2024八年级数学下册第十七章勾股定理综合评价试题（附答案人教版）

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第十七章综合评价(时间：120分钟　　满分：120分)　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　一、选择题(每小题3分，共30分)1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是BA．2，3，4 B． eq \r(3) ，2， eq \r(7) C． eq \r(6) ，2 eq \r(2) ， eq \r(10)  D．3，5，82．已知在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高为BA．6 cm B．8 cmC．10 cm D．12 cm3．如图，点O为数轴的原点，点A和点B对应的实数分别是－1和1.过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB的长为半径画弧，交BC于点D；再以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是AA． eq \r(5) －1 B． eq \r(5) C． eq \r(3)  D． eq \r(3) －1 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图)) 4．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝DA．1 B． eq \r(2) C． eq \r(3)  D．25．如图，两个较大正方形的面积分别为144，169，则字母A代表的正方形的面积为DA．5 B．6 C．20 D．256．一个门框的尺寸如图所示，下列尺寸的长方形木板不能从门框内通过的是AA．长3 m，宽2.5 m B．长4 m，宽2.1 mC．长3 m，宽2.2 m D．长3 m，面积为6 m2 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图)) 7．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为DA． eq \f(10\r(13),13)  B． eq \f(9\r(13),13)  C． eq \f(8\r(13),13)  D． eq \f(7\r(13),13) 8．如图，一轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距DA．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里9．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG∶GE＝1∶3，GE＝GF，Q是EF上的一动点，过点Q分别作QM⊥DE于点M，QN⊥GF于点N，EF＝2 eq \r(6) ，则QM＋QN的长是DA．定值2 eq \r(3)  B．定值 eq \r(6)  C．不确定 D．定值2 eq \r(2)  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图)) 10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO＝GP，则 eq \f(S正方形ABCD,S正方形EFGH) 的值是BA．1＋ eq \r(2)  B．2＋ eq \r(2)  C．5－ eq \r(2)  D． eq \f(15,4) 二、填空题(每小题3分，共18分)11．定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是__对应边相等的三角形全等__，该逆命题是__真__命题(填“真”或“假”)．12．如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB＝5，AD＝4，则AE＝__3__． eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图)) 13．如图，一长方体的长、宽、高分别为8 cm，4 cm，5 cm.一只蚂蚁沿着该长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是__ eq \r(145) __cm.14．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是 __10__ km.15．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成的．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是__76__． eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第16题图)) 16．如图所示，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC的三等分点点F处．若AB＝6，则点E的坐标是 __(－6， eq \f(4\r(5),5) )或(－6， eq \r(2) )__．三、解答题(共72分)17．(8分)有人说：如果Rt△ABC的三边是a，b，c(c＞a，c＞b)，那么以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形也是直角三角形．(1)这个说法是否正确？请说明理由；(2)写出上述命题的逆命题，并判断该逆命题是真命题还是假命题．解：(1)正确，理由如下：∵c2＝a2＋b2，∴(an)2＋(bn)2＝a2n2＋b2n2＝n2(a2＋b2)＝n2c2，∴以an，bn，cn为边的三角形也是直角三角形(2)逆命题：如果以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形是直角三角形，那么以a，b，c为三边的三角形也是直角三角形，该逆命题是真命题18．(8分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2＋b2＝c2.