山西省阳泉市孟县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山西省阳泉市孟县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限
2．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．地球绕着太阳转B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．打开电视机，正在播放《新闻联播》D．射击运动员射击一次，命中10环
3．金沙遗址是中国进入21世纪后第一项重大考古发现，被评选为“2001年全国十大考古发现”，全国重点文物保护单位和首批国家考古遗址公园，为保护遗址和博物馆的建设，因而在金沙遗址原址上建立金沙遗址博物馆．下列典藏于金沙遗址博物馆的文物中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．商周大金面具B．商周卷云纹金喇叭形器C．商周太阳神鸟金饰D．商周金人面像
4．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．没有实数根D．有一个实数根
5．如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B．若，则k的值为（ ）

A．8B．4C．2D．1
6．将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
7．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（ ）
A．三角形中最少有一个角是直角或钝角B．三角形中没有一个角是直角或钝角
C．三角形中有两个或三个角是直角或钝角D．三角形中三个角全是直角或钝角
8．如图，将量角器放置在英语作业纸上（线条之间相互平行），其中两条线与量角器外圈的交点分别为A，B，C，D，连接，．若A，B两点分别在量角器外圈的刻度处与刻度处，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．铅球运动是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动项目之一．如图，将一位运动员所推铅球的行进路线近似地看成一条抛物线，其中铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为，则该运动员所推铅球的水平距离为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，与菱形的边相切于点B，点C，D在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为 ．
13．如图，四边形内接于，为的直径，．若，则的度数为 ．
14．如图1，小卡同学用一固定电压U为的蓄电池，通过调节滑动变阻器（阻值为R）来改变电流的大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值为定值）亮度的实验．已知在串联电路中，电流I与电阻R，之间的关系式为，图2是关于的函数图象，则灯丝的阻值为 ．
15．如图，在矩形中，，将边绕点A逆时针旋转（）得到，连接，．若，则的长为 ．
三、解答题
16．解下列方程：
(1)；
(2)．
17．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)与关于原点O对称，画出并写出点的坐标；
(2)是绕原点O顺时针旋转得到的，画出并写出点的坐标．
18．春节将至，某大型商场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动．活动规定：每购买500元的商品即可获得一次转动转盘（如图）的机会，转盘指针停在哪个区域（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）就可以得到该区域相应金额的代金券，其中质地均匀的转盘被平分为一等奖100元、二等奖50元、三等奖20元和谢谢参与四个区域．
(1)若顾客甲消费520元，则他得到代金券的概率为______．
(2)若顾客乙获得了两次转动转盘的机会，请用列表或画树状图的方法，求她一共获得100元代金券的概率．
19．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)当时，请直接写出x的取值范围；
(3)过点A作轴于点C，连接BC．求的面积．
20．暖手宝（如图）是运用物理及化学原理研制的自动取暖保健用品，具有自动取暖、理疗保健等多种功能，在北方寒冬时节深受欢迎．某商店购进每个进价为30元的某品牌暖手宝，当售价定为每个80元时，每天可售出40个．经市场调查发现，当售价每降低1元时，每天的销量将增加1个．设每个暖手宝的售价降低x元．
(1)当每个暖手宝的售价降低多少元时，该商店老板每天可以盈利1925元？
(2)当每个暖手宝的售价降低多少元时，该商店老板可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
21．阅读与思考
下面是小欣同学的数学学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日 星期一 晴
尺规过圆外一点作圆的切线
在今天的数学课上，我们学习了“直线和圆的位置关系”这一讲，梅老师结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》布置了一道课后题：已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M．
我与小组同学经过思考与探索，想出了如下两种作法：
作法一：如图1，①连接，交于点B，作直径；
②以点O为圆心，长为半径在上方画弧；
③以点P为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D；
④连接，交于点M；
⑤作直线．则直线即为所求．
证明：如图1，连接．
根据题意，得，，，，
．
．
．
又为的半径，
∴直线是的切线．（依据）
作法2：如图2，①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F；
②作直线，交于点N；
③以点N为圆心，长为半径画弧，交于点M；
④作直线．则直线即为所求．
证明：……
任务：
(1)填空：材料中的依据为________．
(2)将材料中作法2的证明过程补充完整．
(3)如图2，直线与直线交于点Q，连接．若的半径为2，，则的长为_____．
22．综合与实践
问题情境：
在中，．将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点，．
初步探究：
（1）如图1，当点恰好落在边上时，连接，求证：．
问题解决：
