安徽省合肥市新站区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省合肥市新站区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（ ）
A．可回收物 B．有害垃圾
C．厨余垃圾 D．其他垃圾
2．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：

接力中，自己负责的出现错误的是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．乙和丁D．甲和丙
3．董铺水库位于合肥市西北近郊，是一座以合肥城市防洪为主，结合城市供水、郊区农菜灌溉及发展水产养殖等综合利用的大型水库，如图，水库某段横截面迎水坡的坡度，若坡高，则坡面的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△COD的面积之比为（ ）
A．1：B．1：3C．1：D．1：2
5．反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（ ）

A．5B．12C．D．
6．如图所示，与边长为的正方形的边相切，且A、B两点在上，则圆的半径长是（ ）
A．B．C．D．
7．中，的对边分别为a、b、c．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，于点．点，是上两点，且，，若，．则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．若不等式的解集为或，则的值为( )
A．B．C．1D．3
10．如图，为的内接三角形，，为边上的中线，将沿翻折后刚好经过点，若已知的半径为，则的长是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ．
12．如图，正方形的边，点E、F为正方形边的中点，以为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则长为 ．
13．如图，是等边三角形，过原点，底边轴交轴于点，双曲线过A、B两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 ．
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线，则：
（1）该拋物线的对称轴为直线 ；
（2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)绕原点逆时针旋转得到，按照要求画出；
(2)以点为位似中心画，使它与位似，且位似比为．
17．在平面直角坐标系中，已知拋物线．
(1)它的顶点坐标是______，当______时，随的增大而减小；
(2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求所得新拋物线与轴的交点坐标．
18．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与轴交于点，点的坐标为．
(1)求的值及点的坐标；
(2)结合图象直接写出不等式组的解集．
20．如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，是的切线且，交的延长线于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
21．阅读与探究
小宇学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，求的值．小宇同学通过查找资料，获得了以下解题思路.请仔细阅读，并完成探究．
(1)实践应用：按照上面的解题思路，得到的值为______；
(2)尝试应用：如图，仿照上述方法，求的值；
(3)拓展应用：如图，小字发现家中的电瓶车在夜晚开启大灯时，大灯照亮地面的宽度为，光线的边缘与地面的夹角分别为，，大灯距离地面的高度为，求照明宽度的长．（精确到）（参考数据：，）
22．小明在复习第22章《相似形》时，关注到书上的这道例题，温故后进行了思考、操作、探究.
23．乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿若球台的中轴线运动，图为从侧面看乒乓球台的视图，为球台，为球网，点为中点，，，甲从正上方的处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的处再弹起到另一侧的处，从处再次弹起到，乙再接球．以所在直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，表示球与的水平距离，表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变，段抛物线的解析式为，段抛物线的解析式为．
(1)当球在球网左侧距球网时到达最高点，求：
①的解析式；
②球过球网时球与的距离；
(2)若球第二次的落点在球网右侧处，球再次弹起最高为，乙的球拍（看作线段）在的正上方处，，若将球拍向前水平推出可接住球，求出的取值范围．
思路：先画出几何图形（如图），虽然不是特殊角，但是的一半，于是在上截取，再连结，构造出等题（如图）
解题过程：在上截取，再连结，所以为等腰三角形，设，
则，……．
内容
图示
温故
例1如图22－24，一块铁皮呈锐角三角形，它的边cm，高cm．要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为，且矩形长的一边位于上，另两个顶点分别在边上．求这个矩形零件的边长．
解 如图22－24，矩形为加工后的矩形零件，边在边上，顶点P，Q分别在边上，的高交于点E．设为xcm，则为2xcm．
，．
解方程，得．
答：这个矩形零件的边长分别是和．
思考
（1）正方形是特殊的矩形，如图1，若将矩形变成正方形，其余条件不改变，请直接写出正方形的边长为______cm．
操作
（2）能画出这类正方形吗？小明查阅资料，按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，中，在上任取一点，画正方形使在边上，在内，连结并延长交于点Q，画于点R，交于点P，于点S，得到四边形．
结合上述作图，请证明四边形是正方形．
探究
（3）小明继续探究：如图3，在正方形上又作了一个正方形，使得边落在上，点P1、Q1分别在边上，与交于点F，最终发现任意给定和的值（在实际意义范围内），都有恒成立，请给出证明．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了旋转对称图形，正确记忆相关概念是解题关键．如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断．
【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以都是旋转对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以不是旋转对称图形．
故选：A．
2．A
【分析】将正确进行配方，即可发现错误步骤．
【详解】解：老师—甲： ，故甲错误；
甲－乙：，故乙错误；
乙－丙：，故丙正确；
丙－丁：的顶点坐标为，故丁正确．
A：正确；B：错误；C：错误；D：错误．
故选：A
【点睛】本题考查将抛物线的一般式配成顶点式．易错点：直接除以二次项系数、加了常数不减．
3．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：坡度坡角问题，勾股定理，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求出，熟记坡度的概念是解题的关键．
【详解】解：∵水坡的坡度，
∴，
∵坡高，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．B
【详解】∵∠ABC=∠DCB=90 °，
∴AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
设AB=BC=x.
