浙江省部分学校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省部分学校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．集合的真子集个数为( )
A.3B.4C.5D.6
2．若，，则p的否定为( )
A.，B.，
C.，D.，
3．若，，则“”是“”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为( )
A.B.C.D.2
5．已知为角终边上一点，则( )
A.7B.1C.2D.3
6．若，，且，，则( )
A.B.
C.D.
7．已知函数，则函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
8．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是( )
A.2B.C.3D.
9．函数，已知实数，，且，则下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.存在，使得
D.恒成立
二、多项选择题
10．已知，，则下列各式正确的是( )
A.B.
C.D.
11．已知，且，则的值可能是( )
A.B.C.D.
12．已知定义在R上的偶函数满足，则下列命题成立的是( )
A.的图象关于直线对称
B.
C.函数为偶函数
D.函数为奇函数
三、填空题
13．已知幂函数的图象过点，则__________.
14．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为4，则该矩形周长的最大值为____________.
15．已知实数，且，则__________.
四、双空题
16．已知函数，则函数的零点为__________；若关于x的方程有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是__________.
五、解答题
17．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，角以x轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.
（1）若，求及的值；
（2）若，求点P的坐标.
19．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数关系式为（，且）
（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
20．函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）利用单调性的定义证明在上为增函数；
（3）解不等式.
21．已知函数，.
（1）当时，解关于x的方程；
（2）当时，恒有，求实数a的取值范围；
（3）解关于x的不等式.
22．设a，b，，若满足，则称a比b更接近m.
（1）设比更接近0，求x的取值范围；
（2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件，并说明理由；
（3）设且，，试判断x与y哪一个更接近.
参考答案
1．答案：A
解析：根据题意可知集合中有3个元素，所以共有个，
即有，，三个真子集.
故选：A.
2．答案：D
解析：命题，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题p的否定为，.
故选：D.
3．答案：A
解析：取，，满足，但，充分性不满足；反过来，成立，故必要性成立.
故选：A.
4．答案：C
解析：不妨设正的外接圆半径，圆心为O，
取的中点为D，连接，，易知O在上，且，；如下图所示：
在中，，所以，；
依题意可知该圆弧长，
所以圆心角.
故选：C.
5．答案：B
解析：为角终边上一点，故，故.
故选：B.
6．答案：C
解析：因为，
所以m和n一个大于p，一个小于p，
因为，所以，
因为，
所以m和n一个大于q，一个小于q，
因为，所以，
因为，
所以，
故选：C.
7．答案：D
解析：因为函数，
所以函数，
当时，，即的图象过点，排除A；
当时，，即的图象过点，排除B；
当时，，，排除C，
故选：D.
8．答案：A
解析：由一元二次不等式的解集为可得，
利用韦达定理可得，即可得，且，，；
所以可得；
易知，
当且仅当，即，时等号成立；
即的最小值是2.
故选：A.
9．答案：D
解析：由，可知函数在上单调递增，
若，则，即，可得，
A选项：，当且仅当时等号成立，又，则，A选项错误；
B选项：，，则或，B选项错误；
C选项：若，则，则恒成立，C选项错误；
D选项：由，，
又，当且仅当时成立，又，所以，则，即，D选项正确；
故选：D.
10．答案：ABD
解析：A选项：由，得，A选项正确；
B选项：，B选项正确；
C选项：，C选项错误；
D选项：，D选项正确；
故选：ABD.
11．答案：BC
解析：由题意得，，
因为，
当时，因为，所以，
此时，故B项正确；
当时，因为，所以，
此时，故C项正确.
故选：BC.
12．答案：BD
解析：因为函数为偶函数，
所以函数关于y轴对称，且，又，
所以，且，
所以函数关于点中心对称，且周期为4，
所以函数关于对称，A选项错误；
，B选项正确；
由向右平移一个单位得到，则关于点对称，为奇函数，C选项错误；
由向左平移一个单位得到，则关于点对称，为奇函数，D选项正确.
故选：BD.
13．答案：4
解析：由函数为幂函数，得，即，
所以，
又函数过点，
则，
故答案为：4.
14．答案：
解析：设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则，a，，
矩形周长为，
，故，
当且仅当时等号成立，
故周长的最大值为.
故答案为：.
15．答案：0
解析：由，换成以e为底，
可得，
设，则，
解得或，
又，，则，
所以，即即，
故答案为：0.
16．答案：①.和②.
解析：根据题意可得当时，，
令，解得或（舍）；
当时，，令，解得，
所以可得函数的零点为和；
因此可得，画出函数图象如下图所示：
令，则方程可转化为；
结合图象可知，当时，函数与函数有三个交点，
当或时，函数与函数有两个交点，
当时，函数与函数有一个交点；
若关于的方程有5个不同的实数根，
则方程有两个不相等的实根，，且满足，或；
若可得，解得，；
经检验当时，方程即为，解得，不合题意；
当时，关于t的方程可化为，解得，，不合题意；
所以可知方程有两个不相等的实根，需满足且；
若，
故，解得或，
若，可得，即或；
检验当时，关于t的方程可化为，此时，，满足题意；
当时，关于t的方程可化为，此时，，满足题意；
综上可知，实数m的取值范围为或，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：和；.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由可得，
由可得.
（2）若可得，解得，
所以实数m的取值范围是.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由已知角的终边与单位圆交于第二象限内的点，
则，，，，且，
由，得，
则，
再由诱导公式可得
（2）由，得，，，
又，则，解得，
所以，
所以，
所以，，
即.
19．答案：（1）当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45
（2）当运转2年时，这批机器的年平均利润最大
解析：（1）由，，
可知当时，y取最大值为45，
即当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45.
（2）由已知可得年平均利润，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
即当运转2年时，这批机器的年平均利润最大.
20．答案：（1），
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）对于，都有，所以；
又函数是定义在上的奇函数，
所以，即，可得，所以；
由可得，解得；
所以，
因此的解析式为.
（2）取，，且，
则，
因为，，且，所以，，即，
可得，所以，即；
所以在上为增函数.
（3）将不等式转化为，
又是定义在上的奇函数，所以可得，
再根据（2）中的结论可知，解得；
即不等式的解集为.
21．答案：（1）或
（2）
（3）答案见解析
解析：（1）当时，方程即为，
解得或.
（2）当时，不等式可化为，
依题意可知，需满足，，
由于函数在上单调递增，函数在上单调递增；
所以函数在上单调递增，因此，
即实数a的取值范围是.
（3）由可得，
①当时，可得，不等式等价，此时不等式解集为；
②当时，方程有两根，即，，且；
此时不等式解集为；
③当时，方程仅有一根，即，此时不等式解集为R；
④当时，方程有两根，即，，且；
此时不等式解集为.
22．答案：（1）
（2）充分不必要条件，理由见解析
（3）y更接近
解析：（1）根据题意可得，即；
可得，解得；
即x的取值范围为.
（2）充分性：显然，由可得，
①若，则，可得；
又可得，所以；
即可得，此时可以得出“x比y更接近m”；
②若，则，可得；
又可得，所以；
即可得，此时可以得出“x比y更接近m”；
因此充分性成立.
必要性：由x比y更接近m可得，即，
若，，，此时，即必要性不成立；
所以“”是“x比y更接近m”的充分不必要条件.
（3）当时，显然在上单调递减，
所以，即；
易知，
所以，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，
即可得，即；
同理当时，由单调性可知，即；
可知，
又由对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增；
又，，
所以在时恒成立，即；
综上可得满足，即y更接近.