2023-2024学年天津市宁河区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市宁河区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了下列式子是分式的是，在中，，则是，计算的结果是，下列各式能用平方差公式计算的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列式子是分式的是
A．B．C．D．
2．已知的三边长都是整数，且，，则的长可能是
A．4B．6C．8D．9
3．石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A．B．C．D．
5．在中，，则是
A ． 等腰三角形B ． 直角三角形
C ． 锐角三角形D ． 等腰直角三角形
6．计算的结果是
A．B．C．D．
7．下列各式能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
8．如图，，点在线段上，，则的度数是
A．B．C．D．
9．如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值
A．扩大4倍B．扩大2倍C．缩小2倍D．不变
10．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为
A．7B．14C．17D．20
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内部的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
12．若点和关于轴对称，则的值为
A．B．C．0D．1
二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上．
13．计算的结果等于 ．
14．要使分式的值为0，则的值为 ．
15．图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是 ．
16．如图，、、、是五边形的4个外角，若，则 ．
17．已知，，则 ．
18．如图，在等腰三角形中，，，垂直平分，交于点，交于点，是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小为 ．
三、解答题：共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．
19．（8分）分解因式
（1）；
（2）．
20．（8分）计算：
（1）；
（2）．
21．如图，已知在中，，，垂足为．过点作，连接并延长交于点，．
（1）求的大小；
（2）求证：；
（3）直接写出线段，，之间的数量关系 ．
22．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
23．解分式方程
（1）；
（2）．
24．元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的1.2倍．
（1）求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元；
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1300元，最多购进 袋甲种汤圆．
25．如图，已知线段，，分别以，为边作等边和等边，直线，交于点．
（1）如图1，点，，在一条直线上．
①求证：；
②的度数为 ．
（2）如图2，改变点位置，使点与点重合，求此时的度数．
2023-2024学年天津市宁河区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
1．下列式子是分式的是
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义解答即可．
解：选项、、中的代数式的分母中不含有未知数，不是分式；
选项中的代数式的分母中含有未知数，是分式．
故选：．
【点评】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键．
2．已知的三边长都是整数，且，，则的长可能是
A．4B．6C．8D．9
【分析】根据三角形三边关系得出的取值范围，进而解答即可．
解：的三边长都是整数，且，，
，
故或6或7，
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出的取值范围是解题关键．
3．石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000 000 000 ；
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．在中，，则是
A ． 等腰三角形B ． 直角三角形
C ． 锐角三角形D ． 等腰直角三角形
【分析】已知三角形三个内角的度数之比， 可以设三个内角的度数分别为，，，根据三角形的内角和等于，列方程求三个内角的度数， 从而确定三角形的形状 ．
解： 设三个内角的度数分别为，，，则
，
解得，
，
这个三角形是等腰直角三角形，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理， 熟知三角形内角和是是解答此题的关键 ．
6．计算的结果是
A．B．C．D．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
解：．
故选：．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，能正确运用幂的乘方和积的乘方进行计算是解此题的关键，注意：，．
7．下列各式能用平方差公式计算的是
A．B．C．D．
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
解：能用平方差公式计算的是．
故选：．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
8．如图，，点在线段上，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】依据，即可得到，，，再根据等腰三角形的性质，即可得到的度数，进而得出的度数．
解：，
，，，
，
中，，
，
故选：．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
9．如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值
A．扩大4倍B．扩大2倍C．缩小2倍D．不变
【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案．
解：把分式中的，都扩大2倍
则，
故分式的值扩大为原来的2倍．
故选：．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．
10．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为
A．7B．14C．17D．20
【分析】首先根据题意可得是的垂直平分线，即可得，又由的周长为10，求得的长，则可求得的周长．
解：在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．
是的垂直平分线，
，
的周长为10，
，
，
的周长为：．
故选：．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内部的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】延长ED交BC于点F，延长AD交BC于点G，根据三角形内角和定理可得∠EBC＝∠E＝∠EFB＝60°，从而可得△EBF是等边三角形，进而可得EF＝EB＝BF＝5，再利用线段的和差关系可得DF＝3，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BC＝2BG，∠AGC＝90°，从而可得∠GDF＝30°，再在Rt△DFG中，利用含30度角的直角三角形的性质可得GF＝DF＝1.5，从而可得BG＝3.5，最后进行计算即可解答．
