
故选：C
3.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据基本事件的概念一一列举即可得出选项.
【详解】解析：该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、
计算机和航空模型，所以样本点有3个.
故选：C
4.袋中有5只球，其中有3只红球，编号为1，2，3，有2只黄球，编号为4，5.现从中任意取一只球，试验A：观察颜色；试验B：观察号码.
试验A的样本空间为_______________________.
试验B的样本空间为_______________________.
【答案】 红，黄
【分析】由样本空间的定义即可求解.
【详解】解：由题意，试验A的样本空间为红，黄；试验B的样本空间为.
故答案为：红，黄；.
5.从含有件次品的件产品中任取件，观察其中次品数，其样本空间为______．
【答案】
【分析】分析取出的件产品的次品个数即可求解.
【详解】由分析可知取出的件产品的次品个数为，，，，，
所以样本空间为，
故答案为：.
6.同时抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点个数分别为________.
【答案】8，3
【分析】利用列举法计数可得．
【详解】同时抛三枚均匀的硬币的可能的不同结果有：
正正正，正正反，正反正，反正正，
反反正，反正反，正反反，反反反，
样本点的总个数为8，
恰好有2个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正，
共3个.
故答案为8，3.
二、随机事件与必然事件
【典型例题】
【例1】下列是周期现象的为（ ）
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年6月份的平均降雨量．
A．①②④B．③④C．①②D．①②③
【答案】C
【分析】根据周期现象的概念即可判断.
【详解】①②是周期现象；③是随机的，不是周期现象；④是随机的，不是周期现象.
故选：C.
【例2】下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．②④
【答案】A
【分析】利用随机事件的定义逐一分析给定的各个事件即可判断作答.
【详解】抛掷一枚硬币，是正面朝上，还是反面朝上，落下前不可确定，即①是随机事件；
因三角形三条高线一定交于一点，则②是必然事件；
因实数a，b都不为0，则，于是得③是不可能事件；
某地区明年7月的降雨量是一种预测，不能确定它比今年7月的降雨量高还是低，④是随机事件，
所以在给定的4个事件中，①④是随机事件.
故选：A
【例3】下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①三角形内角和为；②三角形中大边对大角，大角对大边；③三角形中两个内角和小于90°；④三角形中任意两边的和大于第三边
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据随机事件和必然事件的定义判断即可求解.
【详解】①三角形内角和为是必然事件，
②三角形中大边对大角，大角对大边是必然事件，
③三角形中两个内角和可能小于，可能等于，可能大于，是随机事件，
④三角形中任意两边的和大于第三边是必然事件，
所以随机事件的个数为，
故选：A.
【例4】下面的事件：
①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；
②某人买彩票中奖；
③非零实系数一次方程必有一实根；
④明天会下雨．
其中是必然事件的有（ ）
A．①B．④C．① ③D．① ④
【答案】C
【分析】根据必然事件的知识确定正确选项.
【详解】①，因为红球只有个，所以从中任取3个球，至少取到1个白球，是必然事件.
②，中奖不是必然事件.
③，非零实系数一次方程必有一实根，是必然事件.
④，明天会下雨，不是必然事件.
所以必然事件的是① ③.
故选：C
【例5】下列事件中，是随机事件的是（ ）
①射击运动员某次比赛第一枪击中9环
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14
③13个人中至少有2个人的生日在同一个月
④抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上
A．①③B．③④C．①④D．②③
【答案】C
【分析】由随机事件，不可能事件，必然事件的定义判断即可.
【详解】解：根据题意，①④为随机事件，②为不可能事件，③为必然事件.
所以随机事件的①④
故选：C
【例6】下列事件中，属于不确定的事件是（ ）
A．常温下，锡会融化；B．水蒸气遇冷能够凝结；
C．上海龙华古寺是一座千年古塔；D．电话铃声一响就被接听
【答案】D
【分析】根据不可能事件、随机事件、必然事件的定义直接判断.
【详解】对于A：“常温下，锡会融化”是不可能事件.故A错误 ；
对于B：“水蒸气遇冷能够凝结”是必然事件. 故B错误 ；
对于C：“上海龙华古寺是一座千年古塔”是必然事件. 故C错误 ；
对于D：电话铃声一响后有可能被接听，也有可能不被接听，故“电话铃声一响就被接听”是随机事件.