∵∠ABC=∠DCB=90 °，AB=BC=x，∠D=30 °，
∴在Rt△DBC中，CD=BC·csD=x，
∴=，
∴△AOB与△DOC的面积之比为1:3．
故选B.
5．C
【分析】根据图象，当时，，则；当时，，则，所以，即可求解．
【详解】解：由图可知：当时，，即，则，
当时，，即，则，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．
6．B
【分析】本题考查了正方形的性质，切线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．设切点为E，连接交于点F，求出，，连接交于点G，则，，设半径为r，则，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】如图，设切点为E，连接交于点F，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∴，
连接交于点G，
∴，
∴．，
设半径为r，则，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，即的半径长是．
故选B．
7．C
【分析】本题考查了锐角三角形函数的求值，勾股定理逆定理的应用，先利用勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再利用三角形面积求出的长，即可求出最后结果．
【详解】解：如图，
，
即，
为直角三角形，且，
，
，
，
，
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查等腰直角三角形，相似三角形的判定与性质，先证明与均是等腰直角三角形，通过性质证明，掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】∵，，，
∴与均是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
故选：．
9．A
【分析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系；根据不等式的解集为或可以得出或是关于的方程的解，根据抛物线的对称轴为，即可求解．
【详解】不等式的解集为或，
或是关于的方程的解，
∴抛物线的对称轴为直线
解得：，
故选：A．
10．B
【分析】如图，过点作，交于，可得点为点的对应点，根据折叠点性质可得，根据圆内接四边形的性质及邻补角点定义可得，得出，过点作于，过点作于，连接、，根据垂径定理可得出的长，根据“三线合一”可得的长，即可得出四边形是正方形，可得、的长，利用勾股定理可求出的长，即可得出的长，利用勾股定理即可得答案．
【详解】解：如图，过点作，交于，过点作于，过点作于，连接、，
∵为边上的中线，，
∴，，
∴，
∵将沿翻折后刚好经过点，，交于，
∴点为点的对应点，，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质、垂径定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质及勾股定理，根据圆内接四边形的性质及折叠性质得出是解题关键．
11．
【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，依据题意，令，即可求得抛物线与x轴的交点的横坐标，从而可以判断得解．
【详解】由题意，令，
∴．
∴或．
∴一个交点为，另一个交点为．
故答案为：．
12．/
【分析】本题主要考查弧长的计算，解直角三角形，正方形的性质，先求出，再运用弧长公式进行计算即可得到结论．
【详解】解：∵点E、F为正方形边的中点，
∴
在中，，
∴，
∴，
同理可求出，
∴，
∴长为，
故答案为：．
13．6
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，等边三角形的性质，坐标与图形等知识，求出的值是解题关键．过点作与点，设，则，得到，，由等边三角形的性质，得到，进而得出、两点的坐标，得到，然后由求出的值，即可得到的值．
【详解】解：如图，过点作与点，
双曲线过A、B两点，且过原点，
设，则，
，，
，，
是等边三角形，，
，
，
，
轴，
，
轴，
，
，
，
，
，
故答案为：6
14． 1 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，数形结合思想；
（1）把解析式配方即可求解；
（2）首先由抛物线与x轴有交点可确定m的取值范围为；分及两种情况讨论，结合图象即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴拋物线的对称轴为直线；
故答案为：1；
（2）∵抛物线与x轴有交点，
∴，
即；
当时，，即抛物线与y轴的交点C的坐标为，
∵点Q的纵坐标也为m，
∴抛物线与y轴的交点与点Q在同一直线上，即轴；
①当分时，如图，
则或时，线段与抛物线只有一个公共点；
解得：或；
∴；
故答案为：1；
②当时，如图，
则或时，线段与抛物线只有一个公共点；
解得：或；
∴；
综上，满足条件的m取值范围为：或．
故答案为：或．
15．
【分析】本题考查了实数的运算，利用负整数指数幂、零指数幂公式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质先化简，再进行除法和加减运算即可得到结果，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
．
16．(1)作图见详解，
(2)作图见详解．
【分析】（1）根据旋转变换的性质，分别作、、，的对应点、、即可；
（2）根据位似变换的性质作，本题考查作图，旋转变换，位似变换，解题的关键是：掌握旋转变换位似变换的性质．