解：延长ED交BC于点F，延长AD交BC于点G，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣∠EBC﹣∠E＝60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴EF＝EB＝BF＝5，
∵ED＝2，
∴DF＝EF﹣ED＝5﹣2＝3，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BC＝2BG，∠AGC＝90°，
∴∠GDF＝90°﹣∠EFB＝30°，
∴GF＝DF＝1.5，
∴BG＝BF﹣FG＝5﹣1.5＝3.5，
∴BC＝2BG＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．若点和关于轴对称，则的值为
A．B．C．0D．1
【分析】根据“关于轴对称的两点，其横坐标相等，纵坐标互为相反数”进行计算即可．
解：点和关于轴对称，
，，
解得，，
，
故选：．
【点评】本题考查关于轴对称的点的坐标，掌握“关于轴对称的两点，其横坐标相等，纵坐标互为相反数”是正确解答的关键．
二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上．
13．计算的结果等于 ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
解：原式．
故答案为：．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
14．要使分式的值为0，则的值为 ．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的值．
解：由分式的值为零的条件得且，
由，得，
故答案为．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
15．图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是 ．
【分析】利用全等三角形的性质即可解决问题．
解：如图，
由题意：，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，、、、是五边形的4个外角，若，则 ．
【分析】先根据邻补角的定义得出与相邻的外角的度数，再根据多边形的外角和定理即可求解．
解：如图，，，
．
，
故答案为．
【点评】本题主要考查了多边形内角与外角的关系及多边形的外角和定理，比较简单．
17．已知，，则 12 ．
【分析】根据完全平方公式变形求解即可．
解：，，
，
．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
18．如图，在等腰三角形中，，，垂直平分，交于点，交于点，是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小为 5 ．
【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值为3，由此即可解决问题．
解：如图，连接．
，，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
的最小值为3，
的周长最小值为，
故答案为：5．
【点评】本题考查轴对称最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题：共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．
19．（8分）分解因式
（1）；
（2）．
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，解答本题的关键是明确一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】根据整式的除法和乘法计算即可．
解：（1）；
；
（2）．
．
【点评】此题考查整式的计算，关键是根据整式的除法和乘法解答．
21．如图，已知在中，，，垂足为．过点作，连接并延长交于点，．
（1）求的大小；
（2）求证：；
（3）直接写出线段，，之间的数量关系 ．
【分析】（1）由平行线的性质及等腰三角形的性质可得出答案；
（2）证出，，．根据可证明；
（3）根据全等三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）解：，，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，．
在与中，
，
．
（3）解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
22．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【分析】（1）先算乘方，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
解：（1）
；
（2）
，
当，时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
23．解分式方程
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程两边乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1），
方程两边乘，得，
解这个方程得：，
，
，
，
检验：当时，．
所以原分式方程的解为；
（2），
方程两边乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
24．元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．甲种汤圆的单价是乙种汤圆单价的1.2倍．
（1）求甲、乙两种汤圆的单价分别是多少元；
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种汤圆共120袋，若总金额不超过1300元，最多购进 50 袋甲种汤圆．
【分析】（1）设乙种汤圆的单价是元，则甲种汤圆的单价是元，根据购进的甲种汤圆比乙种汤圆多20袋．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进袋甲种汤圆，则购进袋乙种汤圆，根据总金额不超过1300元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设乙种汤圆的单价是元，则甲种汤圆的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种汤圆的单价是12元，乙种汤圆的单价是10元；
（2）设购进袋甲种汤圆，则购进袋乙种汤圆，
由题意得：，
解得：，
即最多购进50袋甲种汤圆，
故答案为：50．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．如图，已知线段，，分别以，为边作等边和等边，直线，交于点．
（1）如图1，点，，在一条直线上．
①求证：；
②的度数为 ．
（2）如图2，改变点位置，使点与点重合，求此时的度数．
【分析】（1）①证出．由可证出结论；
②由全等三角形的性质可得出答案；
（2）证出．由全等三角形的性质得出．则可得出答案．
【解答】（1）①证明：与为等边三角形，
，，．
．
在和中，
，
．
②解：，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）解：与为等边三角形，
，，．
．
．
．
又，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键．