2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一元二次方程的根是
A．B．C．，D．
2．一组数据：7，5，9，3，9，15，关于这组数据说法错误的是
A．极差是12B．众数是9C．中位数是7D．平均数是8
3．如图，是的外接圆，若，则的度数等于
A．B．C．D．
4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A．对称轴为直线B．最低点的坐标为
C．与轴有两个公共点D．与轴交点坐标为
5．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为
A．2B．3C．4D．5
6．下列四个命题中，正确的是
（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形；
（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形；
（3）各角相等的圆内接六边形是正六边形；
（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形．
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
二、填空题（共10个小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把正确答三、案直接填写在答题卡相应位置上）
7．若关于的方程有两个相等的实数根，则 ．
8．设，是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
9．已知点是线段的黄金分割点，．若．则 （结果保留根号）．
10．某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，若设平均每年增产的百分率为，则所列方程为 ．
11．把二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ．
12．如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ．
13．如图，在中，，，，以边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的面积是 ．
14．已知二次函数、、是常数，且，函数值与自变量的部分对应值如下表：
当时，自变量的取值范围是 ．
15．如图，在四边形中，、、分别与相切于、、三点，为的直径．若，，则的半径为 ．
16．如图，在正方形中，，点为上动点，点在的延长线上，且，、相交于点．当点从点运动到点时，点运动的路线长度为 ．
三、解答题（本人题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
18．（8分）某校从甲、乙两名同学中选拔一名代表学校参加《喜迎二十大奋进新征程》演讲比赛，如图是甲、乙两名学生在五次选拔比赛中的成绩情况：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1） ， ， ；
（2）根据五次选拔比赛的成绩，你认为选谁较为合适？请说明理由．
19．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球．
（1）第二次摸到1号小球的概率是 ；
（2）求两次摸出的小球标号和为3的概率．
20．（7分）如图，学校打算用长的篱笆围成一个一面靠墙且面积是的矩形生态园饲养小兔，求生态园的长和宽．
21．（8分）如图，二次函数图象顶点坐标为，与轴一个交点坐标为．
（1）该函数图象与轴的另一个交点坐标为 ；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）当时，的取值范围为 ．
22．（8分）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，交于点，．
（1）判断与是否相似，并说明理由．
（2）与相等吗？为什么？
23．（8分）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件，降价幅度不超过10元，那么每件应降价多少元，可获得最大利润？最大利润是多少？
24．（7分）在四边形中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）．
（1）如图①，连接，在边上作点，使得；
（2）如图②，在边上作点，使得．
25．（8分）如图，在的内接四边形中，，直径，垂足为点．
（1）当时，求的度数；
（2）当，时，求的长．
26．（8分）已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求的值；
（2）求证该二次函数的图象与轴的总有两个公共点；
（3）设该函数图象与轴的两个公共点分别为、．当时，直接写出的取值范围．
27．已知的半径为，是外一点，，点、在上，在中，．
（1）如图①，是的切线，当时，求证：是的切线；
（2）如图②，、分别交于点、，当点为中点时，求的长；
（3）线段的取值范围是 ．
2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．一元二次方程的根是
A．B．C．，D．
【分析】两边直接开平方得：，进而可得答案．
解：，
两边直接开平方得：，
则，．
故选：．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
2．一组数据：7，5，9，3，9，15，关于这组数据说法错误的是
A．极差是12B．众数是9C．中位数是7D．平均数是8
【分析】根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
解：，5，9，3，9，15这组数据的最大值是15最小值是3
这组数据的极差是：，
选项正确，不符合题意；
这组数据中9出现了2次，最多，
众数为9，
选项确，不符合题意；
，5，9，3，9，15这组数据的中位数是8
选项不正确，符合题意；
据的平均数是：
．
选项正确，不符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，要熟练掌握．
3．如图，是的外接圆，若，则的度数等于
A．B．C．D．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求得，由圆周角定理即可求出的度数．
解：连接，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A．对称轴为直线B．最低点的坐标为
C．与轴有两个公共点D．与轴交点坐标为
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴有两个公共点，顶点坐标为，则最低点的坐标为；其当时，，即与轴交点坐标为，与轴没有交点，
故选项、、说法错误，选项说法正确，
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
5．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
解：直线，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．
6．下列四个命题中，正确的是
（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形；
（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形；
（3）各角相等的圆内接六边形是正六边形；
（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形．
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
