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2023-2024学年福建省厦门大学附属科技中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省厦门大学附属科技中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（4分）人体中成熟的红细胞平均直径为0.00077厘米，将数字0.00077用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（4分）下列各图中能说明的是
A．B．
C．D．
4．（4分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
5．（4分）长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是
A．B．C．D．
6．（4分）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是
A．10B．9C．6D．4
7．（4分）将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最短边长为3，则以下结论错误的是
A．是等边三角形B．
C．D．
8．（4分）如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据相符的是
A．（已知），（等角对等边）
B．平分，（已知），（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
C．，（已知），（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
D．，（已知），（等腰三角形三线合一）
9．（4分）市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是
A．甲先做了4天B．甲乙合做了4天
C．甲先做了工程的D．甲乙合做了工程的
10．（4分）如图，平面直角坐标系中有三点A（2，3）、B（1，4）、C（0，1），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则OD长为（ ）
A．0B．0.5C．1D．2
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
12．（4分）分解因式： ．
13．（4分）如图，在等边中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为 ．
14．（4分）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：
①
②
③
④
所有正确结论的序号是： ．
15．（4分）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为 ．
16．（4分）我们给出如下的定义：点A（x，y）先关于x轴对称得到点A'，再将点A'关于直线y＝m（直线上各点的纵坐标都为m）对称得点A1，则称点A1为点A关于x轴和直线y＝m的二次反射点．已知点P（2，3），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P1，Q1，点P（2，3）关于直线x＝m（直线上各点的横坐标都为m）对称的点为P2，则当△P1Q1P2的面积为1时，m＝ ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（6分）解分式方程：．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）如图，点、在的边上，，，求证：．
21．（8分）如图，中，，．
（1）尺规作图：在线段上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，证明：．
22．近日，某市考试院发布了《义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分标准（试行）》，2024年对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分．
以下是该市某中学初三8班体育期末模拟考的长跑成绩制成的频数分布表：
（1）表格a＝ ，初三8班有 人，满分率为 ．
（2）在一次计时跑步中，该班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，按照新考核标准来看，这名女生能否拿到满分？请说明理由．
（3）在一次计时跑步中，该班一名男生跑完1000米所用时间比一名女生跑完800米所用时间的1.3倍还少5秒，哪位同学的平均速度更快？请说明理由．
23．若一个正整数m是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即m＝n（n+2），其中n为正整数，则称m为“进步数”，n为m的“进步起点”．例如，35＝5×7，则35是“进步数”，5为35的“进步起点”．
（1）a是“进步数”，它的“进步起点”为1，则a＝ ；b是8的“进步起点”，则b＝ ．
（2）把“进步数”x与“进步数”y的差记为E（x，y），其中x＞y，E（x，y）＞0，例如，24＝4×6，15＝3×5，则E（24，15）＝24﹣15＝9．若“进步数”x的“进步起点”为s，“进步数”y的“进步起点”为t，当E（x，y）＝16时，求的值．
（3）若m＝k2（k为整数），试探究m是否是“进步数”，请说明理由．
24．（12分）如图，等边中，是内部的一条射线，且，点关于的对称点为，连接，，，其中、的延长线分别交射线于点，．
（1）依题意补全图形；
（2）请猜想此时与的数量关系，并进行证明；
（3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．
25．如图1，是等腰直角三角形，，点是轴上的一点，边交轴于点．
（1）若点，直接写出点的坐标 ；
（2）如图2，将沿轴负方向平移一定距离后，使边交轴于点．过点作轴且，连接．过点作轴交于点，连接，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，若点坐标为，点在第一象限内，连接，过点作交轴于点，在上截取，连接，过点作，交于点，试探究点在上的位置，并说明理由．