当旋转一定角度，与交于点D（点D不与点B重合）时，
（2）如图2，若D恰好是边的中点，试猜想与的位置关系，并说明理由．
（3）如图3，当时，请直接写出的长．
23．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，D是x轴上的一个动点（不与点A，O，B重合），过点D作轴，分别交抛物线，直线于点P，E．设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数解析式及点C的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
(2)当点D在线段上运动，且E为的中点时，求m的值．
(3)连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，，
∴函数图象过二、四象限，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟知比例系数的符号与函数图象的关系，当，位于一、三象限；当，位于二、四象限．
2．A
【分析】本题主要考查必然事件与随机事件的区别，他们的区别在于必然事件一定会发生，随机事件有可能发生，有可能不发生
根据必然事件的概念，逐一判断选项即可求解
【详解】解：A. 地球绕着太阳转，是必然事件，符合题意；
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C. 打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意；
D. 射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
故选A
3．C
【分析】本题主要考查了中心对称图形．根据“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，即可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义．熟练掌握双曲线上的一点的坐标特征和比例系数的几何意义是解题的关键．利用反比例函数k值的几何意义，可知，即可得解．
【详解】解：由题意，得：；
故选：A．
6．D
【分析】本题考查二次函数的平移，解题关键是熟记平移规律：左加右减上加下减．根据函数平移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案．
【详解】解：由函数平移的规律：左加右减上加下减可得，
，
故选D．
7．C
【分析】本题考查了反证法，掌握理解反证法的思想方法是解题关键．
反证法的步骤是:(1)假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
【详解】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，即结论的反面正确，
则此命题的假设是：假设三角形中有两个或三个角是直角或钝角，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了圆周角定理和量角器，记量角器中心点为，连接、，再根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半即可解题．
【详解】解：记量角器中心点为，连接、，如图所示：
，B两点分别在量角器外圈的刻度处与刻度处，
，
同弧所对的圆周角为圆心角的一半，
，
故选：D．
9．A
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，求出当时x的值即可得到答案．
【详解】解：当时，
解得或，
∴该运动员所推铅球的水平距离为，
故选：A．
10．A
【分析】连接并延长交于点E，连接，证明，，，则，证明，得到是等边三角形，，则，得到，再证明，根据图中阴影部分的面积进行计算解答即可．
【详解】解：连接并延长交于点E，连接，
∵与菱形的边相切于点B，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故选：A
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形面积公式、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、等边三角形的判定和性质、切线的性质等知识，综合性较强，证明是等边三角形是解题的关键．
11．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键．
12．4
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．可以从摸到红球的频率稳定在0.25左右得到摸到白球的频率稳定在0.75左右，从而求出球的总个数，再求出红球的个数．
【详解】解：通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，
袋中球的总个数约为（个），
袋中红球个数大约为（个）．
故答案为：4
13．
【分析】根据同圆的半径相等和等边对等角，可求出的度数，再根据同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半，求的的度数，最终由同圆等圆中同弧所对圆周角相等，求出的度数，本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，圆周角定理推论，解题的关键是：熟练掌握圆周角定理及其推论．
【详解】解：连接，
,
，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
14．2
【分析】此题主要考查了函数的图象，解题的关键是读懂图意，根据图象信息找到所需要的量，利用数量关系即可解决问题．根据图象将，，代入关系式中，即可求解．
【详解】解：从图象中可得时，，根据题意，将，，代入关系式中，得到：，所以．
故答案为：2．
15．
【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一．过点作交于点E，根据等腰三角形的性质得，结合勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作交于点E，
∵矩形中，，
∴，
∵，，
∴，
∵边绕点A逆时针旋转（）得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）根据公式法，写出a，b，c的值，代入计算即可；
（2）先移项整理，再提取公因式，得到，由此得或，即得答案．
【详解】（1）由已知，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
原方程的解是，；
（2）整理得，
因式分解，得，
即，
或，
原方程的解是，．
17．(1)画图见解析，
(2)画图见解析，
