2023-2024学年重庆市忠县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市忠县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列式子是分式的是
A．B．C．D．
2．（4分）下面四张图分别是四届亚运会的会徽，其中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
3．（4分）下面给出的三条长度的线段，能组成三角形的是
A．1，1，2B．2，2，4C．2，3，4D．3，2，7
4．（4分）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
5．（4分）下面给出的四组条件中，不能判定的是
A．，B．，
C．，D．，
6．（4分）在如图所示的中，点，在边上，的平分线于，的平分线于，若，，则的周长为
A．10B．12C．18D．20
7．（4分）如图，已知，，，．点到的距离为1，点到的距离为2，△△，△△为正整数）．则在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标是
A．B．C．D．
8．（4分）《四元玉鉴》是我国古代杰出数学家朱世杰的著作，该著作记载了“买椽问题”是：“四贯七百六十文，倩人去买几株椽．每株脚钱两文足，无钱准与两株椽”．大意是：请人代买一批椽，这批椽的费用为4760文．每株椽还必须给代买人劳务费2文，若不给钱恰好给代买人2株椽也可以．设4760文钱能买株椽（椽，建屋顶时支撑屋顶盖的材料），则可列方程为
A．B．C．D．
9．（4分）在如图所示的中，的垂直平分线交于点，垂足为，为上任意一点，若，，，则周长的最小值为
A．11B．13C．14D．15
10．（4分）对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于3个分式，那么“第一次操作”后得一串新分式为已知一串式子是，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第2次操作”后得到的一串新式子为：，；②“第3次操作”后共有17个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第2024次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是
A．4B．3C．2D．1
二、填空题：（8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）华为 60的5纳米麒麟芯片在性能、功耗、通信等多个方面都表现卓越，其5纳米即为0.000000005米．那么5纳米用科学记数法表示为 米．
12．（4分）若一个多边形的内角和为其外角和的6倍，则这个多边形的边数为 ．
13．（4分）若点与点关于轴对称，则 ．
14．（4分）在如图所示的中，若边上的点使得，则 ．
15．（4分）若关于的代数式是一个完全平方式，则实数 ．
16．（4分）如图，在中，是直角，，是上一点，过的中点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数之和为 ．
18．（4分）若一个四位正整数的千位数字与十位位数字之和与百位数字与个位位数字之和相等，我们就称该数是“吉祥数”，则最大的“吉祥数”是 ；若一个“吉祥数” 的千位数字与百位数字的平方差是9，且十位数字与个位数的和能被3整除．则这样的“吉祥数” 的最大值为 ．
三、解答题：（8个小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）完成下列各题：
（1）化简：；
（2）分解因式：．
20．如图所示，已知，，．
（1）用尺规完成作图，并在图中作出适当标识：作的平分线交于点，连接，设，，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程．
证明：平分，
① ．
，
② ．
．
③ ．
在和中，
，，④ ，
．
．
21．已知分式：．
（1）化简已知分式；
（2）若分式方程的解为，求已知分式的值．
22．如图，已知与都是等腰三角形，，，，为边上的一点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
23．重庆某中学甲、乙两学生到杭州参加移动机器人比赛，拟乘坐高铁，订票后发现重庆到杭州高铁的平均时速提高了，结果到杭州的时间比预计缩短了1小时20分钟，已知重庆到杭州的高铁全长为1600公里．
（1）求提速后重庆到杭州高铁的平均时速？
（2）在乘坐高铁时，甲同学先花1小时完成了全部模块任务检测的，乙同学也加入检测，两人合作3小时完成了余下的模块任务检测．若由乙同学独自检测，能否只花实际乘坐高铁时间的完成全部模块任务检测？
24．如图，点、分别在的边上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）求证：．
25．阅读下面材料，解决后面的问题：我们知道，如果实数，满足，那么．利用这种思路，对于，我们可以求出，的值．
解法是：，
．
即，
，．
．
根据这样的解法，完成：
（1）若，求的值；
（2）若等腰的两边长，满足，求该的周长；
（3）若正整数，，满足不等式，求的值．
26．如图，已知平分，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）已知，动点、同时从点出发，其中点以每秒4个单位长度沿射线方向匀速运动；动点以每秒3个单位长度沿射线方向匀速运动．设动点、的运动时间为秒．
①如图2，当的面积是面积的2倍时，求的值；
②如图3，如果，的面积为，当为等腰三角形时，求（写出所有的长）．
2023-2024学年重庆市忠县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下列式子是分式的是
