四川省成都市树德中学2024届高三上学期期末考试理科数学

这是一份四川省成都市树德中学2024届高三上学期期末考试理科数学，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（ ）
A． B．2 C． D．5
3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
4．下列叙述错误的是（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.若幂函数在上单调递增，则实数的值为
C.，
D.设，则“”是“”的充分不必要条件
5．平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（ ）
A．0条 B．4条 C．2条 D．3条
6. 小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（ ）
A． B． C． D．
7. 双曲线：（，）的一条渐近线过点，，是的左右焦点，且焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点满足，则（ ）
A．3或7 B．7 C．5 D．3
8． 某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，
采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1~200，分为40组，分别为1~5，
6~10，…，196~200.若从第4组抽取的号码为18，则样本中40~50岁教师
的编号之和为（ ）
A．906 B．966 C．1506 D．1566
9. 若展开式中最大的二项式系数为，则直线与曲线围成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10. 已知函数的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 在区间上的最小值为
B. 为偶函数
C. 图象对称中心是，
D. 的图象向右平移个单位长度后得到的图象
11. 如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内
（含边界）的一动点，则下列结论中:
①若点为的中点，则的最小值为；②过点作与和都成的直线，可以作四条；③若点为的中点时，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面周长为；④若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是.其中正确的命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12. 已知函数，若方程有5个不同的实数根，且最小的两个实数根为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，，则在方向上的投影等于 ．
14. 已知满足约束条件，则的取值范围为 ．
15 . 已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，点，在抛物线C上，若，则 .
16. 在锐角三角形中，角所对的边为，且.若点为的垂心，则的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）某汽车销售店以8万元每辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，且每辆汽车的售价每提高1千元时，年销售量就减少2辆.
（1）若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆?
（2）该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万元;若分4期或5期付款,其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车情况进行了统计，统计结果如下表：
若X表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.
18. (本题满分12分）已知数列的前n项和为，，且，数列满足， ，其中n∈N*．
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19. （本小题满分12分）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.

（1）求二面角的余弦值；
（2）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20. （本小题满分12分）已知函数，.
（1）若函数只有一个零点，求实数的取值所构成的集合；
（2）已知，若，函数的最小值为，求的值域.
21. (本小题满分12分) 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，到直线的距离为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线m与椭圆交于两点，过且与m垂直的直线n与圆O：交于C，D两点，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线有2个公共点，求的取值范围．
23. （10分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若不等式对于恒成立，求的取值范围.
高2021级高三期末考试数学试题（理科）参考答案
一、1－5CAADD 6－10BBDAB 11－12CB
13、 14、 15、4 16、
三、17、解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．则由题意得年销售量为100-2x，
∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．
故当x=15时，y取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．
∴ 当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分
（Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2.5万元的有4辆，3万元的有5辆．
∴ P(X=0)=；P(X=0．5)=；P(X=1)=．
∴ X的分布列为：
∴ X的数学期望E(X)=×0+×0．5+×1=．
∴ X的数学期望为．………………………………12分
18、（1）设等比数列的公比为q，由得：，
所以，即，故q＝3，
当n＝1时，，故为等比数列，
故数列的通项公式为；
由得：，故，，，……，，，
以上n-1个式子相乘得，，故；
（2）由，结合（1）可得：，
所以，，
两式相减得，，
所以，故．
19、（1）因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，，所以是正三角形，四边形为菱形，可得，，
而平面平面，平面平面，平面，，
平面，所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，，
，
所以二面角的余弦值为.
（2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为.
设，因为，，所以，
设与平面所成角为，则，
即，，解得，
所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.
20、解：（1）当时，显然不满足题意，
当时，若函数只有一个零点，即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为只有一个根，即直线与函数（且）的图象只有一个交点.
，令，得，在和上，，在
上，，所以在和上单调递减，在上单调递增.
在时有极小值，图象如图所示：
由图可知：若要使直线与函数的图象只有一个交点，
则或，综上的取值所构成的集合为.
（2）由题意知，
令得所在上单调递增.
又由零点的存在性定理知存在使得
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故又所以，又，所以.
令在单调递减，
由得.将代入，
得.令，得，
所以在单调递减，又
所以的值域为.
21、（1）依题意可得直线的方程为，即，则到直线的距离.又，，故，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）①当直线m的斜率为0时，直线m的方程为，代入椭圆方程可得，.
直线的方程，代入圆的方程可得，,
所以，，；
②当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为，代入椭圆方程可得，.
直线的方程，代入圆的方程可得，,
所以，，；
③当直线m的斜率存在且不为0时，设，则
，点O到直线n的距离，圆的半径，
根据垂径定理可得，所以.将代入曲线E的方程，
整理得，恒成立.
设，，由韦达定理可得，，，
则.
所以.因为，所以，所以.
令，则，.
令，，则在上恒成立，
所以在上单调递减.又，，所以，
即. 综上所述，的取值范围是.
22、（1）因为，，，将曲线的参数方程中的参数消去，并结合可得曲线的普通方程为：．
直线的极坐标方程为，将，代入上式，得直线的直角坐标方程为．
（2）曲线是以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，且圆弧两端点的坐
标分别为和，作出曲线与直线，如图所示，当直线经过点
时，直线与曲线有两个交点，此时．当直线与曲线相切时，有
，解得或（舍去）．数形结合可知的取
值范围为．
23、解：（1），即，利用零点分区间法，对去绝对值，当时，由，得，所以，当时，成立，所以，当时，由，得，所以.综上可知，不等式的解集为.
（2）由题意，可知，由（1）得当时，恒成立，因为，所以时不等式恒成立；
当时，恒成立，所以时不等式恒成立；
当时，恒成立，而，所以时不等式恒成立；
当时，即恒成立，而，所以不等式恒成立.
综上，满足要求的的取值范围为.
付款方式
一次性
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
1
1
3
2
3
X
0
0．5
1
P