江苏省淮安市、连云港市2023-2024学年高三上学期第一次调研考试数学试题

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总分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知z(1＋i)＝i，则复数z的虚部为
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2)i D．－eq \f(1,2)i
2．已知集合S＝{x|x＝k－eq \f(1,2)，k∈Z}，T＝{x|x＝2k＋eq \f(1,2)，k∈Z}，则S∩T＝
A．S B．T C．7 D．0
3．随机变量X~N(2，σ2)，若P(X≤1.5)＝m，P(2≤X≤2.5)＝1－3m，则P(X≤2.5)＝
A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.85
4．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥(如图3)，且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则cs∠ASB＝
A．eq \f(\r(,2),2) B．eq \f(\r(,3),2) C．eq \f(1,3) D．eq \f(2\r(,2),3)
5．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有
A．108种 B．90种 C．72种 D．36种
6．已知双曲线C：eq \f(x\s(2),a\s(2))－\f(y\s(2),b\s(2))＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为M，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线交C于A，B两点，若∠AMB为锐角，则C的离心率的取值范围是
A．(1，eq \r(,3)) B．(1，2) C．(eq \r(,3)，＋) D．(2，＋∞)
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝4，A＝eq \f(π,3)，且BE为边AC上的高，AD为边BC上的中线，则eq \\ac(\S\UP7(→),AD)·eq \\ac(\S\UP7(→),BE)的值为
A．2 B．－2 C．6 D．－6
8．已知a＝ln3，b＝lg2e，c＝eq \f(6(2－ln2),c\s(2))，则a，b，c的大小关系是
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，则
A．P(X＝2)＝eq \f(1,2) B．P(Y＜3)＝eq \f(1,3) C．E(X)＞E(Y) D．D(X)＜D(Y)
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0＜ω＜3，－eq \f(π,2)＜φ＜0)，且f(0)＝－eq \f(\r(,3),2)，f(eq \f(11π,2))＝－1，则
A．φ＝－eq \f(π,6) B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)在(eq \f(π,2)，eq \f(5π,6))上单调递减 D．f(x－eq \f(π,12))为奇函数
11．已知数列{an}的前n项和为，且Sn＝n2＋λn＋μ，则下列结论正确的有
A．若μ＝0，则{an}为等差数列
B．若μ＝3，则{an}为递增数列
C．若λ＝－eq \f(11,2)，则当且仅当n＝3时Sn取得最小值
D．“λ＞－3”是“数列{Sn}为递增数列”的充要条件
12．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，⊙F的半径为1，过F的直线1与抛物线C和⊙F交于四个点，自下而上分别是A，C，D，B，O为坐标原点，则
A．eq \\ac(\S\UP7(→),OC)·eq \\ac(\S\UP7(→),OD)＝1 B．AC＞1
C．△OAB面积的最小值是8 D．3|AD|＋|BD|的最小值是10＋4eq \r(,3)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知△ABC的顶点是A(5，1)，B(7，－3)，C(1，－1)，则△ABC的外接圆的方程是 ．
14．若角eq α＋\f(π,4)的终边经过点P(－3，4)，则cs2α＝ ．
15．已知函数f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，且当x∈(0，1]时，f(x)＝lg2x，则f(eq \f(19,2))＝ ．
16．某兴趣小组准备将一棱长为a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知等比数列{an}为递增数列，其前n项和为Sn，a2＝4，S3＝14．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求和：1×an＋3×an－1＋5×an－2＋…＋(2n－1)×a1．
18．(12分)
如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥CD，AB∥DC，DC＝2BC＝2CC1＝4AB＝4．
(1)证明：AC1⊥B1D1；
(2)求二面角D－B1C－D1的平面角的余弦值．
19．(12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3．
(1)若b＝2，csC＝eq \f(11,16)，求sinA；
(2)点D在边AB上，AD＝2DB，若CD＝EQ \F(2\R(,21),3)，tanC＝2tanB，求a．
20．(12分)
某数学兴趣小组准备了若干个除颜色外都相同的红球和白球，先在罐子中放入2个红球和1个白球，活动参与者每次从罐子中随机抽取1个球，观察其颜色后放回罐中，并再取1个相同颜色的球
放入罐中，如此反复操作．
(1)求活动参与者第2次操作时取到白球的概率；
(2)记3次操作后罐子中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布与数学期望．
21．(12分)
已知椭圆E：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(,2),2)，且过点A(2，1)，点B与点A关于原点对称，过点P(1，－2)作直线l与E交于M，N两点(异于A点)，设直线AM与BN的斜率分别为k1，k2．
(1)若直线l的斜率为－eq \f(1,2)，求△AMN的面积；
(2)求k1k2－2k2的值．
22．(12分)
已知函数f(x)＝|aex－x|＋eq \f(1,2)x2＋(1－a)x．
(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；
(2)若f(x)在x＝0处取得极小值，求实数a的取值范围．