2023-2024学年福建省厦门大学附属科技中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（有10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：，，选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）人体中成熟的红细胞平均直径为0.00077厘米，将数字0.00077用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：．
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）下列各图中能说明的是
A．B．
C．D．
【分析】利用对顶角、平行线的性质，直角三角形中的等角的余角相等、三角形的内角和外角的关系等分析．
解：、根据对顶角相等，得，故本选项错误；
、根据两直线平行同位角相等，得，故本选项错误；
、由于三角形的任何一个外角大于和它不相邻的内角，所以，故本选项正确；
、，，
，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了对顶角、直角三角形的性质、直角三角形中的等角的余角相等、三角形的内角和外角的关系，比较基础，难度不大．
4．（4分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
解：、，故本选项不合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不合题意；
、，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘法与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5．（4分）长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是
A．B．C．D．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
解：长方形的面积是，一边长是，
它的另一边长是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（4分）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是
A．10B．9C．6D．4
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，即可求得这个多边形的边数．
解：一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，
这个多边形的边数是：．
故选：．
【点评】此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
7．（4分）将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最短边长为3，则以下结论错误的是
A．是等边三角形B．
C．D．
【分析】利用全等三角形的性质，等边三角形的判定解决问题即可．
解：，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
故，，正确．
故选：．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，属于中考常考题型．
8．（4分）如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据相符的是
A．（已知），（等角对等边）
B．平分，（已知），（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
C．，（已知），（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
D．，（已知），（等腰三角形三线合一）
【分析】根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一逐项判断即可得．
解：、（已知），
（等边对等角），
则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意；
、平分，（已知），
（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
因为与不垂直，与不垂直，则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意；
、，（已知），
（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），
则因果关系与所填依据相符，此项符合题意；
、，（已知），
（等腰三角形三线合一），
因为条件没有等腰三角形，则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一，角平分线珠性质定理，熟练掌握这些知识是解题关键．
9．（4分）市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是
A．甲先做了4天B．甲乙合做了4天
C．甲先做了工程的D．甲乙合做了工程的
【分析】方程左边的代数式表示的是甲乙合作的工效，所以相对应的是时间．
解：由题意：，可知甲做了4天，乙做了天．
由此可以推出，开始他们合做了4天，
故条件③是甲乙合做了4天．
故选：．
【点评】本题考查了分式方程的应用，用到的等量关系为：工效工作时间工作总量．
10．（4分）如图，平面直角坐标系中有三点A（2，3）、B（1，4）、C（0，1），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则OD长为（ ）
A．0B．0.5C．1D．2
【分析】四边形ABCD周长是AB+BC+CD+AD，AB+CD是定值，所以只需AD+CD最小，根据“将军饮马”模型，作C点关于x轴对称点E，连接AE与x轴交点，即为D点，可先求出AE的解析式，进而求得结果．
解：∵四边形ABCD周长＝AB+BC+CD+AD，AB+CD是定值，
∴只需AD+CD最小，
取E（0，﹣1），连接AE，交x轴于D，如图，
则四边形ABCD的周长最小，