A．B．C．D．
【分析】形如，是整式，中含有字母且的代数式即为分式，据此进行判断即可．
解：是分式，，，不是分式，
故选：．
【点评】本题考查分式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（4分）下面四张图分别是四届亚运会的会徽，其中是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（4分）下面给出的三条长度的线段，能组成三角形的是
A．1，1，2B．2，2，4C．2，3，4D．3，2，7
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
解：、，长度是1、1、2线段不能组成三角形，故不符合题意；
、，长度是2、2、4线段不能组成三角形，故不符合题意；
、，长度是2、3、4线段能组成三角形，故符合题意；
、，长度是3、2、7线段不能组成三角形，故不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4．（4分）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用同底数幂乘法法则，有理数的运算法则将各项计算后进行判断即可．
解：，则符合题意；
，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查整式及有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（4分）下面给出的四组条件中，不能判定的是
A．，B．，
C．，D．，
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：．由于，，，则，所以选项不符合题意；
．由于，，，则，所以选项不符合题意；
．由，，不能判断，所以选项符合题意；
．由于，，，则，所以选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．（4分）在如图所示的中，点，在边上，的平分线于，的平分线于，若，，则的周长为
A．10B．12C．18D．20
【分析】由角平分线的性质可得，，由垂直的定义可得，，所以，根据等角的余角相等可得，所以，由等腰三角形三线合一可得点是的中点，同理可得，点是的中点，则是的中位线，所以的周长．
解：平分，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
同理可得，点是的中点，
是的中位线，
，
，
的周长．
故选：．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，中位线的定义和性质等相关知识，得出点，点分别是和的中点是解题关键．
7．（4分）如图，已知，，，．点到的距离为1，点到的距离为2，△△，△△为正整数）．则在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件得到，，，，，，，，可得出规律，即可求解．
解：，，，
，，，，，，，
，
△△，△△为正整数），
点的坐标为，
故选：．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，找规律—图形的变化类，读懂题意，找到变化规律是解题的关键．
8．（4分）《四元玉鉴》是我国古代杰出数学家朱世杰的著作，该著作记载了“买椽问题”是：“四贯七百六十文，倩人去买几株椽．每株脚钱两文足，无钱准与两株椽”．大意是：请人代买一批椽，这批椽的费用为4760文．每株椽还必须给代买人劳务费2文，若不给钱恰好给代买人2株椽也可以．设4760文钱能买株椽（椽，建屋顶时支撑屋顶盖的材料），则可列方程为
A．B．C．D．
【分析】由“四贯七百六十文，倩人去买几株椽．每株脚钱两文足，无钱准与两株椽”列出关于的分式方程，此题得解．
解：根据题意，得．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（4分）在如图所示的中，的垂直平分线交于点，垂足为，为上任意一点，若，，，则周长的最小值为
A．11B．13C．14D．15
【分析】连接，利用线段垂直平分线的性质和三角形两边之和大于第三边得到周长的最小值为的长即可解决问题．
解：连接，
是的垂直平分线，为上任意一点，
，
，，
周长，
周长的最小值为14，
故选：．
【点评】本题考查轴对称最短路线问题，解答时涉及线段垂直平分线的性质，三角形两边之和大于第三边，能将两动线段长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．
10．（4分）对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于3个分式，那么“第一次操作”后得一串新分式为已知一串式子是，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第2次操作”后得到的一串新式子为：，；②“第3次操作”后共有17个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第2024次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是
A．4B．3C．2D．1
【分析】利用“一次操作”的规定进行操作，通过操作得到规律性的结论，依据发现的规律，对每个结论解析逐一判断即可．
解：第2次操作”后得到的一串新式子为：，0，共9个，
①的结论不正确；
“第一次操作”后得一串新分式有5个，“第2次操作”后得到的一串新式子有9个，第3次操作”后共有17个式子，
②的结论正确；
“第一次操作”后得一串新分式的和为，“第2次操作”后得到的一串新式子的和为，第3次操作”后得一串新分式的和为，
，
③的结论正确；
“第一次操作”后得一串新分式的和为，“第2次操作”后得到的一串新式子的和为，第3次操作”后得一串新分式的和为，