本题考查作图﹣旋转变换、位似变换，熟练掌握旋转和位似图形的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）如图所示，即为所作，
（2）如图所示，即为所作，
17．(1)；
(2)坐标为
【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
（1）先将二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可；
（2）根据二次函数平移的法则进行解答即可．
【详解】（1），
故顶点坐标为，
函数的对称轴为，且开口向下，
故当时，随的增大而减小；
故答案为；
（2）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
平移后的抛物线表达式为，
令，解得，
新拋物线与轴的交点坐标为．
18．（1）见解析（2）6
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似；
（2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，．
，，
．
在与中，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
．
由（1）知，
，
．
，，
，
，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明．
19．(1)；点的坐标为
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次（反比例）函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出、的值；（2）根据函数图象的上下位置关系，找出不等式组的解集．
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出、的值，进而可得出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标；
（2）观察函数图象的上下位置关系结合点、的横坐标，即可得出不等式组的解集．
【详解】（1）将点代入中，得：，
解得：；
将点代入中，得：，
解得：，
一次函数解析式为．
当时，，
解得：，
点的坐标为．
（2）观察函数图象，可知：当时，一次函数图象在轴上方且在反比例函数图象下方，
不等式组的解集为．
20．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据半径相等，可得到，再根据切线的性质定理以及三角形内角和定理可得到，即证明出结果；
（2）作辅助线，根据直径所对的圆周角为直角，可得到四边形为矩形，再根据等腰直角三角形的性质得到边长，即可求得结果．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
则即，
又为的切线，
则，
又则为直角三角形，
，
，
又，
即平分；
（2）解：如图：连接，反向延长于于点，
，
为的直径，则，
则四边形中，
四边形为矩形，
则即为直角三角形，
在中
，
在中，
∵，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理、矩形的判定和性质、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定等知识点，准确找到角度之间的关系以及线段之间的关系是解题的关键．
21．(1)；
(2)；
(3)照明宽度的长约为．
【分析】（）根据题意，找出各边长即可；
（）通过题中理解推导，找出各边长即可；
（）由（）（）可知：，直接计算即可；
此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键．
【详解】（1）在上截取，再连结，所以为等腰三角形，设，
则，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
（2）
作，交于点，连结，
∴为等腰三角形，
∴，
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即，
（3）如图，
∴，，
由（）（）可知：，，
∴，，
则，，
∴（米），（米），
∴（米）
答：照明宽度的长约为．
22．（1）
（2）详见解析
（3）详见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．
（1）若将矩形变成正方形，设为xcm，则为xcm．根据“温故”的求解过程即可求解；（2）证、即可求证；（3）证，根据即可求证．
【详解】解：（1）若将矩形变成正方形，
设为xcm，则为xcm．
，
解方程得：．
故答案为：
（2）证明：由题意得：，
∴四边形是矩形，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴
∴
∴
即：
∴
∴
∴
∴
∴
∴四边形是正方形
（3）证明：由题意得：，
∴
∵分别为的高，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
23．(1)①；②球过球网时与距离为．
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．
（1）①根据题意，得到球在时到达最高点，由，得到其对称轴为，由此求出，进而得到答案．②当时，代入求出，再求出球过球网时与距离，由此得到答案．
（2）根据题意确定出，最高点为，得到，当时，，得到，当时，求出，，由，确定出．
【详解】（1）解：①根据题意得：
，
球在时到达最高点，
，
，
解得：，
．
②当时，
，
，
球过球网时与距离为．
（2）由题意得：
点在球网右侧处，
，
最高点为，
当时，，
解得：或（舍），
，
当时，，
得，，
又，
，，
．