福建省泉州市南安市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份福建省泉州市南安市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共21页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．．
1．若有意义，则x的值可以是（ ）
A．6B．1C．D．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A．B．C．1D．
4．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流B．大漠孤烟直C．手可摘星辰D．红豆生南国
5．用配方法解一元二次方程，变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．在小孔成像问题中，如图所示，若到的距离是24，到的距离是6，则像的长是物体长的（ ）
A．B．C．2倍D．4倍
7．如图，是的中位线，若，则的长是（ ）

A．B．C．D．
8．毛主席在《水调歌头·重上井冈山》上写道“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”，为我们描绘了科技发展的美好蓝图．如今，我国的航天航海事业飞速发展，取得了举世瞩目的成就．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某商家抓住这一商机，购进了某种航天模型玩具，每件进价30元．经市场预测，销售定价为50元时，每周可卖出300件；每降低一元，每周可多卖出20件．如果商家想在一周时间获利6080元，设每件玩具降价元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．把经过下列变形，与相似的是（ ）
A．各边长都加2B．各边长都减2C．各边长都乘以2D．各边长都平方
10．若是关于的一元二次方程的一个根，下面对的值估计正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．写出一个最简二次根式 ．（填一个正确的即可）
12．若是方程的一个根，则的值为 ．
13．已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为 ．
14．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m＝ ．
15．已知点G是等腰直角三角形的重心，，则的长为 ．
16．如图，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点H，连接交于点Q，下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．解方程：．
19．如图，在的网格中每个小正方形的边长都是1，与是以点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出位似中心O；（要求保留画图痕迹）
(2)请在此网格中，以点C为位似中心，画出，使它与的相似比等于2．
20．化橘红是一种名贵中药材，具有散寒燥湿、利气消疾、止咳和健脾食等功效，有“南方人参”之称．在地理标志保护和运用工作助力下，化橘红开始走上品牌化发展之路．已知某市2020年化橘红的种植面积是10万亩，到2022年种植面积达到12.1万亩，该市这两年平均每年种植面积增长的百分率是多少？
21．请你依据下面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：
(1)若小颖选择了房间C，那么她获胜的概率为 ；
(2)用树状图表示出所有可能的寻宝情况；求在寻宝游戏中胜出的概率．
22．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”
(1)请判断一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”；
(2)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求a和c的关系．
23．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

(1)求的长．
(2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
24．如图，在菱形中，边的长度为，的两边、分别与、的延长线相交于点和点，已知．请将图形补充完整，并回答下列问题．