【分析】根据正多边形的性质一一判断即可．
解：（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的角度都是相等的，所以是正五边形，说法正确；
（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的边长都相等，所以是正五边形，说法正确；
（3）各角相等的圆内接六边形，因为圆内接六边形的角度相等，但各边不一定相等，所以不一定是正六边形，说法错误；
（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形，因为圆内接六边形的边长都是相等的，所以是正六边形，说法正确．
故选：．
【点评】本题考查正多边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（共10个小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把正确答三、案直接填写在答题卡相应位置上）
7．若关于的方程有两个相等的实数根，则 1 ．
【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
解：根据题意得△，
解得．
故答案为1．
【点评】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式△判断方程的根的情况．
8．设，是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【分析】根据根与系数的关系得出即可．
解：，是一元二次方程的两个根，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
9．已知点是线段的黄金分割点，．若．则 （结果保留根号）．
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则，
故答案为：．
【点评】本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的．
10．某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，若设平均每年增产的百分率为，则所列方程为 ．
【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），参照本题，如果设平均每年增产的百分率为，根据“粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨”，即可得出方程．
解：设平均每年增产的百分率为；
第一年粮食的产量为：；
第二年粮食的产量为：；
依题意，可列方程：；
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
11．把二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 ．
【分析】利用二次函数平移规律进而求出即可．
解：把二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是：．
故答案为．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12．如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ．
【分析】用黑色小正方形的个数除以小正方形的总个数可得．
解：共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个，
小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．
13．如图，在中，，，，以边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的面积是 ．
【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
解：由勾股定理易求得．
旋转后的圆锥母线为，长度为，底面半径为，长度为，
则底面圆的周长，即侧面展开图的弧长是．
圆锥的侧面积是：．
圆锥的底面积是，
圆锥的面积是．
【点评】本题从圆锥的形成过程中，考查其侧面积公式，明确为底面半径，为母线长．
14．已知二次函数、、是常数，且，函数值与自变量的部分对应值如下表：
当时，自变量的取值范围是 ．
【分析】根据题意确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质解答即可．
解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，开口向上，
当时的函数值与时的函数值相等，
当时，自变量的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数的图形和性质，根据表格确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标是解题的关键．
15．如图，在四边形中，、、分别与相切于、、三点，为的直径．若，，则的半径为 ．
【分析】过作于，由切线长定理得到，，由切线的性质定理得到直径，直径，推出四边形是矩形，得到，，求出，，由勾股定理求出，得到，即可得到圆的半径长．
解：过作于，
、、分别与相切于、、三点，
，，直径，直径，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
为的直径，
的半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，关键是由切线长定理得到的长，由矩形的性质得到的长，由勾股定理求出的长．
16．如图，在正方形中，，点为上动点，点在的延长线上，且，、相交于点．当点从点运动到点时，点运动的路线长度为 ．
【分析】先画出点运动的路线，过作，交于点，根据，可得，设，则，，再根据，可求得、，利用勾股定理可得．
解：当点在点处时，如图，
，
，，
，
当点运动到点时，如图，
，
所以点运动的路线，如图，
，
过作，交于点，即，
四边形为正方形，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
设 ，则，，
，，
，
，即，
解得：，
，，
在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的综合题，关键是借助相似三角形对应边成比例解决问题．
三、解答题（本人题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用配方法求解；
（2）利用公式法求解．
解：（1），
，
，
，
，；
（2），
，
，
，，，
△，
，
，．
【点评】本题考查解一元二次方程公式法，配方法，解题的关键是掌握公式法，配方法解一元二次方程．
18．（8分）某校从甲、乙两名同学中选拔一名代表学校参加《喜迎二十大奋进新征程》演讲比赛，如图是甲、乙两名学生在五次选拔比赛中的成绩情况：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1） 8 ， ， ；
（2）根据五次选拔比赛的成绩，你认为选谁较为合适？请说明理由．
【分析】（1）根据平均数，中位数，方差的定义解决问题即可；
（2）利用方差小成绩稳定判断即可．
解：（1）由题意，，
．
故答案为：8，8，0.8；
（2）从方差看，乙的成绩比较稳定，选乙比较合适．
【点评】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数，平均数，方差等知识，解题的关键是掌握中位数，平均数，方差的定义，属于中考常考题型．
19．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球．