设AE的解析式是：y＝kx﹣1，
当x＝2时，y＝3，
∴2k﹣1＝3，
∴k＝2，
∴y＝2x﹣1，
当y＝0时，2x﹣1＝0，
∴x＝0.5，
∴OD＝0.5，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键熟悉“将军饮马”模型．
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
解：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（4分）分解因式： ．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
解：，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．（4分）如图，在等边中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为 ．
【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，，，即可得出的长．
解：为等边三角形，
，，
，，
，
，
，，
点是的中点，
，
，，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了含角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含角直角三角形的性质是解题的关键．
14．（4分）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：
①
②
③
④
所有正确结论的序号是： ①②③ ．
【分析】由作图可知垂直平分线段，平分，利用线段的垂直平分线的性质一一判断即可．
解：由作图可知垂直平分线段，平分，
，，故①，③正确，
，
，，
，故②正确，
由作图不能得到④，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
15．（4分）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为 72 ．
【分析】先设，然后用含有的式子表示，，，进而得到，最后利用三角形的外角性质列出方程求得，即可求得的大小．
解：设，则，
由折叠得，，，
是的外角，
，
，
解得：，
，
故答案为：72．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示．
16．（4分）我们给出如下的定义：点A（x，y）先关于x轴对称得到点A'，再将点A'关于直线y＝m（直线上各点的纵坐标都为m）对称得点A1，则称点A1为点A关于x轴和直线y＝m的二次反射点．已知点P（2，3），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P1，Q1，点P（2，3）关于直线x＝m（直线上各点的横坐标都为m）对称的点为P2，则当△P1Q1P2的面积为1时，m＝ 1或3 ．
【分析】根据对称性质由已知点坐标求得P1，Q1，M1的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得m的值便可．
解：根据题意得，P1（2，2m+3），Q1（2，2m+2），P2（2m﹣2，3），
∴P1Q1＝|2m+3﹣2m﹣2|＝1，PP2＝|2m﹣2﹣2|＝|2m﹣4|，
∵△P1Q1P2的面积为1，
∴×1×|2m﹣4|＝1，
解得m＝1或3．
故答案为：1或3．
【点评】本题考查了新定义，坐标与图形变化﹣对称，三角形的面积公式，关键是读懂新定义，根据新定义求出P1，Q1的坐标．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先算乘法，再算减法即可；
（3）先化简，然后计算加减法即可．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（6分）解分式方程：．
【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
解：原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：将代入得，
故原方程的解为．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（8分）如图，点、在的边上，，，求证：．
【分析】首先过点作于点，由，根据三线合一的性质，可得，又由，可得，然后由线段垂直平分线的性质，可证得．
【解答】证明：过点作于点，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（8分）如图，中，，．
（1）尺规作图：在线段上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，证明：．
【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可；
（2）证明，可得结论．
【解答】（1）解：如图点即为所求；
（2）证明：，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．近日，某市考试院发布了《义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分标准（试行）》，2024年对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分．
以下是该市某中学初三8班体育期末模拟考的长跑成绩制成的频数分布表：
（1）表格a＝ 0.28 ，初三8班有 50 人，满分率为 88% ．
（2）在一次计时跑步中，该班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，按照新考核标准来看，这名女生能否拿到满分？请说明理由．
（3）在一次计时跑步中，该班一名男生跑完1000米所用时间比一名女生跑完800米所用时间的1.3倍还少5秒，哪位同学的平均速度更快？请说明理由．
【分析】（1）依据题意，总数＝2+10+14+18+6＝50，进而可得初三8班总人数50，从而a＝14÷50＝0.28，又3分55秒即可得到满分，从而求出满分人数和满分率；
（2）依据题意，设这名女生跑完800米所用时间为x秒，则这名男生跑完1000米所用时间（x+56）秒，进而列方程，解方程后即可判断得解；