故选：D
【例7】下列试验能构成事件的是（ ）
A．掷一次硬币B．标准大气压下，水烧至
C．从100件产品中任取3件D．某人投篮5次，恰有3次投中
【答案】D
【分析】根据事件可以分为必然事件、随机事件和不可能事件即可判断.
【详解】解：所谓事件，实际上就是在一定条件下所出现的某种结果．在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件．在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件．随机事件在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．
，，三个选项不能划分为三种事件的其中一个，
故选：D．
【例8】班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据必然事件的定义得解；
（2）根据随机事件的定义得解.
(1)
解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，
所以.
(2)
解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，
所以，.
【对点实战】
1.下列成语描述的事件是随机事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月
C．水涨船高D．瓜熟蒂落
【答案】A
【分析】根据不可能事件、随机事件、必然事件的定义求解
【详解】由不可能事件、随机事件、必然事件的定义知：
守株待兔是随机事件，水中捞月是不可能事件，水涨船高、瓜熟蒂落是必然事件．
故选：A．
2.下列事件为确定事件的有（ ）
（1）在一标准大气压下，的水结冰
（2）边长为，的长方形面积为ab
（3）抛一个硬币，落地后正面朝上
（4）平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据不可能事件、必然事件、随机事件的概念进行逐一判断即可得到答案.
【详解】（1）在一标准大气压下，的水结冰，这是不可能发生的事件，故是不可能事件．
（2）边长为，的长方形面积为，这是必然发生的事件，故是必然事件
（3）抛一个硬币，落地后正面朝上，这件事可能发生，也可能不发生，属于随机事件．
（4）平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分，这是不可能发生的事件，故是不可能事件．
故选:A．
3.下列事件中，不可能事件是（ ）
A．三角形内角和为
B．三角形中大边对大角，小边对小角
C．锐角三角形中两个内角和等于
D．三角形中任意两边之和大于第三边
【答案】C
【分析】根据三角形的相关性质可判断事件.
【详解】由三角形性质可知、、为必然事件；
由三角形内角和定理知两个内角和等于的三角形为直角三角形是不可能的，
所以为不可能事件．
故选：C
4.在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这200件产品中任意选出9件，至少一件是一级品．
其中的随机事件有（ ）
A．①③B．③④C．②④D．①②
【答案】A
【分析】按照随机事件、必然事件、不可能事件的定义一一判断.
【详解】由于在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，
则①“在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件．
②“在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品”，这件事根本不可能发生，故是不可能事件．
③“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件．
④“在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100”，是一定要发生的事件，故是必然事件
故选：A．
5.已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【答案】C
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.
【详解】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
故选：C．
6.抛掷一枚骰子和一枚硬币，写出样本空间.
【答案】见解析.
【分析】给抛掷一枚骰子的结果编号，给抛掷一枚硬币的结果编号，写出所有的可能组合即可.
【详解】设表示抛掷骰子所得点数为，表示抛掷硬币反面朝上，表示抛掷硬币正面朝上，则分别表示“抛掷骰子所得点数为且抛掷硬币反面朝上”与“抛掷骰子所得点数为且抛掷硬币正面朝上".
则样本空间,
三、随机事件的含义
【典型例题】
【例1】如图，一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，元件处于正常状态记为“1”，处于失效状态记为“0”，把每个元件是否处于正常状态看成随机现象，记表示，，的状态，，，，指出下列随机事件的含义．
(1)事件；
(2)事件；
(3)事件．
【答案】(1)三个电器元件中恰好有两个电器元件处于正常状态
(2)这个电路是通路
(3)这个电路是断路
【分析】根据元件处于正常状态记为“1”，处于失效状态记为“0”结合电路的特征求解.
(1)
解：观察事件中所含的样本点，，，
知每个样本点中都有两个1，一个0，
故事件的含义为三个电器元件中恰好有两个电器元件处于正常状态．
(2)
观察事件中所含的样本点，，，
知每个样本点中第一个数均为1，第二个数和第三个数中至少有一个为1，
故事件的含义为这个电路是通路．
(3)
观察事件P中所含的样本点，，，，，
知这五个样本点可划分为两类：
第一类：，，，，这四个样本点中第1个数均为0；
第二类：，该样本点中第一个数为1，第二个数和第三个数均为0．
这两类样本点包含了这个电路是断路的所有情况．
故事件P的含义为这个电路是断路．
【例2】先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x， y，则事件“朝上的面的点数x， y满足lg2xy＝1”包含的样本点有_______________．
【答案】(1，2)，(2，4)，(3，6)．
【分析】利用列举法求解.