(1)求证：；
(2)若，，请用含，的代数式表示．
25．如图，一次函数与正比例函数相交于第一象限的点A，与x轴相交于点B，已知k是方程的一个解．
(1)求点A的坐标；
(2)求的值；
(3)直线上是否存在一点C，使得？若存在，请求出点C的．坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，据此得出，即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
，
，
故选：A．
2．C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理得出，进行计算即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
，
则，
线段，
，
，
故选：C．
4．C
【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可．
【详解】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A 不符合题意；
B．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C 符合题意；
D．“红豆生南国”是必然事件，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
5．B
【分析】根据完全平方公式和等式的性质进行配方即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法，其一般步骤为：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．作于，的延长线交于，结合可得，由相似三角形的性质可得，即可获得答案．
【详解】解：如图，作于，的延长线交于，
∵，
∴，，
根据题意，可得，，
∴，
∴．
故选：A．
7．B
【分析】已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．掌握三角形中位线定理是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．设每件玩具降价x元，则每件利润为元，销量为件，根据“商家想在一周时间获利6080元”即可列出方程．
【详解】设每件玩具降价元，根据题意，得
故选：D
9．C
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：的边长分为、、，
则，，，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记知识点是解题关键．
10．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、实数大小估算等知识，利用公式法解关于的方程是解题关键．将代入方程并整理，获得关于的方程，然后估计的大小即可．
【详解】解：将代入方程，
可得，
整理可得，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即．
故选：B．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：这个最简二次根式可以是，
故答案为：（答案不唯一）
12．2024
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及代数式求值，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解，据此可得，然后代入求解即可．
【详解】解：根据题意，是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为：2024．
13．
【分析】根据坡度、坡角的定义可得出tanα的值，继而可得出α的度数．
【详解】解：由题意得，tanα=，
则α=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了坡度、坡角的定义，注意坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比．
14．##
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出列方程求出m的值即可．掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：．
15．##
【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，重心性质的应用，化为最简二次根式，先求解，，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接并延长交于点，
∴是等腰直角三角形斜边的中线
∴
∵点是等腰直角三角形的重心，
∴，且
在中，根据勾股定理得：
；
故答案为：
16．①③④
【分析】由等边三角形及正方形的性质求出，，从而判断①；证，可判断③；作，设，则，，，由求出，从而求得的长，据此可判断②，证，根据求解可判断④．
【详解】解：∵是等边三角形，四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，故③符合题意；
，
，
又，
，故①符合题意；
如图，过点作于，而，
设，则，
，
由知，
解得，
∴，
∵，
，
∴，故②不符合题意；
又∵°，
∴，
过作于，
∴
∴，故④符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．
17．
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先计算二次根式的除法运算，再计算二次根式的加减运算即可．
【详解】解：
18．，
【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了找位似中心以及画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
（1）将对应点连接，并延长使其交于一点即为点；
（2）根据它与的位似比等于，将三角形扩大2倍即可，对应点相交于一点．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
20．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设该市这两年平均每年种植面积增长的百分率是，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设该市这两年平均每年种植面积增长的百分率是，
根据题意，可得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该市这两年平均每年种植面积增长的百分率是．
21．(1)
(2)见解析，
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总数即为所求的概率．
【详解】（1）∵一共有三间房，每间房子有两个柜子，仅有一件宝物藏在某个柜子中，
∴小颖选择房间C，那么她获胜的概率为：，
故答案为：
（2）树状图如下：
根据树形图可知共有种等可能的结果，而满足题意的只有种结果，
∴在寻宝游戏中胜出的概率为：，
【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率为所求情况数与总情况数之比．同时熟记用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法
22．(1)是
(2)
【分析】本题考查了解方程，根与系数的关系，
（1）因式分解解方程得，，即可得；
（2）根据题意设方程的两根分别为，根据根与系数的关系得，即，即可得．
【详解】（1）解：
，，
，
∴一元二次方程是“倍根方程”，
故答案为：是；
（2）解：∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴设方程的两根分别为，
∴，
即，
∴，
，
．
23．(1)
(2)
【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；
（2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
答：．

（2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，,
∴，
∴，
∴，即云梯大约旋转了．

【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键．
24．(1)答案见解析，
(2)
【分析】（1）从所求答案出发，经观察其形式可由相似得出，找到两组对应角相等，即可得证，
（2）用三角函数和已知线段长度表示出两个三角形的面积，整理后即可得出结论．
本题考查了根据要求作图的能力，菱形的性质，相似三角形的判定，以及用三角函数表示三角形的边长，解题的关键是：（1）熟练掌握相似三角形的比例表达形式，（2）熟练应用三角函数表示直角三角形的边长．
【详解】（1）根据题意作图：

是菱形，
，，
，
，
又，
，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
，
（2）
过点、作的垂线，垂足分别为点、，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故．
25．(1)
(2)
(3)存在，或．
【分析】（1）先解方程可得，再联立两个一次函数的解析式求解A的坐标即可；
（2）如图，过作于，求解，，可得，可得：，再利用正弦的含义求解即可；
（3）如图，过作于，过作于，当，则，设，则，当时，Q满足条件，过作于，过作轴于，当，则，设，则，再利用数形结合的方法求解即可．
【详解】（1）解：∵k是方程的一个解．
∴，
解得：或，
∵正比例函数过一，三象限，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）如图，过作于，
∵为，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
（3）如图，过作于，过作于，
当，则，设，则，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，Q满足条件，过作于，过作轴于，
当，则，设，则，
∴，
由，则，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，即；
综上：或．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，求解函数解析式，交点坐标，锐角三角函数的应用，等面积法的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．