河北省隆化存瑞中学2023届高三下学期2月月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省隆化存瑞中学2023届高三下学期2月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列不等式中成立的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
2．,分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,且则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
3．已知集合,,若,则a取值范围是( )
A.B.C.D.
4．已知向量,,若与共线,则等于( )
A.B.C.-2D.2
5．已知m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,则下列正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
6．已知,若直线与直线平行,则它们之间的距离为( )
A.B.C.D.或
7．有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从这20个零件中任取3个,那么至少有一个是一等品的概率是( )
A.B.C.D.
8．已知将函数的曲线向左平移个单位长度后得到曲线,则函数的单调递增区间是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．设复数,（i为虚数单位）,则下列结论正确的为( )
A.是纯虚数B.对应的点位于第二象限
C.D.
10．下列命题中是假命题的有( )
A.函数和为同一函数
B.若函数是奇函数,则
C.命题“,”的否定是“,”
D.函数在区间上的图象是一段连续曲线,如果,则函数在上没有零点
11．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列命题中,正确的是( )
A.在中,若,则
B.在中,若,,则
C.在中,若,则
D.在中,
12．已知等差数列满足,前3项和,则( )
A.数列的通项公式为
B.数列的公差为
C.数列的前n项和为
D.数列的前22项和为
三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为__________.
14．若,,且,则的最小值为_________．
15．已知函数有两个不同的零点,则常数k的取值范围是___________.
16．在正方体中,M、N、P、Q分别是AB、、、的中点,给出以下四个结论：①;②平面MNPQ;③与PM相交;④与PM异面其中正确结论的序号是___________．
四、解答题
17．在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足.
（1）求角B的大小;
（2）若,,求的面积.
18．已知公差不为0的等差数列,其前n项和为,,且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）记,求数列的前n项和.
19．一般来说,市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系．已知产品甲的年宣传费用x(百万元)和年销量y(万箱)的统计数据如下：
（1）求y与x的相关系数r(精确到0.01),并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：时,可用线性回归方程模型拟合);
（2）从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本,求恰有1个数据不少于4万箱的概率．
附：相关系数;
,,,;
20．如图,在四棱锥中,,,,E为边AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为.
（1）在直线PA上找一点M,使得直线平面PBE,并求的值;
（2）若直线CD到平面的距离为,求平面PBE与平面PBC夹角的正弦值.
21．已知双曲线：与有相同的渐近线,且经过点.
（1）求双曲线C的方程;
（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A､B,且线段AB的中点在圆上,求实数m的值.
22．已知函数,.
（1）求函数的单调区间.
（2）若对任意成立,求正实数m的取值范围.
（3）证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：A.若,则错误,如时,,所以该选项错误;
B.若,则,,所以该选项正确;
C.若,则,,所以该选项错误;
D.若,则,,所以该选项错误.
故选：B
2．答案：A
解析：设,因为当时,,
所以当时,,所以函数在单调递减,
又因为,分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
所以函数为R上的奇函数,所以函数在单调递减,
因为,所以函数的大致图象如下：
所以等式的解集为.
故选：A．
3．答案：C
解析：由知,
故,解得.
故选：C.
4．答案：A
解析：易得,
因为与共线,
所以,
即,所以.
故选：A.
5．答案：C
解析：对于A,若,,则m,n平行,相交或异面,故A错误;
对于B,若,,则,相交或平行,故B错误;
对于C,若,,则（垂直于同一平面的两条直线互相平行）,故C正确;
对于D,若,,则,相交或平行,故D错误.
故选：C.
6．答案：A
解析：若直线与直线平行,则,解得或,
当时,直线与直线平行;
当时,直线与直线平行;
综上所述：若直线与直线平行,则或.
,则,此时直线,直线,
故直线、之间的距离.
故选：A.
7．答案：D
解析：依题意,从20个零件中任取3个的试验有个基本事件,它们等可能,
至少有一个是一等品的事件为A,其对立事件是没有一等品的事件,有个基本事件,
所以至少有一个是一等品的概率.
故选：D.