（3）依据题意，设女生所用时间为y秒，则男生所用时间为（1.3y+5）秒，从而＝200（﹣），又﹣＝＝＞0，进而可得＜，故可得解．
解：（1）由题意得，总数＝2+10+14+18+6＝50，
∴初三8班有50人．
∴a＝14÷50＝0.28．
又3分55秒即可得到满分，即3×60+55＝235（秒），
∴满分人数为：50﹣6＝44．
∴满分率为44÷50×100%＝88%．
故答案为：0.28；50；88%．
（2）由题意，设这名女生跑完800米所用时间为x秒，则这名男生跑完1000米所用时间（x+56）秒，
根据题意得：，
∴解得：x＝224．
经检验，x＝224是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．
∵224＜235，
∴这名女生能拿到满分．
答：这名女生能拿到满分．
（3）由题意，设女生所用时间为y秒，则男生所用时间为（1.3y+5）秒，
∴＝200（﹣）．
∵﹣＝＝＞0，
∴﹣＜0，即＜．
答：女生的平均速度更快．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用及频数分布表的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
23．若一个正整数m是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即m＝n（n+2），其中n为正整数，则称m为“进步数”，n为m的“进步起点”．例如，35＝5×7，则35是“进步数”，5为35的“进步起点”．
（1）a是“进步数”，它的“进步起点”为1，则a＝ 3 ；b是8的“进步起点”，则b＝ 2 ．
（2）把“进步数”x与“进步数”y的差记为E（x，y），其中x＞y，E（x，y）＞0，例如，24＝4×6，15＝3×5，则E（24，15）＝24﹣15＝9．若“进步数”x的“进步起点”为s，“进步数”y的“进步起点”为t，当E（x，y）＝16时，求的值．
（3）若m＝k2（k为整数），试探究m是否是“进步数”，请说明理由．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义列方程组求解；
（3）根据一元二次方程的根的判别式求解．
解：（1）∵a是“进步数”，它的“进步起点”为1，
∴a＝1×（1+2）＝3；
∵b是8的“进步起点”，
∴8＝b（b+2），
解得b1＝2，b2＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴b＝2．
故答案为：3，2；
（2）∵E（x，y）＝16，
∴x﹣y＝s（s+2）﹣t（t+2）＝16，
∴s2+2s﹣t2﹣2t＝s2﹣t2+2s﹣2t＝（s+t）（s﹣t）+2（s﹣t）＝（s﹣t）（s+t+2）＝16，
∵s、t均为正整数，
∴s﹣t、s+t+2均为正整数，且s+t+2＞s﹣t，
∵16＝1×16＝2×8，
∴或，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴＝2；
（3）m不是“进步数”，
理由：设n（n+2）＝k2，
即n2+2n﹣k2＝0，
∴Δ＝4+4k2＝4（1+k2）
∵1+k2不是完全平方数，
∴n2+2n﹣k2＝0没有整数解，
∴m不是“进步数”．
【点评】本题考查了一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
24．（12分）如图，等边中，是内部的一条射线，且，点关于的对称点为，连接，，，其中、的延长线分别交射线于点，．
（1）依题意补全图形；
（2）请猜想此时与的数量关系，并进行证明；
（3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意作图；
（2）由对称的性质得，再由等边三角形的性质证明是等腰三角形，从而可得到；
（3），理由如下，在射线上截取使，连接，证明，得到，证明是等边三角形，从而得到，即可证明结论．
【解答】（1）解：如图所示，根据题意补全图形；
（2）证明：，理由如下：
点与点关于对称，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（3）证明：，理由如下：
在射线上截取使，连接，
，，
，
由（2）得，
，
点与点关于对称，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查轴对称的作图，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形和等边三角形的性质等．
25．如图1，是等腰直角三角形，，点是轴上的一点，边交轴于点．
（1）若点，直接写出点的坐标 ；
（2）如图2，将沿轴负方向平移一定距离后，使边交轴于点．过点作轴且，连接．过点作轴交于点，连接，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，若点坐标为，点在第一象限内，连接，过点作交轴于点，在上截取，连接，过点作，交于点，试探究点在上的位置，并说明理由．
【分析】（1）过点作轴于点，再证明即可；
（2）在上截取，连接．先证明，得，，再证明，得即可；
（3）过点作交的延长线于点，连接．先证明是等腰直角三角形，得，，再证明，得，，设，则，推出，再证明 即可．
【解答】（1）解：如图1，过点作轴于点Ⅰ，
，是等腰直角三角形，，
，，，，
，，
，
，，
故的坐标为，
故答案为：；
（2）证明：在上截取，连接．如图2，
轴，轴，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
即，
是等腰直角三角形，
，
．
在和中，
，
，
，
；
（3）解：点为的中点．理由如下：
过点作交的延长线于点，连接．如图3，
，，
，
是等腰直角三角形，
，．
，，
，，
．
在和中，
，
，
，．
设，则，
，
，，
得，
在和中，
，
，
，即点为的中点．
【点评】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
成绩x（秒）
频数
频率
155≤x≤175
2
0.04
175＜x≤195
10
0.2
195＜x≤215
14
a
215＜x≤235
18
0.36
235＜x≤255
6
0.12
成绩x（秒）
频数
频率
155≤x≤175
2
0.04
175＜x≤195
10
0.2
