安徽省合肥市庐江县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省合肥市庐江县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．剪纸艺术是中国最具特色的民间艺术之一，其中蕴含着极致的数学美．下列剪纸图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列成语描述的事件是必然事件的是（ ）
A．守株待兔B．画饼充饥C．水中捞月D．旭日东升
3．已知矩形中，，下面四个矩形中与矩形相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，M为反比例函数的图象上的一点，垂直于y轴，垂足为点A，的面积为2，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．15D．20
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
7．把一抛物线向上平移3个单位，再向左平移个单位得到的解析式为，则原抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3πB．C．6πD．24π
10．如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知1是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
12．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为 ．
13．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
14．如图，在边长为1的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点．
（1）连接，则线段的最小值是 ；
（2）取的中点，连接，则线段的最小值是 ．
三、解答题
15．解方程：
16．如图，在中，，，分别是，上的点，且，，，，求和的长．

17．如图，在中，直径垂直弦，垂足是点M，，求弦的长．
18．如图，在直角梯形中，，，点A、的坐标分别为、，点为上一点，且．双曲线经过点，交于点．求点的坐标．
19．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在．
（1）在图中画出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
（2）若点B的坐标为，点C的坐标为，在图中建立直接坐标系，并画出关于原点对称的图形．
20．北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．

(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是___________；
(2)小亮决定将其中两张邮票送给好朋友小明，若冬奥会会徽邮票记作A类邮票，吉祥物冰墩墩邮票记作B类邮票，吉祥物雪容融邮票记作C类邮票，将5张邮票背面朝上洗匀后，让小明从中随机抽取2张邮票，抽得的邮票就送给小明，求小明抽取两张邮票都是“吉祥物冰墩墩”的概率．（请用列表法或画树状图法求解）
21．如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当位于轴右边的抛物线上运动时，过点作直线，为垂足．当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形与相似？并求出此时点的坐标．
22．2022年北京冬奥会举办期间，冬奥公吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，某特许零售店“冰墩款”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现将家决定提价销售，设每天销售量y个，销售单价为x元．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
(3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每入剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
23．如图，中，．以为直径作交于点，过点作的切线交于点．
（备用图）
(1)求证：；
(2)延长交于点，点在上，．
①连接，求证：；
②经过的中点和点的直线交于点，连接交于点，若，，试求出的长．
参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再根据概念逐一判断即可．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件．
【详解】解：A.守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；
B.画饼充饥是不可能事件，故该选项不符合题意；
C.水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意；
D.旭日东升是必然事件，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．A
【分析】验证对应边是否成比例即可判断．
【详解】解：A：，符合题意；
B：，不符合题意；
C：，不符合题意；
D：，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可．
4．D
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求解.
【详解】根据题意得：
|k|=2
∴|k|=4
∵k＞0
∴k=4
故选D
【点睛】本题考查的是反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握k的几何意义是关键.
5．A
【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
6．B
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的定义，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，知且，求解即可．解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，此题实际上是求将抛物线先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度后所得抛物线的解析式．解题的关键掌握函数图像平移的规律：左加右减，上加下减．
【详解】解：∵将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，
所得抛物线的函数解析式为，
∴原抛物线的解析式为．
故选：B．
8．B
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
9．B
【分析】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积．即阴影部分的面积就等于扇形ABB′的面积．
【详解】由旋转的性质可知：以AB′为直径的半圆的面积=以AB为直径的半圆的面积，再根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．
则阴影部分的面积是：π．
故选B．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算以及旋转的性质，培养了学生的计算能力和观察图形的能力，运用面积的和差求不规则图形的面积是解题的关键.