【详解】先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x， y，
则事件“朝上的面的点数x， y满足lg2xy＝1”包含的样本点有(1，2)，(2，4)，(3，6)．
故答案为：(1，2)，(2，4)，(3，6)．
【例3】班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据必然事件的定义得解；
（2）根据随机事件的定义得解.
(1)
解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，
所以.
(2)
解：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，
所以，.
【例4】一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为（ ）
A．10B．15C．16D．17
【答案】C
【分析】为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，就必须要求除红球以外的其它的总数不超过.
【详解】为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，
需满足，
即k的最小值为16.
故选：C
【例5】已知f(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1]，给出事件A：f(x)≥a.
（1）当A为必然事件时，求a的取值范围；
（2）当A为不可能事件时，求a的取值范围.
【答案】（1）(－∞，－1]；（2）(3，＋∞).
【分析】根据函数的解析式求得函数的最大值是3，最小值是，
（1）当为必然事件时，即不等式在，上恒成立，故有，由此求得实数的取值范围．
（2）当为不可能事件时，即不等式在，上无解，故有，由此求得实数的取值范围．
【详解】∵ f (x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2，1]
∴ f (x)min＝－1，此时x＝－1.
又f (－2)＝0＜f (1)＝3
∴ f (x)max＝3.
∴ f (x)∈[－1，3]
（1）当A为必然事件时，即f(x)≥a恒成立，故有a≤f(x)min＝－1，即a的取值范围是(－∞，－1].
（2）当A为不可能事件时，即f(x)≥a一定不成立，故有a＞f(x)max＝3，则a的取值范围为(3，＋∞).
【例6】做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.
（1）求这个试验样本点的个数；
（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.
【答案】（1）12；（2）{(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
【分析】（1）分x=1,2,3,4，分别考虑y的不同情况，即可得到样本试验点的个数；
（2）即为x=2时的样本点的集合，由（1）的分析可得.
【详解】（1）当x=1时，y=2，3，4；当x=2时，y=1，3，4；同理当x=3，4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12.
（2）记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
【例7】树形图（TreeDiagram）是一种有层次地枚举各种可能情况的可视化方法.树形图有助于我们直观地探求某些样本空间.例如，考察有两个孩子的家庭，记“从中任意抽取一个家庭，两个孩子是一男一女”为事件A.我们画出如图所示的树形图，可知样本空间{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，事件{（男，女），（女，男）}.
试用树形图的方法分析下列习题
一只不透明的口袋内装有大小相同的3个球，且分别标有1，2，3三个号码.记“从袋中不放回地抽取2个球，第一个球的号码是1”为事件A，“从袋中不放回地抽取2个球，第二个球的号码是2”为事件B.试分别写出，A，B及AB所包含的样本点.
【答案】=，，，
【分析】利用树状图把情况列出来，再根据树状图写出，A，B及AB所包含的样本点.
【详解】样本空间=，事件，事件，事件
【对点实战】
1.指出下列试验的样本空间和样本点个数：
（1）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；
（2）从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取2个球.
【答案】（1）4个；（2）6个.
【分析】（1）利用列举法可得从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球的样本空间和样本点个数；
（2）利用列举法可得从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取2个球的样本空间和样本点个数．
【详解】（1）{a，b，c，d}，共4个样本点.
（2）若记(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则试验的样本空间为{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共6个样本点.
2.在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：
(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；
(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}．
解 (1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
(3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.
3.柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚．指出下列随机事件的含义．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
解 (1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．
(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．
(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”．
4.如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.
解 M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}．
5.试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况．
设事件A表示随机事件“甲乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”．
试用集合表示事件A，B，C.
解 设石头为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．
因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}．
事件B表示“甲赢得游戏”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}．
因为事件C表示“乙不输”，
则满足要求的样本点共有6个，
(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}
四、互斥事件和对立事件
【典型例题】
【例1】某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至少一次中靶B．两次都中靶
C．只有一次中靶D．两次都没有中靶
【答案】B
【分析】直接利用对立事件的定义判断即可.
【详解】由已知条件得
∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，
∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，
故选：.
【例2】抽查10件产品，设A={至多有1件次品}，则事件A的对立事件是（ ）
A．{至多有2件正品}B．{至多有1件次品}
C．{至少有1件正品}D．{至少有2件次品}
【答案】D
【分析】根据对立事件的定义，结合题意，即可写出事件的对立事件.