195＜x≤215
14
a
215＜x≤235
18
0.36
235＜x≤255
6
0.12
1．（4分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（4分）人体中成熟的红细胞平均直径为0.00077厘米，将数字0.00077用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（4分）下列各图中能说明的是
A．B．
C．D．
4．（4分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
5．（4分）长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是
A．B．C．D．
6．（4分）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是
A．10B．9C．6D．4
7．（4分）将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最短边长为3，则以下结论错误的是
A．是等边三角形B．
C．D．
8．（4分）如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据相符的是
A．（已知），（等角对等边）
B．平分，（已知），（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
C．，（已知），（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
D．，（已知），（等腰三角形三线合一）
9．（4分）市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是
A．甲先做了4天B．甲乙合做了4天
C．甲先做了工程的D．甲乙合做了工程的
10．（4分）如图，平面直角坐标系中有三点A（2，3）、B（1，4）、C（0，1），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则OD长为（ ）
A．0B．0.5C．1D．2
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
12．（4分）分解因式： ．
13．（4分）如图，在等边中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为 ．
14．（4分）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：
①
②
③
④
所有正确结论的序号是： ．
15．（4分）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为 ．
16．（4分）我们给出如下的定义：点A（x，y）先关于x轴对称得到点A'，再将点A'关于直线y＝m（直线上各点的纵坐标都为m）对称得点A1，则称点A1为点A关于x轴和直线y＝m的二次反射点．已知点P（2，3），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P1，Q1，点P（2，3）关于直线x＝m（直线上各点的横坐标都为m）对称的点为P2，则当△P1Q1P2的面积为1时，m＝ ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（6分）解分式方程：．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）如图，点、在的边上，，，求证：．
21．（8分）如图，中，，．
（1）尺规作图：在线段上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，证明：．
22．近日，某市考试院发布了《义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分标准（试行）》，2024年对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分．
以下是该市某中学初三8班体育期末模拟考的长跑成绩制成的频数分布表：
（1）表格a＝ ，初三8班有 人，满分率为 ．
（2）在一次计时跑步中，该班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，按照新考核标准来看，这名女生能否拿到满分？请说明理由．
（3）在一次计时跑步中，该班一名男生跑完1000米所用时间比一名女生跑完800米所用时间的1.3倍还少5秒，哪位同学的平均速度更快？请说明理由．
23．若一个正整数m是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即m＝n（n+2），其中n为正整数，则称m为“进步数”，n为m的“进步起点”．例如，35＝5×7，则35是“进步数”，5为35的“进步起点”．
（1）a是“进步数”，它的“进步起点”为1，则a＝ ；b是8的“进步起点”，则b＝ ．
（2）把“进步数”x与“进步数”y的差记为E（x，y），其中x＞y，E（x，y）＞0，例如，24＝4×6，15＝3×5，则E（24，15）＝24﹣15＝9．若“进步数”x的“进步起点”为s，“进步数”y的“进步起点”为t，当E（x，y）＝16时，求的值．
（3）若m＝k2（k为整数），试探究m是否是“进步数”，请说明理由．
24．（12分）如图，等边中，是内部的一条射线，且，点关于的对称点为，连接，，，其中、的延长线分别交射线于点，．
（1）依题意补全图形；
（2）请猜想此时与的数量关系，并进行证明；
（3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．
25．如图1，是等腰直角三角形，，点是轴上的一点，边交轴于点．
（1）若点，直接写出点的坐标 ；
（2）如图2，将沿轴负方向平移一定距离后，使边交轴于点．过点作轴且，连接．过点作轴交于点，连接，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，若点坐标为，点在第一象限内，连接，过点作交轴于点，在上截取，连接，过点作，交于点，试探究点在上的位置，并说明理由．
