2024长沙雅礼教育集团高二上学期期末考试数学试卷含解析

这是一份2024长沙雅礼教育集团高二上学期期末考试数学试卷含解析，共16页。试卷主要包含了已知复数，则，若集合，则集合A的子集的个数为，若，，，则，005等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 分值：150分
命题人：李云皇､陈智 审题人：彭喜､李云皇､郝楠楠
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2.若集合，则集合A的子集的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.8
3.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.（自编作业原题）在等差数列中，，其前n项之和为，若，则（ ）.
A.10 B.100 C.110 D.120
5.（自编作业原题）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛､狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）
A.30种 B.50种 C.60种 D.90种
6.（自编作业原题）已知圆，直线，l与圆C相交于A､B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8.设，分别是双曲线的左､右焦点，O为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某校1500名学生参加“校园安全”知识竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A.频率分布直方图中a的值为0.005
B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D.估计总体中成绩落在内的学生人数为225
10.已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.函数在上单调递增
B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极大值
D.函数有最大值
11.设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ）
A.若为等差数列，则，，仍为等差数列
B.若为等比数列，则，，仍为等比数列
C.若为等差数列，则为等差数列
D.若为正项等比数列，则为等差数列
12.已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P､Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ）
A.
B.
C.的最大值为16
D.当最小时，直线的斜率不存在
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（自编作业原题）函数在点处的切线方程为________.
14.已知，则________.
15.（自编作业原题）某高中计划2024年寒假安排甲､乙､丙､丁､戊共5名学生志愿者到A､B､C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________.
16.若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（自编作业原题）设a为实数，函数.
（1）求的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线与x轴仅有一个交点？
18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点F是棱的中点，点E是棱上靠近点D的三等分点.
（1）证明：；
（2）求点B到平面的距离.
19.（联考复习题改编）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若的中线长为，求面积的最大值.
20.记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且.
（1）求和的值，并猜想的通项公式；
（2）证明第（1）问猜想的通项公式；
（3）设，数列的前n项和为，求证：.
21.在平面直角坐标系中､椭圆的左､右顶点为A，B，上顶点K满足.
（1）求C的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆C交于M，N两点.设直线和直线相交于点P，直线和直线相交于点Q，直线与x轴交于S.证明：是定值.
22.已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.
雅礼教育集团2023年下学期期末考试试卷
高二数学
时量：120分钟 分值：150分
命题人：李云皇､陈智 审题人：彭喜､李云皇､郝楠楠
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【详解】因为，所以.
2.【答案】C
【详解】，所以集合的子集的个数为4.
3.【答案】D
【详解】选项，如图1，满足，但不平行，错误；
错误，如图2，满足，但不平行，错误；
选项，如图3，满足，但不平行，错误；
选项，若，由线面平行的判断定理可得正确.
4.【答案】B
5.【答案】B
【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有种，
②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有种，
所以总共有种.
6.【答案】C
【详解】易知直线过定点，当弦长最短时，该弦所在直线与过点的直径垂直.已
知圆心，所以过点的直径所在直线的斜率，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即.
7.【答案】C
【详解】易知，
构造函数，则；
令，解得，
当时，，当时，；
可得在上单调递减，在上单调递增；
又易知，所以，即.
8.【答案】A
【详解】为圆上的点，，
是的中点，
又是的中点，，且，
又，
是圆的切线，，
在Rt中，又有，
，故双曲线的离心率为.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】AD
【详解】由，可得，故A正确；
前三个矩形的面积和为，
所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80，故B错误；
由成绩的频率分布直方图易知，这40名学生的竞赛成绩的众数为75，故C错误；
总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.
10.【答案】BC
【详解】当时，，当时，，所以函数在上先减后增，故A错误；
当时，，所以函数在上单调递减，故B正确；
因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，所以函数在处取得极大值，故C正确；
不确定是否有最大值，故不正确.
11.【答案】ACD
【详解】设等差数列的公差为，则，
，
同理可得，所以，
所以仍为等差数列，故A项正确；
取数列为，当为0时，不能成等比数列，故B项不正确；设等差数列的公差为，则，
于是，所以为等差数列，故C项正确；
若设等比数列的公比为，依题意，则，D项正确.
12.【答案】AD
【详解】选项，若一条直线的斜率不存在时，则另一条直线斜率为0，
此时与抛物线只有1个交点，不合要求，故两直线斜率均存在且不为0，
由题意得，设直线方程为，
联立与得，，
易知，设，则，
则，
则，A正确；
选项，在选项基础上得到，
由于两直线均过焦点且垂直，可得，
故，B不正确；
C选项，由B选项可知，
，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为错误；
选项，由选项可知，点横坐标为，
故，所以，
由于两直线均过焦点且垂直，可得，
则
，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
当时，取得最小值，此时，
故当最小时，直线的斜率不存在，正确.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
14.【答案】
【详解】由得，
所以，两边平方得，解得.
15.150
16.【答案】
【详解】，
令，显然函数单调递增，
所以函数有2个零点，等价于有两个根，即有两个根，
设过原点且与曲线相切的直线方程为，切点为，
因为，所以，解得，得切线方程为，
如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当，即时有两个交点，即有两个根.所以实数的取值范围为
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【解答】解：（1）.令，则或.
当变化时，的变化情况如下表：
所以的极大值是，极小值是.
（2）函数，
由此可知，取足够大的正数时，有取足够小的负数时，有，曲线与轴至少有一个交点.
由（1）知.
曲线与轴仅有一个交点，或，
即或或
当时，曲线与轴仅有一个交点.
18.【详解】（1）底面底面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，点是棱的中点，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则故，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
所以点到平面的距离为.
19.【解答】解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
可得，
因为为三角形内角，，
所以，可得，
因为，所以，可得，可得；
（2）因为的中线长为，
又，两边平方，可得，
所以，得
当且仅当时等号成立，.
20.【详解】（1）由题意：时，，即；
当时，，即
猜想：
（2）证明：当时，①②
②-①得：即：
方法一：当时，
.
也适合上式，故；
方法二：当时，
也适合上式，故
（3）证明：由（1）可得，
故，
则，
故
，
故，由于，故，
故
21.【解答】解：（1）由题，，解得.
所以的标准方程为.
（2）证明：设，直线的方程为.
联立直线与椭圆的方程，消得，
从而由韦达定理，得.
由（1）知，
所以直线和的方程分别为，.
联立直线和，可得交点的横坐标满足：
，解得，
即点总在直线上.同理可得点也在直线上，
所以直线的方程为.
所以，所以，其中分别为点，点的纵坐标.
联立直线和直线，得；
联立直线和直线，得.
所以为定值.
22.【解答】解：（1）定义域：
当时，单调递增，
当时，令，得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在上单调递增，
在上单调递减.
（2）对任意的，都有恒成立，
即任意的，都有恒成立，
所以任意的，都有对恒成立，
令，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，
又
所以存在，使得，即，
所以在上单调递减，
在上单调递增，
由，得，
设，
所以在上为增函数，
所以由，
得，
所以，即，所以，
所以，1
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极大值
极小值