【详解】因为抽查10件产品，设A={至多有1件次品}，
故事件的对立事件是：{至少有2件次品}.
故选：.
【例3】某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（ ）
A．至少有一次中靶B．三次都不中靶
C．恰有两次中靶D．至少两次中靶
【答案】C
【分析】结合互斥事件，对立事件的概念逐一判断选项.
【详解】解：至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，A选项，至少一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；B选项，三次都不中靶也都包含在两个事件中，故不是互斥事件，B错误；C选项，恰有两次中靶，与题干事件不可能同时发生，也不对立，属于互斥不对立事件，C正确；D选项，为对立事件，故D错误.
故选：C
【例4】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球D．至少有一个白球与至少一个红球
【答案】B
【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；
对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，
所以两个事件互斥而不对立，故B正确；
对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；
对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.
故选：B.
【例5】从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件．
(1)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”；
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；
(3)“取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”．
【答案】(1)是互斥事件，也是对立事件；
(2)是互斥事件，但不是对立事件；
(3)既不是互斥事件，也不是对立事件.
【分析】根据题意，求得从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球所有的基本事件，再写出每个事件中包含的基本事件，即可判断.
(1)
从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，从颜色的角度出发，包含如下基本事件：
个白球，个白球个红球，个白球个红球，个红球.
事件“取出3个球中至少有1个白球”，包括：个白球，个白球个红球，个白球个红球，
故该事件与“取出3个红球”是互斥事件，也是对立事件.
(2)
根据（1）中所求，显然：
“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”是互斥事件，但不是对立事件.
(3)
“取出的球中至少有1个红球”包括基本事件：个白球个红球，个白球个红球，个红球，
故该事件与“取出3个红球”不是互斥事件，因为有共同的基本事件：个红球；
同时，也不是对立事件.
【例6】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件．
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.
【答案】答案见解析.
【分析】（1）若只订甲报，则事件A与事件C有可能同时发生，从而可判断;
(2)由事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，事件B和事件E必有一个发生，从而可判断.
(3)若只订乙报，则事件B与事件D可能同时发生，从而可判断;
（4）写出事件B“至少订一种报”可能结果和事件C“至多订一种报”的所有可能结果，从而可判断;
（5）由事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，从而可判断;
【详解】解： （1）由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，
故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．
（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．
事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
【例7】从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
其中，为互斥事件的是（ ）
A．①B．②④C．③D．①③
【答案】C
根据互斥事件的定义，逐一分析四个答案中的两个事件的关系，可得答案.
【详解】①恰有一个偶数和恰有一个奇数是相同的事件，故①不是互斥事件；
②至少有一个是奇数包含两个数都是奇数的情况，故②不是互斥事件；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数不能同时发生，故③是互斥事件；
④至少有一个是奇数和至少有一-个是偶数可以同时发生，故④不是互斥事件.
故选：.
【例8】一个口袋中装有个白球和个黑球，下列事件中，是独立事件的是（ ）
A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球
D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
【答案】B
【分析】根据独立事件的定义逐一判断即可得解.
【详解】解：对于选项A，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是互斥事件不是独立事件；
对于选项B，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件；
对于选项C，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件；
对于选项D，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，
故选：B.
【对点实战】
1.某小组有3名男生和2名女生，从中选取2名学生参加演讲比赛，下列事件中互斥而不对立的事件为（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生B．恰有1名男生和恰有2名女生
C．至少有1名男生和全是男生D．至少有1名男生和全是女生
【答案】B
【分析】利用互斥事件和对立事件的意义对四个选项逐一判断作答.
【详解】对于A， “至少有1名男生”和“至少有1名女生”的事件有共同的事件“一个男生、一个女生”，即选项A中两个事件不互斥，A不正确；
对于B，“恰有1名男生”和“恰有2名女生”的事件不同时发生，即它们是互斥的，
而“恰有1名男生”的对立事件是“恰有2名男生或者恰有2名女生”，即选项B中两个事件不对立，B正确；
对于C，“至少有1名男生”的事件包含“全是男生”的事件，即选项C中两个事件不互斥，C不正确；
对于D，“至少有1名男生”和“全是女生”的事件不同时发生，即它们互斥，而它们又必有一个发生，即它们是对立的，D不正确.