解：∵四边形BCC′D′是直角梯形，∴S梯形BCC′D′＝ eq \f(1,2) (C′D′＋BC)·BD′＝ eq \f(1,2) (a＋b)(a＋b)＝ eq \f(1,2) (a＋b)2，由题意可知AC＝AC′，∠CAC′＝90°，∴△ACC′是等腰三角形，∴S梯形BCC′D′＝S△ACC′＋S△ABC＋S△AC′D′＝ eq \f(1,2) c2＋ eq \f(1,2) ab·2＝ eq \f(1,2) c2＋ab，∴ eq \f(1,2) (a＋b)2＝ eq \f(1,2) c2＋ab，化简整理得a2＋b2＝c219．(8分)如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，若AD为∠CAB的平分线，求AD的长．解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD为∠ACB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.由勾股定理可得AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(102－62) ＝8，设CD＝ED＝x，∵SRt△ABC＝SRt△ACD＋S△ABD，∴ eq \f(1,2) BC·AC＝ eq \f(1,2) AC·CD＋ eq \f(1,2) AB·DE，即 eq \f(1,2) ×6×8＝ eq \f(1,2) ·8x＋ eq \f(1,2) ·10x，解得x＝ eq \f(8,3) ，即CD＝ eq \f(8,3) ，∴由勾股定理可得AD＝ eq \r(AC2＋CD2) ＝ eq \r(82＋（\f(8,3)）2) ＝ eq \f(8\r(10),3) 20．(8分)学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米(如图①)；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米(如图②).根据以上信息，求旗杆AB的高度．解：设AB＝x米，则AC＝(x＋1)米．在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2，即(x＋1)2＝(x－1)2＋62，解得x＝9，∴旗杆AB的高度为9米21．(9分) 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝ eq \r(2) ，CD＝ eq \r(10) .求：(1)∠DAB的度数；(2)连接BD，求BD的长．解：(1)连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝ eq \r(22＋22) ＝2 eq \r(2) ，∵AD＝ eq \r(2) ，CD＝ eq \r(10) ，∴AD2＋AC2＝( eq \r(2) )2＋(2 eq \r(2) )2＝2＋8＝10＝( eq \r(10) )2＝CD2，∴△DAC是直角三角形，且∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°＋45°＝135°(2)过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，∵∠DAB＝135°，∴∠DAE＝45°，∵∠ADE＝45°＝∠DAE，∴AE＝DE，∴AD＝ eq \r(AE2＋DE2) ＝ eq \r(2) AE＝ eq \r(2) ，∴AE＝1，∴DE＝AE＝1，BE＝AB＋AE＝2＋1＝3，∴BD＝ eq \r(BE2＋DE2) ＝ eq \r(32＋12) ＝ eq \r(10) 22．(9分)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732)；(2)确定C港在A港的什么方向．解：(1)由题意可得∠PBC＝30°，∠MAB＝60°，∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°，∴∠ABQ＝30°，∴∠ABC＝90°.∵AB＝BC＝10，∴AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝10 eq \r(2) ≈14.1(km).答：A，C两港之间的距离为14.1 km(2)由(1)知△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠CAM＝∠MAB－∠BAC＝60°－45°＝15°，∴C港在A港的北偏东15°方向23．(10分) 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．(1)在图①中以格点为顶点画一条线段MN，使MN＝ eq \r(10) ；(2)在图②中以格点为顶点画△ABC，使AB＝ eq \r(5) ，AC＝ eq \r(20) ，BC＝5，并判断它是否是直角三角形．解：(1)如图①，线段MN即为所求(2)如图②，△ABC即为所求．∵AB＝ eq \r(5) ，AC＝ eq \r(20) ，BC＝5，∴AB2＋AC2＝( eq \r(5) )2＋( eq \r(20) )2＝25＝52＝BC2，∴△ABC是直角三角形24．(12分)阅读下列一段文字，回答问题．【材料阅读】平面内有两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由勾股定理可得这两点间的距离MN＝ eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2) .例如，如图①，点M(3，1)，点N(1，－2)，则MN＝ eq \r(（3－1）2＋（1＋2）2) ＝ eq \r(13) .【直接应用】(1)已知点P(2，－3)，点Q(－1，3)，求P，Q两点间的距离；(2)如图②，在平面直角坐标系中，点A(－1，－3)，OB＝ eq \r(2) ，OB与x轴正半轴的夹角是45°.①求点B的坐标；②试判断△ABO的形状．解：(1)∵点P(2，－3)，点Q(－1，3)，∴P，Q两点间的距离PQ＝ eq \r(（2＋1）2＋（－3－3）2) ＝3 eq \r(5) (2)①过点B作BF⊥y轴于点F，∵OB与x轴正半轴的夹角是45°，∴∠FOB＝∠OBF＝45°，OF＝BF，∴OB＝ eq \r(OF2＋BF2) ＝ eq \r(2) BF＝ eq \r(2) ，∴BF＝1，∴OF＝BF＝1，∴点B(1，－1)②∵点A(－1，－3)，点B(1，－1)，∴OA＝ eq \r(12＋32) ＝ eq \r(10) ，AB＝ eq \r(（－1－1）2＋（－3＋1）2) ＝2 eq \r(2) ，∴AB2＋OB2＝(2 eq \r(2) )2＋( eq \r(2) )2＝10，OA2＝10，∴AB2＋OB2＝OA2，∴△ABO是直角三角形．