8．答案：C
解析：将函数的曲线向左平移个单位长度得到,
令,
解得,
故函数的单调递增区间为,;
故选：C.
9．答案：AD
解析：对于A：,其实部为零,虚部不为零,是纯虚数,A正确;
对于B：,其在复平面上对应的点为,在第四象限,B错误;
对于C：,则,C错误;
对于D：,则,D正确.
故选：AD.
10．答案：ABD
解析：对于A,函数的定义域为R,函数的定义域为,
所以函数和不是同一函数,故A错误;
对于B,若奇函数的定义域为,则不存在,故B错误;
对于C,命题“,”的否定是“,”,故C正确;
对于D,函数在区间上的图象是一段连续曲线,且,
但函数在区间上有零点0,故D错误.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：在中,由及正弦定理得：,因此,A正确;
在中,由及正弦定理得：,B正确;
在中,,,则,,因为,
则有或,即有或,当时,,
当时,a与b不一定相等,C错误;
令R为外接圆半径,则,
于是,D正确.
故选：ABD.
12．答案：BCD
解析：由题知,,解得,
则,,故A错,BC正确;
记的前n项和为,因为,
所以
所以,故D正确.
故选：BCD.
13．答案：
解析：依题意,,,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
故答案为：.
14．答案：3
解析：因为,所以,
,
当且仅当,时,等号成立．
故答案为：3．
15．答案：
解析：由函数有两个不同的零点,
可知与的图象有两个不同的交点,
故作出如下图象,
当与的图象相切时,,即,
由图可知,故相切时,
因此结合图象可知,当时,与的图象有两个不同的交点,
即当时,函数有两个不同的零点.
故答案为：.
16．答案：①③④
解析：在正方体中,,
面,面,
,
面,
M,N分别是,的中点,,即,故正确;
由于M、N、P、Q分别是AB、、、的中点,
则与PM相交,故不正确,正确;
面,而M,P,面,NC与PM异面,故正确;
故答案为：①③④．
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵
∴
（2）
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设数列的首项,公差为,
因为,,
所以,解得,
所以数列的通项公式为.
（2）因为,所以,
得,
所以.
19．答案：（1）,y与x的关系可以用线性回归方程模型拟合.
（2）
解析：（1）,
则
可知,y与x的关系可以用线性回归方程模型拟合.
（2）年销量不少于3万箱的数据有4个,不少于4万箱的数据有2个,
则从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本,恰有1个数据不少于4万箱的概率为.
20．答案：（1）2
（2）
解析：（1）在四棱锥中,,
异面直线PA与CD所成的角为.
即,,又AB,CD为两相交直线,则平面ABCD,
取PD中点F,连接EF,又,则,则平面ABCD
又四边形ABCD中,,,,
则,则三直线BE,AD,EF两两互相垂直
以E为原点,分别以ED、EB、EF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：
设,则,,,,
,,,
设平面PBE的一个法向量为,
则,即,
令,则,,则
设,则
由直线平面PBE,可得,即
则,解之得,则,又,则
（2）由直线CD到平面PBE的距离为,得点C到平面PBE的距离为,
又,为平面PBE的一个法向量
则,即,解之得,
则,,
设平面PBC的一个法向量为,又
则,即,
令,则,,则
设平面PBE与平面PBC夹角为,
则
又,则.
21．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题意,设双曲线的方程为,又因为双曲线过点,,所以双曲线的方程为：
（2）由得
设,,则,,所以
则AB中点坐标为,代入圆
得,所以.
22．答案：（1）单调递增区间是,单调递减区间是;
（2）;
（3）证明见解析.
解析：（1）,.
令,解得;,解得,
的单调递增区间是,单调递减区间是.
（2）“对任意成立”等价于“对任意恒成立”.
令,则.
当时,,即在上单调递减;
当时,,即在上单调递增.
又,.
即所求实数m的取值范围是.
（3）证明：“”等价于“”.
据（1）求解知,
令,则.
分析知,在上单调递减,在上单调递增,
.对恒成立
即.
年宣传费用x(百万元)
3
5
6
10
13
15
18
年销量y(万箱)
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5