故选：B
2.许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为（ ）
A．至多做完三套练习题B．至多做完两套练习题
C．至多做完四套练习题D．至少做完两套练习题
【答案】B
【分析】两个事件互为对立事件，是指它们的交集为空集，并集为全集. 由对立事件的概念可快速求解.
【详解】至少做完3套练习题包含做完3，4，5，6，…套练习题，故它的对立事件为做完0，1，2套练习题，即至多做完2套练习题．
故选：B.
3.从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．①B．②④C．③D．①③
【答案】C
【分析】列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.
【详解】解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，
而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：
“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，
故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.
故选：C
4.从40张扑克牌(红桃､黑桃､方块､梅花，点数从1~10各1张)中，任取一张.
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
【答案】（1）是互斥事件，不是对立事件，理由见解析；（2）既是互斥事件，又是对立事件，理由见解析；（3）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析.
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义分别判断即可
【详解】解：（1）是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
（2）既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
（3）不是互斥事件，也不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
5.某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．
（1）求事件A包含的基本事件；
（2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．
【答案】（1）{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}；（2）事件A的对立事件是＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”(答案不唯一)．
【分析】（1）金额不多于30元的有10元，20元，30元三种；
（2）除10元，20元，30元三种外的所有可能放在一起，即金额多于30元且不多于120元，其中任何一个或几个组成的事件都是与事件A互斥．
【详解】（1）事件A包含的基本事件有：{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}；
（2）事件A是获得不多于30元菜品或饮品，它的对立事件获得多于30元但不多于120元的菜品或饮品，即＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，
在获利的菜品或饮品不多于120元且多于30元中的任何一个都是与事件A互斥，如
事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”．
【点睛】
6.用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”.
（1）写出试验的样本空间.
（2）用集合的形式表示事件.
（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件包含事件，事件和的交事件与事件互斥.见解析
(1) 由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.再分别列出即可.
(2)根据(1)中列举的基本事件求解即可.
(3)根据(2)中的中基本事件辨析即可.
【详解】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间
{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}.
(2){（红,黄,蓝）}
{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}
{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.
{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.
(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件与事件互斥.
【点睛】
五、事件的运算
【典型例题】
【例1】抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】合理设出事件，从而得到事件A，B，C三者的关系.
【详解】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，，
显然，，，C不含于A.
故选：D
【例2】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（ ）
A．全是红球B．至少有1个红球
C．至多有1个红球D．1个红球，1个白球
【答案】C
【分析】根据题意，写出事件“至少有1个白球”所包含的基本事件，根据选项即可判断和选择.
【详解】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，若至少有1个白球，
则其包含的基本事件是：个白球个红球，个白球；
又至多有1个红球包含的基本事件也是：个白球个红球，个白球.
故选：.
【例3】某产品分为甲、乙、丙三级，其中甲级为正品，乙、丙两级均属次品．从等级分别为甲、乙、丙的三件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A， B， C，则抽得次品为（ ）
A．AB．
C．D．
【答案】D
【分析】根据事件的运算逐个判断即可.
【详解】事件A为抽到一件正品，故A错误.
事件为抽到乙的反面，即抽到正品，故B错误.
事件为抽到丙的反面，即抽到正品，故C错误.
事件为抽取甲级产品的反面，即抽到次品，故D正确.
故选：D.
【例4】如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．
(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；
(2)用A，B，C表示下列事件：
①至少订阅一种学习资料；
②恰好订阅一种学习资料；
③没有订阅任何学习资料.
【答案】(1)答案见详解；
(2)①A+B+C；②；③.
【分析】(1)根据题设条件分别写出1，4，5，8各区域所代表的事件即可.
(2)将所给事件分别用A，B，C表示出来即可.
(1)
由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅；
区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料；
区域5表示该生只订阅语文学习资料；
区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.
(2)
①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生，
所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C；
②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料的事件，只订阅语文资料的
事件，只订阅英语资料的事件，它们互斥，
所以恰好订阅一种学习资料的事件为：；
③没有订阅任何学习资料的事件是事件、、同时发生，所以这个事件表示为：.
【例5】生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“产品合格”，“产品不合格”．
【答案】C=AB；.
【分析】根据给定条件利用事件的运算即可列式作答.
【详解】要使得产品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A，B同时发生，
所以C=AB；
产品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，
所以，.
【例6】.抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.
(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；
(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.
【答案】(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E
(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，AD=B+C
【分析】（1）写出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）写出事件D所包含的基本事件，与事件A进行比较，得到AD所包含的样本点，再写出B+C所包含的样本点，可得到AD与B+C的关系.