2023-2024学年福建省厦门大学附属科技中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（有10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：，，选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）人体中成熟的红细胞平均直径为0.00077厘米，将数字0.00077用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：．
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）下列各图中能说明的是
A．B．
C．D．
【分析】利用对顶角、平行线的性质，直角三角形中的等角的余角相等、三角形的内角和外角的关系等分析．
解：、根据对顶角相等，得，故本选项错误；
、根据两直线平行同位角相等，得，故本选项错误；
、由于三角形的任何一个外角大于和它不相邻的内角，所以，故本选项正确；
、，，
，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了对顶角、直角三角形的性质、直角三角形中的等角的余角相等、三角形的内角和外角的关系，比较基础，难度不大．
4．（4分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
解：、，故本选项不合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不合题意；
、，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘法与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5．（4分）长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是
A．B．C．D．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
解：长方形的面积是，一边长是，
它的另一边长是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（4分）一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是
A．10B．9C．6D．4
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，即可求得这个多边形的边数．
解：一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，
这个多边形的边数是：．
故选：．
【点评】此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
7．（4分）将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最短边长为3，则以下结论错误的是
A．是等边三角形B．
C．D．
【分析】利用全等三角形的性质，等边三角形的判定解决问题即可．
解：，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
故，，正确．
故选：．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，属于中考常考题型．
8．（4分）如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据相符的是
A．（已知），（等角对等边）
B．平分，（已知），（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
C．，（已知），（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
D．，（已知），（等腰三角形三线合一）
【分析】根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一逐项判断即可得．
解：、（已知），
（等边对等角），
则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意；
、平分，（已知），
（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
因为与不垂直，与不垂直，则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意；
、，（已知），
（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），
则因果关系与所填依据相符，此项符合题意；
、，（已知），
（等腰三角形三线合一），
因为条件没有等腰三角形，则因果关系与所填依据不相符，此项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一，角平分线珠性质定理，熟练掌握这些知识是解题关键．
9．（4分）市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是
A．甲先做了4天B．甲乙合做了4天
C．甲先做了工程的D．甲乙合做了工程的
【分析】方程左边的代数式表示的是甲乙合作的工效，所以相对应的是时间．
解：由题意：，可知甲做了4天，乙做了天．
由此可以推出，开始他们合做了4天，
故条件③是甲乙合做了4天．
故选：．
【点评】本题考查了分式方程的应用，用到的等量关系为：工效工作时间工作总量．
10．（4分）如图，平面直角坐标系中有三点A（2，3）、B（1，4）、C（0，1），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则OD长为（ ）
A．0B．0.5C．1D．2
【分析】四边形ABCD周长是AB+BC+CD+AD，AB+CD是定值，所以只需AD+CD最小，根据“将军饮马”模型，作C点关于x轴对称点E，连接AE与x轴交点，即为D点，可先求出AE的解析式，进而求得结果．
解：∵四边形ABCD周长＝AB+BC+CD+AD，AB+CD是定值，
∴只需AD+CD最小，
取E（0，﹣1），连接AE，交x轴于D，如图，
则四边形ABCD的周长最小，
设AE的解析式是：y＝kx﹣1，
当x＝2时，y＝3，
∴2k﹣1＝3，
∴k＝2，
∴y＝2x﹣1，
当y＝0时，2x﹣1＝0，
∴x＝0.5，