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点、、的位置，顺次连接各点即可画得图形及求得点的坐标；
(2)根据网格结构找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转得到的对称点、、的位置，顺次连接各点即可画得图形及求得点的坐标．
【详解】（1）解：如图：即为所求，
点的坐标为；
（2）解：如图：即为所求，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了利用旋转变换及中心对称作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查用列表和树状图求概率；
（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）列表格得出所有结果数和一共获得100元代金券的结果数，再根据概率公式求解即可
【详解】（1）解：∵质地均匀的转盘被平分为一等奖100元、二等奖50元、三等奖20元和谢谢参与四个区域．
∴得到代金券的概率为：，
故答案为：；
（2）列表格如下：
一共有16种等可能结果数，一共获得100元代金券的有3种，
故一共获得100元代金券的概率为：．
19．(1)反比例函数的表达式为，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数和正比例函数，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数表达式的方法和步骤．
（1）把代入，求出k的值，即可得出反比例函数表达式，根据反比例函数和正比例函数图象的中心对称形，即可得出点B的坐标；
（2）根据图象，找出正比例函数图象高于反比例函数图象时自变量的取值范围即可；
（3）先求出，点B到的距离为2，再根据三角形的面积公式，即可解答．
【详解】（1）解：把代入得：
，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
∵反比例函数图象和正比例函数图象均为中心对称图形，，
∴；
（2）解：∵，，
∴由图可知，当或时；
（3）解：∵轴，，
∴，
∵，
∴点B到的距离为，
∴．
20．(1)当每个暖手宝的售价降低15元时，该商店老板每天可以盈利1925元
(2)当每个暖手宝的售价降低5元时，该商店老板可以获得最大日利润，最大日利润为2025元
【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题意正确列出方程和函数表达式是解题的关键．
（1）根据题意表示出日销售量和每个暖手宝的利润，列出方程并解方程即可得到答案；
（2）设该商店老板获得的日利润为y元．根据（1）即可得到二次函数表达式，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）根据题意，得．
解得（舍去）．
答：当每个暖手宝的售价降低15元时，该商店老板每天可以盈利1925元．
（2）设该商店老板获得的日利润为y元．
根据题意，得．
，
∴当时，y取得最大值，最大值为2025．
答：当每个暖手宝的售价降低5元时，该商店老板可以获得最大日利润，最大日利润为2025元
21．(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
(2)见解析
(3)
【分析】（1）本题根据切线的判定，掌握概念即可解题．
（2）本题根据题意得出直线为的垂直平分线，，再证明、、三点共圆，利用圆周角定理得到，即可解题．
（3）本题根据（2）的图形结合题干的条件，得到，利用勾股定理算出，设，则，在中，根据，建立关于的方程，求解即可．
【详解】（1）解：切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）证明：连接、，如图所示：
分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，
直线为的垂直平分线，
，
以点N为圆心，长为半径画弧，交于点M，
，
、、三点共圆，且为直径，
，即，
又为的半径，
∴直线是的切线．
（3）解：的半径为2，，
，
，
直线为的垂直平分线，
，
设，则，
在中，有，
即，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线性质、三点共圆、切线的判定、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．
22．（1）见解析；（2）．理由见解析；（3）．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
（1）根据旋转的性质，得，从而可得，再证明，即可得结论；
（2）由是AB边的中点，可得，从而得出，根据旋转的性质，得，从而可得；
（3）如图，过点C作于点M，在中，根据勾股定理，得，得出，在中，根据勾股定理，得，最后可得结果．
【详解】（1）证明：根据旋转的性质，得，
，
，
，
又，
，即．
（2）解：，
理由：是AB边的中点，，
，
，
根据旋转的性质，得，
，
．
（3）如图，过点C作于点M，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
在中，根据勾股定理，得，
．
23．(1)抛物线的函数解析式为，；直线的函数解析式为
(2)m的值为1
(3)存在，点D的坐标为或或或
【分析】（1）用待定系数法求抛物线与一次函数解打式即可；
（2）由．得，，则，，再根据为的中点，得，则
，求解即可．
（3）分三种情况：①当点C为顶角顶点时，，②当点D为顶角顶点时，，③当点E为顶角顶点时，，分别 求解即可．
【详解】（1）解：把分别代入，得
解得
∴抛物线的函数解析式为．
当时，．
．
设直线的解析式为 ，
把，代入，得
，解得：，
∴线的函数解析式为．
（2）解：根据题意，得．
∴，．
，．
为的中点，
．
．
解得或（舍去）．
综上所述，m的值为1．
（3）解：存在，点D的坐标为或或或．
根据题意，得，，．
，，．
可分为以下三种情况讨论：
①当点C为顶角顶点时，，即
．解得或（舍去）．
．
②当点D为顶角顶点时，，即．
．解得或（舍去）．
．
③当点E为顶角顶点时，，即．
．解得或．
或．
综上所述，点D的坐标为或或或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式、待定系数法求抛物线解析式求一次函数解板式，二次函数图象性质，一次函数函数图象性质，等腰三角形性质．此题是二次函数与特殊三角形、一次函数综合题目．熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
一等奖
二等奖
三等奖
谢谢参与
一等奖
200
150
120
100
二等奖
150
100
70
50
三等奖
120
70
40
20
谢谢参与
100
50
20
0