“第次操作”后得到的一串新式子的和为，
“第2024次操作”后所有式子之和为，
④的结论正确．
张三结论正确的个数是3个，
故选：．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，本题是操作性题目和规律性题目，依据题干要求正确操作并发现其中的规律是解题的关键．
二、填空题：（8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）华为 60的5纳米麒麟芯片在性能、功耗、通信等多个方面都表现卓越，其5纳米即为0.000000005米．那么5纳米用科学记数法表示为 米．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
解：0.000000005米米．
故答案为：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
12．（4分）若一个多边形的内角和为其外角和的6倍，则这个多边形的边数为 14 ．
【分析】根据多边形的内角和公式和外角和定理列出方程，然后求解即可．
解：设多边形的边数为，
由题意得，，
解得．
答：这个多边形的边数为14．
故答案为：14
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
13．（4分）若点与点关于轴对称，则 1 ．
【分析】直接利用关于轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数进而得出答案．
解：点与点关于轴对称，
，，
，
故．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
14．（4分）在如图所示的中，若边上的点使得，则 ．
【分析】根据等边对等角得出，，即可得出，即，由三角形内角和定理可知．
解：，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（4分）若关于的代数式是一个完全平方式，则实数 3或 ．
【分析】根据完全平方公式即可求得答案．
解：关于的代数式是一个完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：3或．
【点评】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16．（4分）如图，在中，是直角，，是上一点，过的中点，若，，则图中阴影部分的面积为 25 ．
【分析】由，得，，而，即可根据“”证明，得，则，因为，，所以，于是得到问题的答案．
解：，
，，
过的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
是直角，，
，
，
故答案为：25．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、梯形的面积公式等知识，证明是解题的关键．
17．（4分）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数之和为 ．
【分析】分别解不等式组和分式方程，根据题意确定的取值范围，求出所有符合条件的整数的值，将它们相加即可．
解：解不等式组，得，
不等式组有解，
，解得．
解分式方程，得，
为原分式方程的增根，
，且．
，
，
，
，
综上，，且，．
又为整数，
、、或．
当时，；
当时，（不符合题意，舍去）；
当时，，
当时，，
、或，
，
故答案为：．
【点评】本题考查分式方程的解等，熟练地解分式方程及一元一次不等式组是本题的关键．
18．（4分）若一个四位正整数的千位数字与十位位数字之和与百位数字与个位位数字之和相等，我们就称该数是“吉祥数”，则最大的“吉祥数”是 9999 ；若一个“吉祥数” 的千位数字与百位数字的平方差是9，且十位数字与个位数的和能被3整除．则这样的“吉祥数” 的最大值为 ．
【分析】由祥数的定义，即可得到最大的“吉祥数”；设这个吉祥数是，得到，由是平方数，即可求出，，由吉祥数的定义得到：，由能被3整除，得到，即可求出，，于是得到这个吉祥数是5478．
解：由吉祥数的定义，最大的“吉祥数”是9999；
设这个吉祥数是，
，
，
是平方数，
，，
由吉祥数的定义得到：，
，
能被3整除，
，
，，
这个吉祥数是5478．
故答案为：9999，5478．
【点评】本题考查因式分解的应用，关键是由吉祥数的定义来解决问题．
三、解答题：（8个小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）完成下列各题：
（1）化简：；
（2）分解因式：．
【分析】（1）先计算乘方、乘法，再计算加减；
（2）提公因式分解因式．
解：（1）；
；
（2）
．
【点评】本题考查整式是混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，学会提公因式分解因式．
20．如图所示，已知，，．
（1）用尺规完成作图，并在图中作出适当标识：作的平分线交于点，连接，设，，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程．
证明：平分，
① ．
，
② ．
．
③ ．
在和中，
，，④ ，
．
．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明．可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：平分，
．
，
．
．
．
在和中，
，，④，
．
．
故答案为：①，②，③，④．
【点评】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
21．已知分式：．
（1）化简已知分式；
（2）若分式方程的解为，求已知分式的值．
【分析】（1）利用平方差公式将括号内的分式通分后再化简；