∴OD＝0.5，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，解决问题的关键熟悉“将军饮马”模型．
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
解：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（4分）分解因式： ．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
解：，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．（4分）如图，在等边中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为 ．
【分析】根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，，，即可得出的长．
解：为等边三角形，
，，
，，
，
，
，，
点是的中点，
，
，，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了含角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含角直角三角形的性质是解题的关键．
14．（4分）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：
①
②
③
④
所有正确结论的序号是： ①②③ ．
【分析】由作图可知垂直平分线段，平分，利用线段的垂直平分线的性质一一判断即可．
解：由作图可知垂直平分线段，平分，
，，故①，③正确，
，
，，
，故②正确，
由作图不能得到④，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
15．（4分）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为 72 ．
【分析】先设，然后用含有的式子表示，，，进而得到，最后利用三角形的外角性质列出方程求得，即可求得的大小．
解：设，则，
由折叠得，，，
是的外角，
，
，
解得：，
，
故答案为：72．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示．
16．（4分）我们给出如下的定义：点A（x，y）先关于x轴对称得到点A'，再将点A'关于直线y＝m（直线上各点的纵坐标都为m）对称得点A1，则称点A1为点A关于x轴和直线y＝m的二次反射点．已知点P（2，3），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P1，Q1，点P（2，3）关于直线x＝m（直线上各点的横坐标都为m）对称的点为P2，则当△P1Q1P2的面积为1时，m＝ 1或3 ．
【分析】根据对称性质由已知点坐标求得P1，Q1，M1的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得m的值便可．
解：根据题意得，P1（2，2m+3），Q1（2，2m+2），P2（2m﹣2，3），
∴P1Q1＝|2m+3﹣2m﹣2|＝1，PP2＝|2m﹣2﹣2|＝|2m﹣4|，
∵△P1Q1P2的面积为1，
∴×1×|2m﹣4|＝1，
解得m＝1或3．
故答案为：1或3．
【点评】本题考查了新定义，坐标与图形变化﹣对称，三角形的面积公式，关键是读懂新定义，根据新定义求出P1，Q1的坐标．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先算乘法，再算减法即可；
（3）先化简，然后计算加减法即可．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（6分）解分式方程：．
【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
解：原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：将代入得，
故原方程的解为．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（8分）如图，点、在的边上，，，求证：．
【分析】首先过点作于点，由，根据三线合一的性质，可得，又由，可得，然后由线段垂直平分线的性质，可证得．
【解答】证明：过点作于点，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（8分）如图，中，，．
（1）尺规作图：在线段上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，证明：．
【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可；
（2）证明，可得结论．
【解答】（1）解：如图点即为所求；
（2）证明：，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．近日，某市考试院发布了《义务教育体育与健康考核评价现场考试项目评分标准（试行）》，2024年对于体育现场考试项目中的男生1000米和女生800米的考核标准调整为“达到良好即满分”，即达到3分55秒即可得到满分．
以下是该市某中学初三8班体育期末模拟考的长跑成绩制成的频数分布表：
（1）表格a＝ 0.28 ，初三8班有 50 人，满分率为 88% ．
（2）在一次计时跑步中，该班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，按照新考核标准来看，这名女生能否拿到满分？请说明理由．
（3）在一次计时跑步中，该班一名男生跑完1000米所用时间比一名女生跑完800米所用时间的1.3倍还少5秒，哪位同学的平均速度更快？请说明理由．
【分析】（1）依据题意，总数＝2+10+14+18+6＝50，进而可得初三8班总人数50，从而a＝14÷50＝0.28，又3分55秒即可得到满分，从而求出满分人数和满分率；
（2）依据题意，设这名女生跑完800米所用时间为x秒，则这名男生跑完1000米所用时间（x+56）秒，进而列方程，解方程后即可判断得解；
（3）依据题意，设女生所用时间为y秒，则男生所用时间为（1.3y+5）秒，从而＝200（﹣），又﹣＝＝＞0，进而可得＜，故可得解．