10．B
【分析】本题考查正多边形和弧长、轨迹，根据弧长公式先求一段弧的长，再根据滚动一周等于一段弧长乘以即可得中心点所经过的路径长．解题的关键是掌握正六边形的性质．
【详解】解：如图，
∵正六边形的内角为，
∴，
又∵边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，
∴，
∴，，
∴，
∴边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，
则它的中心点所经过的路径长为：．
故选：B．
11．3
【分析】把代入，得到关于c的一元一次方程，解之求得c的值，将c代入原方程，求解后即可得到答案．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
即原方程为：，
解得：，
即方程的另一个根为：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正确掌握代入法求得c的值是解题的关键．
12．
【分析】由∠A=得到BC是圆的直径，根据求出AB，设圆锥的底面圆的半径为Rm，利用弧长公式等于底面圆的周长求出R．
【详解】解：∵∠A=
∴BC是圆的直径，
∴BC=1m，
∵AB=AC，
∴m，
设圆锥的底面圆的半径为Rm，
∴,
解得R=m，
故答案为：．
【点睛】此题考查了弧长公式，圆周角定理，勾股定理，由圆周角定理及勾股定理求出AB的长是解题的关键．
13．
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．
14．
【分析】以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，可得，证明可得°，即点在以为直径的圆上，从而可得最短时点在上，利用勾股定理求得，继而求出和．
【详解】解：以所在的直线为对称轴，作正方形的对称正方形，
∴，，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴当最短时，最短，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∴当点在上时，最短，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题考查对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，的圆周角所对的弦是直径，勾股定理等知识点，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．
15．，
【分析】本题考查解一元二次方程，先将等号右边的代数式移到左边，然后分解因式，从而将方程化为两个一元一次方程，即可求解．熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
16．，
【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出．
【详解】∵
∴
∵
∴，，
∵
∴
∴．
17．CD=24．
【分析】连接OC，求出半径OC和OM，根据勾股定理求出CM，根据垂径定理得出，即可求出答案．
【详解】解：连接，则，
，
在中，，
∵于点M，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，关键是能构造直角三角形、求出CM长和得出CD＝2CM．
18．43,6/113,6
【分析】作轴于M，轴于N，利用点A，B的坐标得到，，证明，利用相似比可计算出，，则，得到D点坐标为，然后把D点坐标代入中求出k的值即可得到反比例函数解析式，再求出点E的横坐标即可．
【详解】解：作轴于M，轴于N，如图，
∵点A，B的坐标分别为、，
∴，，，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴D点坐标为，
把代入得，
∴反比例函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴点E的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质；理解坐标与图形的性质；会运用相似比计算线段的长度是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据旋转的性质找出B、C的对应点B1、C1的位置，顺次连接即可；
（2）首先根据点B、C的坐标建立直角坐标系，然后分别找出点A、B、C关于原点对称的对应点A2、B2、C2的位置，顺次连接即可．
【详解】解：（1）如图所示；
（2）直角坐标系和如图所示．
【点睛】本题考查了作图—旋转变换和中心对称，准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是
(2)P（抽取两张邮票都是吉祥物冰墩墩）＝
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）利用列表法列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果，求出概率即可；
【详解】（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是；
（2）列表如下：
由表知，共有20种等可能结果，其中抽取两张邮票都是冰墩墩的有2种结果
∴P（抽取两张邮票都是吉祥物冰墩墩）．
【点睛】该题主要考查了概率计算，解答本题的关键是熟悉概率计算公式以及列表法或者树状图法求概率．
21．(1)
(2)或
【分析】本题二次函数的综合应用，本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，
（1）将点，的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）由函数解析式求得点的坐标，从而得到为等腰直角三角形，故此当F时，以，，为顶点的三角形与相似．设，则，构建方程从而可求得的值，于是可求得点的坐标；
根据题意列出关于的方程是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线与轴相交于点，
当时，得：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵以，，为顶点的三角形与相似，
∴为等腰直角三角形，又直线，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
当时，
解得：（舍去），；
当时，
解得：（舍去），，
综上所述，或，
∴点的坐标为或．
22．(1)
(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
(3)捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售价不低于50元且不高于52元．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据“销售利润=销售量×(售价-进价)”列出平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式，再根据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
（3）解：依题意剩余利润为元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴，随x增大而增大，
由，解得或，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售价的取值范围为．
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售价不低于50元且不高于52元．
【点睛】本题主要考查了列一次函数关系式、二次函数应用、一元二次方程的应用等知识点，读懂题意、列出函数关系式是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）利用切线的性质得出，进而得出，即可得证；
（2）①结合圆周角定理以及利用矩形判定方法得出四边形为矩形，即可得证；
②证明，则，再过点作交的延长线于点，得出，设，则，，利用勾股定理表示出的长，进而得出的值，得出，
求出答案即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：如图，连接，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
②解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
过点作交的延长线于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵为中点，，
∴，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于几何综合题，考查了切线的性质，等边对等角，平行线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形中位线定理等知识，正确作出辅助线得出的值是解题关键．
A
A