（2）求出分式方程的解，将它代入（1）中的化简结果并计算即可．
解：（1）原式
；
（2）分式方程可化为，解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
原分式的值为．
【点评】本题考查分式方程的解和分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和解分式方程的方法是解题的关键．
22．如图，已知与都是等腰三角形，，，，为边上的一点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
【分析】（1）由，得，而，，即可根据“”证明；
（2）由，得，由全等三角形的性质得，，则，所以．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，，，
，，
，
，
的面积为10．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
23．重庆某中学甲、乙两学生到杭州参加移动机器人比赛，拟乘坐高铁，订票后发现重庆到杭州高铁的平均时速提高了，结果到杭州的时间比预计缩短了1小时20分钟，已知重庆到杭州的高铁全长为1600公里．
（1）求提速后重庆到杭州高铁的平均时速？
（2）在乘坐高铁时，甲同学先花1小时完成了全部模块任务检测的，乙同学也加入检测，两人合作3小时完成了余下的模块任务检测．若由乙同学独自检测，能否只花实际乘坐高铁时间的完成全部模块任务检测？
【分析】（1）设提速前该高铁从重庆到杭州的平均时速是公里小时，则提速后的平均时速是公里小时，根据到杭州的时间比预计缩短了1小时20分钟，列出分式方程，解方程即可；
（2）设乙同学独自完成全部模块任务检测需小时，根据甲同学先花1小时完成了全部模块任务检测的，乙同学也加入检测，两人合作3小时完成了余下的模块任务检测．列出分式方程，解方程，即可解决问题．
解：（1）设提速前该高铁从重庆到杭州的平均时速是公里小时，则提速后的平均时速是公里小时，1小时20分钟小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：提速后重庆到杭州高铁的平均时速是240公里小时；
（2）设乙同学独自完成全部模块任务检测需小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
乙不能只花乘坐高铁时间的完成全部模块任务检测，
答：乙不能只花乘坐高铁时间的完成全部模块任务检测．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．如图，点、分别在的边上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）求证：．
【分析】（1）由线段的垂直平分线的性质得，由平分线，于点，于点，得，即可根据“”证明，得；
（2）由，，，根据“”证明，得，而，则，所以；
（3）由，，得，而，且，所以，则．
【解答】（1）证明：垂直平分，
，
平分线，于点，于点，
，，
在和中，
，
，
．
（2）解：平分线，于点，于点，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
的长为4．
（3）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题重点考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明及是解题的关键．
25．阅读下面材料，解决后面的问题：我们知道，如果实数，满足，那么．利用这种思路，对于，我们可以求出，的值．
解法是：，
．
即，
，．
．
根据这样的解法，完成：
（1）若，求的值；
（2）若等腰的两边长，满足，求该的周长；
（3）若正整数，，满足不等式，求的值．
【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出、，进而求出；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出、，根据等腰三角形的概念解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性以及有理数的平方、分情况讨论求出、、，计算即可．
解：（1），
，
，
，，
；
（2），
，
，，
当是腰，是底时，的周长为：，
当是腰，是底时，的周长为：，
综上所述：的周长为10或11；
（3），
，
，
，，为正整数，
，即，
而或，即或1或3，
当时，必有，则，与题意不符，舍去，
当时，必有，则，与题意不符，舍去，
，，，
．
【点评】本题考查的是配方法的应用、等腰三角形的概念、三角形的三边关系，灵活运用配方法是解题的关键．
26．如图，已知平分，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）已知，动点、同时从点出发，其中点以每秒4个单位长度沿射线方向匀速运动；动点以每秒3个单位长度沿射线方向匀速运动．设动点、的运动时间为秒．
①如图2，当的面积是面积的2倍时，求的值；
②如图3，如果，的面积为，当为等腰三角形时，求（写出所有的长）．
【分析】（1）由角平分线的定义及等腰三角形的性质证出，则可得出结论；
（2）①由题意得，，点到两边的距离相等，证出，列出方程可得出答案；
②分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：平分，
，
又，
，
；
（2）解：由题意得，，点到两边的距离相等，
①要使 的面积是面积的2倍，则，
当时，，
即，
，
当时，，
即，
；
或；
②，的面积为，
底边上的高为，
，
，
要使为等腰三角形，分三种情况：
若，则；
若，则；
若，则；
此时，或2或，
或6或．
【点评】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．