(1)
事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E
(2)
“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”， “两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C
【例7】掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）A∪B，B+C；
（3）记为事件H的对立事件，求.
【答案】（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
【分析】（1）A∩B表示同时发生，BC表示同时发生；
（2）A∪B表示至少有一个事件发生，表示至少有一个事件发生；
（3）表示的对立事件；等价于同时发生；等价于至少有一个事件发生；等价于的对立事件与的对立事件至少有一个事件发生.
【详解】∵，，，，
∴，，，
∴（1）A∩B=，BC={2}；
（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；
（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
【例8】设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
（1）三个事件都发生；
（2）三个事件至少有一个发生；
（3）A发生，B，C不发生；
（4）A，B都发生，C不发生；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生；
（6）A，B，C中恰好有两个发生.
【分析】由互斥事件和对立事件的定义、事件的间的关系求解即可
【详解】解：（1）三个事件都发生表示为；
（2）三个事件至少有一个发生表示为；
（3）A发生，B，C不发生表示为；
（4）A，B都发生，C不发生表示为；
（5）A，B至少有一个发生，C不发生表示为；
（6）A，B，C中恰好有两个发生表示为
【对点实战】
1.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．与互斥D．与对立
【答案】C
【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可
【详解】对于A，，，∴，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，与不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
对于D，，，与是互斥但不对立事件，故D错误；
故选：C
2.打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（ ）
A．全部击中B．至少击中发
C．至少击中发D．以上均不正确
【答案】B
【分析】利用并事件的定义可得出结论.
【详解】所表示的含义是、、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发.
故选：B.
3.如果事件A，B互斥，那么（ ）
A．A∪B是必然事件B．∪是必然事件
C．与一定互斥D．与一定不互斥
【答案】B
【分析】利用集合法判断.
【详解】如图所示：
因为事件A，B互斥，
所以是必然事件，
故选：B．
4.电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
【答案】(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)
【分析】灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，由此可得．
【详解】灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，
因此．
故答案为：．也可写成：．
5.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品.事件B:至少有两件次品.事件C:至少有一件次品.事件D:至多有一件次品.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是__________.
【答案】①②
【分析】由并事件与交事件的概念逐个分析判断即可
【详解】事件A∪B:至少有一件次品，即事件C，
所以①正确;事件A∩B=∅，③不正确;
事件D∪B:至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确;
事件A∩D:恰有一件次品，即事件A，所以④不正确.
故答案为：①②
6.抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，若事件，事件，求事件，.
【答案】，.
【分析】利用随机事件的运算，求，.
【详解】由题设，，.
7.把标号为1，2，3，4的四张卡片分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人1张，事件A表示随机事件“甲分得1号卡片”，事件B表示随机事件“乙分得1号卡片”.
（1）分别指什么事件？
（2）事件A与事件B是否为互斥事件？若是互斥事件，则是否互为对立事件？若不是对立事件，请分别说出事件A、事件B的对立事件.
【答案】（1）是不可能事件；表示事件甲分得1号卡片或乙分得1号卡片”（2）事件A与事件B是互斥事件，事件A与事件B不是对立事件，事件A的对立事件是指事件“甲未分得1号卡片”，事件B的对立事件是指事件“乙未分得1号卡片”
(1)根据直接理解判断即可.
(2)分析事件A与事件B中可能出现的情况分别判断即可.
【详解】解：（1）根据题意,事件A和事件B不可能同时发生,所以是不可能事件；表示事件甲分得1号卡片或乙分得1号卡片”
（2）由（1）可知事件A和事件B不可能同时发生,所以事件A与事件B是互斥事件,又因为事件A与事件B可以都不发生,如甲分得2号卡片,同时乙分得3号卡片,所以事件A与事件B不是对立事件,事件A的对立事件是指事件“甲未分得1号卡片”,事件B的对立事件是指事件“乙未分得1号卡片”.
定义
字母表示
样本点
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点
用ω表示样本点
样本空间
全体样本点的集合称为试验E的样本空间
用Ω表示样本空间
有限样本空间
如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
随机
事件
我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件
空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生．我们称∅为不可能事件
定义
符号
图示
互斥事件
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝∅
对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \x\t(A)
A∪B＝Ω且A∩B＝∅
定义
符号
图示
包含关系
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并事件
(或和事件)
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(或积事件)
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)