（人教A版2019必修第二册)高一数学分层训练AB卷 第六章平面向量及其应用（知识通关详解）【单元测试卷】(原卷版+解析)

这是一份（人教A版2019必修第二册)高一数学分层训练AB卷 第六章平面向量及其应用（知识通关详解）【单元测试卷】(原卷版+解析)，共71页。
0第六章平面向量及其应用（知识通关详解）1．向量的有关概念例1：1．下列命题中正确的个数是（    ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；③若，则；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A．0 B．1 C．2 D．32.如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：(1)与相等的向量有哪些？(2)的相反向量有哪些？(3)与的模相等的向量有哪些？.举一反三1．下列结论中，正确的是（    ）A．零向量只有大小没有方向 B．C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等2．（多选）给出下列命题正确的是（    ）A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C．若满足，且同向，则 D．对于任意向量，必有3．（多选）下列说法中正确的是（    ）A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线C．零向量的长度为0 D．方向相反的两个非零向量必不相等4．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是________．5．下列各量中，向量有：______．（填写序号）①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．2.向量的线性运算例2：1．如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．2．计算：（1）；（2）；（3）．举一反三1.化简：=______．2．化简：___________.3.在中，，且，则（       ）A．2 B． C． D．3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.例3：1．（2021·山西临汾·一模（理））已知，，，则（　　）A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线2．如图，，不共线，且，用，表示．举一反三1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则k＝________.2.（2022·江苏·扬州中学模拟预测）已知向量，，若，则（       ）A． B．2 C．8 D．4．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例4：1．已知矩形中，为边中点，线段和交于点，则（    ）A． B．C． D．3．（多选）在菱形中，为的中点，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．举一反三1．在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（    ）A． B． C．6 D．82．（多选）设向量，平面内任一向量都可唯一表示为（），则实数的可能取值是（    ）A．2 B．3 C．1 D．03．如图，向量、、的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则________．5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).例5：1．在中，点在上中点，点是的中点，若，，则等（）A． B． C． D．2．已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ）A． B． C． D．举一反三1．已知，，则线段中点的坐标为（    ）A． B． C． D．2．已知向量，，则（    ）A． B．2 C． D．3．已知向量，则_______________．6．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.例6：已知向量，若，则（       ）A． B． C． D．举一反三1．已知两向量共线，则实数m =_________．2.已知向量，，向量，，若，则实数______.7．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.例7：1.（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（       ）A． B． C．1 D．22.（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．举一反三1．若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．2．在中，记，，则（    ）A． B． C． D．3．（多选）在中，已知，，则（    ）A． B． C． D．4．如图，在中，，，为的中点，则_____________．8．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．例8：1．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（       ）A．-1 B．2 C．3 D．举一反三（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知，与的夹角为60°，则在上的投影为_________.9．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝eq \r(a·a)；(4)cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)； (5)|a·b|__≤__|a||b|.例9：1．（2022·江西·模拟预测（文））已知平面向量的夹角为，且，则的值为（       ）A． B．4 C． D．2．（2021·北京房山·二模）已知单位向量的夹角为.与垂直，则___________.举一反三1．（2022·江西师大附中三模（理））已知均为单位向量，且，则__________．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知向量满足：，则__________.3．（2021·重庆一中模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角为__.10．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.例10：1．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（       ）A． B． C． D．举一反三（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知向量，满足，，则________ .11．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.例11：（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（       ）A．2 B．3 C．4 D．5举一反三1．已知向量，.（1）求与夹角的余弦值；（2）若向量与垂直，求实数的值.2．在平行四边形中，为一条对角线．若，.（1）求的值；（2）求的值．12．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：例12：1．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值（）A． B． C． D．2．（多选）已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形不可能为（    ）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形3．在四边形ABCD中，，，，，点E在线段CB的延长线上，且，则______.举一反三1．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ）A． B． C．13 D．262．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（　　）A．0 B． C．1 D．﹣13．（多选）点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形向量在物理中的应用例13：1．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为 （    ）A． B． C． D．2．（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（    ）A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为C．当时， D．当时，举一反三1．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（    ）A． B． C． D．2．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（    ）A． B． C． D．3．（多选）如图所示，小船被绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中（    ）A．船受到的拉力不断增大 B．船受到的拉力不断变小C．船受到的浮力不断变小 D．船受到的浮力保持不变14．正弦定理及其变形 变式：例14：1.（2015·北京·高考真题（文））在中，，，，则_________．2．在中，角分别对应边，已知，．角，求角．举一反三1．已知：如图，在梯形中，，，，，求的长2．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．（1）求b；（2）求∠A．15．余弦定理及其推论 例15：1．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（       ）A．1 B． C． D．32．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（       ）A． B． C． D．举一反三1．（2019·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=A．6 B．5 C．4 D．32.（2014·江苏·高考真题）若△ABC的内角满足，则的最小值是_____．16．常用的三角形面积公式（1）；（2） （两边夹一角）；例16：已知，，是中，，的对边，且，，成等差数列.（1）求；（2）若，，求的面积.举一反三1．在中，a、b、c分别是角A．B．C的对边，且.（1）求角B的大小；（2）若，，求的面积.17．三角形中常用结论（1）（2）（3）在中，，所以 ①；②；③；④⑤例17：1.（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________2．在中，角，，的对边分别为，，，满足.（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长..举一反三1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状2．在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角;（2）若，求外接圆的半径.3．在中，已知.（1）若外接圆的直径长为，求的值；（2）若为锐角三角形，其面积为6，求的取值范围．4．在中，，，的对边分别为，，．已知（1）求的大小；（2）已知，求的面积的最大值．18．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如： ①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点 旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例18：1.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．2.（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（       ）A．346 B．373 C．446 D．473举一反三1．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（    ）A．20米 B．米 C．米 D．25米2．如图，半圆的半径为为直径延长线上一点，为半圆上任意一点，以为边做等边三角形，设.(1)当时，求四边形的面积；(2)求线段长度的最大值，并指出此时的值.名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq \f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