解：（1）由题意得，总数＝2+10+14+18+6＝50，
∴初三8班有50人．
∴a＝14÷50＝0.28．
又3分55秒即可得到满分，即3×60+55＝235（秒），
∴满分人数为：50﹣6＝44．
∴满分率为44÷50×100%＝88%．
故答案为：0.28；50；88%．
（2）由题意，设这名女生跑完800米所用时间为x秒，则这名男生跑完1000米所用时间（x+56）秒，
根据题意得：，
∴解得：x＝224．
经检验，x＝224是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．
∵224＜235，
∴这名女生能拿到满分．
答：这名女生能拿到满分．
（3）由题意，设女生所用时间为y秒，则男生所用时间为（1.3y+5）秒，
∴＝200（﹣）．
∵﹣＝＝＞0，
∴﹣＜0，即＜．
答：女生的平均速度更快．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用及频数分布表的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
23．若一个正整数m是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即m＝n（n+2），其中n为正整数，则称m为“进步数”，n为m的“进步起点”．例如，35＝5×7，则35是“进步数”，5为35的“进步起点”．
（1）a是“进步数”，它的“进步起点”为1，则a＝ 3 ；b是8的“进步起点”，则b＝ 2 ．
（2）把“进步数”x与“进步数”y的差记为E（x，y），其中x＞y，E（x，y）＞0，例如，24＝4×6，15＝3×5，则E（24，15）＝24﹣15＝9．若“进步数”x的“进步起点”为s，“进步数”y的“进步起点”为t，当E（x，y）＝16时，求的值．
（3）若m＝k2（k为整数），试探究m是否是“进步数”，请说明理由．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义列方程组求解；
（3）根据一元二次方程的根的判别式求解．
解：（1）∵a是“进步数”，它的“进步起点”为1，
∴a＝1×（1+2）＝3；
∵b是8的“进步起点”，
∴8＝b（b+2），
解得b1＝2，b2＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴b＝2．
故答案为：3，2；
（2）∵E（x，y）＝16，
∴x﹣y＝s（s+2）﹣t（t+2）＝16，
∴s2+2s﹣t2﹣2t＝s2﹣t2+2s﹣2t＝（s+t）（s﹣t）+2（s﹣t）＝（s﹣t）（s+t+2）＝16，
∵s、t均为正整数，
∴s﹣t、s+t+2均为正整数，且s+t+2＞s﹣t，
∵16＝1×16＝2×8，
∴或，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴＝2；
（3）m不是“进步数”，
理由：设n（n+2）＝k2，
即n2+2n﹣k2＝0，
∴Δ＝4+4k2＝4（1+k2）
∵1+k2不是完全平方数，
∴n2+2n﹣k2＝0没有整数解，
∴m不是“进步数”．
【点评】本题考查了一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
24．（12分）如图，等边中，是内部的一条射线，且，点关于的对称点为，连接，，，其中、的延长线分别交射线于点，．
（1）依题意补全图形；
（2）请猜想此时与的数量关系，并进行证明；
（3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意作图；
（2）由对称的性质得，再由等边三角形的性质证明是等腰三角形，从而可得到；
（3），理由如下，在射线上截取使，连接，证明，得到，证明是等边三角形，从而得到，即可证明结论．
【解答】（1）解：如图所示，根据题意补全图形；
（2）证明：，理由如下：
点与点关于对称，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（3）证明：，理由如下：
在射线上截取使，连接，
，，
，
由（2）得，
，
点与点关于对称，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查轴对称的作图，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形和等边三角形的性质等．
25．如图1，是等腰直角三角形，，点是轴上的一点，边交轴于点．
（1）若点，直接写出点的坐标 ；
（2）如图2，将沿轴负方向平移一定距离后，使边交轴于点．过点作轴且，连接．过点作轴交于点，连接，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，若点坐标为，点在第一象限内，连接，过点作交轴于点，在上截取，连接，过点作，交于点，试探究点在上的位置，并说明理由．
【分析】（1）过点作轴于点，再证明即可；
（2）在上截取，连接．先证明，得，，再证明，得即可；
（3）过点作交的延长线于点，连接．先证明是等腰直角三角形，得，，再证明，得，，设，则，推出，再证明 即可．
【解答】（1）解：如图1，过点作轴于点Ⅰ，
，是等腰直角三角形，，
，，，，
，，
，
，，
故的坐标为，
故答案为：；
（2）证明：在上截取，连接．如图2，
轴，轴，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
即，
是等腰直角三角形，
，
．
在和中，
，
，
，
；
（3）解：点为的中点．理由如下：
过点作交的延长线于点，连接．如图3，
，，
，
是等腰直角三角形，
，．
，，
，，
．
在和中，
，
，
，．
设，则，
，
，，
得，
在和中，
，
，
，即点为的中点．
【点评】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
成绩x（秒）
频数
频率
155≤x≤175
2
0.04
175＜x≤195
10
0.2
195＜x≤215
14
a
215＜x≤235
18
0.36
235＜x≤255
6
0.12
成绩x（秒）
频数
频率
155≤x≤175
2
0.04
175＜x≤195
10
0.2
195＜x≤215
14
a
215＜x≤235
18
0.36
235＜x≤255
6
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