（1）第二次摸到1号小球的概率是 ． ；
（2）求两次摸出的小球标号和为3的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球标号和为3的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由题意得，第二次摸到1号小球的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号和为3的结果有：，，共2种，
两次摸出的小球标号和为3的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（7分）如图，学校打算用长的篱笆围成一个一面靠墙且面积是的矩形生态园饲养小兔，求生态园的长和宽．
【分析】设生态园的宽为，则长为，根据生态园的面积是的矩形，列出一元二次方程，解方程即可．
解：设生态园的宽为，则长为，
由题意得：，
解得：，，
当时，；
当时，．
答：生态园的长为，宽为或长为，宽为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（8分）如图，二次函数图象顶点坐标为，与轴一个交点坐标为．
（1）该函数图象与轴的另一个交点坐标为 ；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）当时，的取值范围为 ．
【分析】（1）根据函数的对称性可得结论；
（2）用待定系数法可求解析式即可；
（3）根据函数的性质结合函数图象求的取值范围．
解：（1）二次函数的对称轴为直线，与轴一个交点坐标为，
二次函数图象与轴的另一交点为，
故答案为：；
（2）设二次函数的表达式为，
把代入解析式得：，
解得，
二次函数的表达式表达式为；
（3）抛物线开口向上，顶点坐标为，
抛物线的最小值为，
，
当时，，
当时，的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象的性质，用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象的性质是本题的关键．
22．（8分）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，交于点，．
（1）判断与是否相似，并说明理由．
（2）与相等吗？为什么？
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）由相似三角形的性质即可知道，由于，所以，从而可知
解：（1）是垂直平分线，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
．
【点评】本题考查相似三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高．
23．（8分）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件，降价幅度不超过10元，那么每件应降价多少元，可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】设每件应降价元，利润为元，则每天的销量为件，每件的利润为元；再根据“降价后每件的盈利降价后每天的销量”可列式配方后可求解，注意降价幅度不超过10元．
解：设每件应降价元，利润为元，
根据题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值是：，
答：每件应降价10元，可获得最大利润，最大利润是2380元．
【点评】此题考查了二次函数的应用，其中根据每件降价1元，则每天可多售5件表示出每件的利润及卖的件数是列函数解析式的关键．
24．（7分）在四边形中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）．
（1）如图①，连接，在边上作点，使得；
（2）如图②，在边上作点，使得．
【分析】（1）作的外接圆交于点，则根据圆周角定理得到；
（2）先作点关于的对称点，则，再作△的外接圆交于点，则根据圆周角定理得到，所以．
解：（1）如图①，作和的垂直平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆交于点，
则点为所作；
（2）如图②，作点关于的对称点，再作和的垂直平分线，它们相交于点，然后以点为圆心，为半径作圆交于点，
则点为所作．
【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
25．（8分）如图，在的内接四边形中，，直径，垂足为点．
（1）当时，求的度数；
（2）当，时，求的长．
【分析】（1）根据题意得到关于和的二元一次方程组求解即可，
（2）根据题意，利用勾股定理及两个三角形相似的判定定理求解即可．
解：（1）连接，，，
，
所以，
，
，
，，，在同一个圆上，
，
，
，
且，
，
为等腰三角形，
，
，
联立，
解得：，
．
（2）延长，过作，于，
设，
由（1）知，，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
的长为．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
26．（8分）已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求的值；
（2）求证该二次函数的图象与轴的总有两个公共点；
（3）设该函数图象与轴的两个公共点分别为、．当时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由二次函数图象经过，两点，进而代入计算得①，②，再由②①得，，从而求出的值；
（2）依据题意，由（1）得，，又，从而，最后，进而△，进而可以判断得解；
（3）依据题意，由该函数图象与轴的两个公共点分别为、，进而求得，又，再依据的值进行分类讨论即可判断得解．
解：（1）由题意，二次函数图象经过，两点，
①，②．
②①得，．
．
（2）由（1）得，，
又，
．
．
△
．
对于任意的都有，
△．
该二次函数的图象与轴的总有两个公共点．
（3）由题意，该函数图象与轴的两个公共点分别为、，
．
又，
．
①当时，
．
．
．
②当时，
．
．
综上，或．
【点评】本题主要考查了图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
27．已知的半径为，是外一点，，点、在上，在中，．
（1）如图①，是的切线，当时，求证：是的切线；
（2）如图②，、分别交于点、，当点为中点时，求的长；
（3）线段的取值范围是 ．
【分析】（1）连接，，证明得到即可得证；
（2）连接，，，先根据圆的有关性质求出，再证明，根据相似比求出即可解答；
（3）先确定的运动轨迹，当，，三点共线时，最大，求出此时的，当最小时最小，根据勾股定理求出此时的几颗解答．
解：（1）连接，，
是的切线，
，
在与中，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）连接，，，如图：
，点为中点，
，
是的直径，
设圆心为，
连接，
的半径为，
，
，，
，，
，
，即，
，
；
（3），
的运动轨迹为以为圆心，半径为的圆，如图：
，，三点共线时，最大，此时，
，，即，
当最小时，最小，如图：
此时，，共线，，
，
作于，则，
，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查与圆有关的性质和概念，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
0
1
2
3
4
10
2
1
2
5
学生
平均数（分
中位数（分
方差（分
甲
8
3.6
乙
8
0
1
2
3
4
10
2
1
2
5
学生
平均数（分
中位数（分
方差（分
甲
8
3.6
乙
8
1
2
3
1
2
3