2023-2024学年四川省成都市龙泉驿区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市龙泉驿区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）9的算术平方根是
A．3B．C．D．
2．（4分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A．B．C．D．
3．（4分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
4．（4分）下列各组数为勾股数的是
A．6，12，13B．5，12，13C．8，15，16D．3，4，7
5．（4分）为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，深圳某学校积极推进学生综合素质评价改革，小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为9，8，10，8，7，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为
A．8，8，8B．7，8，7.8C．8，8，8.7D．8，8，8.4
6．（4分）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问：几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢？设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是
A．B．
C．D．
7．（4分）已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是
A．B．C．D．不能确定
8．（4分）关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与x轴的交点是（0，2）
C．将一次函数的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为
D．点（x1，y1）和（x2，y2）在一次函数的图象上，若x1＜x2，则y1＞y2
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）比较大小： ．（填“”，“ ”或“”
10．（4分）若，化简二次根式 ．
11．（4分）在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与 （从平均数、众数、中位数、方差中选择）有关．
12．（4分）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x+b的图象交于点A（﹣3，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ，
13．（4分）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点，若，则的度数是 ．
三、解答题（共6个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：；
（2）计算：．
15．（1）解方利组：；
（2）解方程组：．
16．（8分）如图，，，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
17．漏刻是中国古代的一种计时工具．中国最早的漏刻出现在夏朝时期，在宋朝时期，中国漏刻的发展达到了巅峰，其精确度和稳定性得到了极大的提高．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误．
（1）你认为的值记录错误的数据是 ；
（2）利用正确的数据确定函数表达式；
（3）当小棍露出部分为8厘米时，对应的时间为多少？
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）点是线段上一动点，若直线把的面积分成的两部分，请求点的坐标；
（3）已知为的中点，点是轴上一点，当是等腰三角形时，求出点的坐标．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）若一次函数的图象过点，则 ．
20．（4分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿着直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长为 ．
21．（4分）剪纸是各种民俗活动的重要组成部分，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，其中点坐标是，现将图形进行变换，第一次关于轴对称，第二次关于轴对称，第三次关于轴对称，第四次关于轴对称，以此类推，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为 ．
22．（4分）若关于，的方程组和的解相同，则 ．
23．（4分）如图，在中，，，为外一点，连接，，，发现，且，则 ．
二、解答题（共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．随着新能源电动车的逐渐普及，人们在购车时经常会面临一个问题：应该选择传统燃油车还是新能源电动车呢？某校的项目式学习小组开展了《选电动车还是燃油车呢？》的研究，发现用车费用包含购车费用和耗能费用，其中A型电动车每百公里耗电15度电，每度电0.6元，B型燃油车每百公里耗油8L，每升油8块钱．
（1）根据提供的信息，填写下列表格：
（2）分别求出A型电动车y1（万元），B型燃油车用车费用y2（万元）与行驶公里数x（万公里）之间的函数关系式；在同一坐标系中画出y1，y2的草图并给出你的选择结论；
（3）小明爸爸计划购买一辆A型电动车进行网约车工作，相关法律规定网约车限制经营年限为8年或行驶公里数不超过60万公里．于是项目组同学继续调查：网约车每年平均行程10万公里，A型电动车每年还需要保险费5000元，每1万公里保养费120元．请你帮小明爸爸计算购买A型电动车进行网约车工作共需投入多少费用．
25．【基础模型】：如图，等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明，我们将这个模型称为“形图”．
【模型应用】：
（1）如图1所示，已知，，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为 ；
【模型构建】：
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点．
①请求出直线的函数解析式；
②为轴上一点，连接，若，求坐标．
26．在中，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到对应的△，与所在的直线交于点．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）若，．
①如图2，当与重合时，求的长；
②连接，当△是以为直角边的直角三角形时，求的长．
2023-2024学年四川省成都市龙泉驿区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）9的算术平方根是
A．3B．C．D．
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
解：9的算术平方根是3，
故选：．
【点评】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．（4分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
解：点关于原点对称的点的坐标是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
3．（4分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则逐个判断即可．
解：．和不能合并，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
4．（4分）下列各组数为勾股数的是
A．6，12，13B．5，12，13C．8，15，16D．3，4，7
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可．
解：．，不是勾股数；
．，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
．，不是勾股数；
．，不是勾股数．
故选：．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
5．（4分）为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，深圳某学校积极推进学生综合素质评价改革，小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为9，8，10，8，7，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为
A．8，8，8B．7，8，7.8C．8，8，8.7D．8，8，8.4
【分析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，8，9，10，
出现次数最多的数是8，所以众数为8，
位于中间位置的数是8，所以中位数是8，
平均数为．
故选：．
【点评】本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的定义是关键．
6．（4分）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问：几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢？设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是
A．B．
C．D．
【分析】可将此题看作是工作效率类的应用题，根据效率时间总量列方程即可．
解：由题可知，甲的效率为，乙的效率为，
设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，根据题意列方程组：
．
故选：．
【点评】此题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是找到数据之间的数量关系列方程．
7．（4分）已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是
A．B．C．D．不能确定
【分析】根据一次函数的性质，可知一次函数中，随的增大而增大，然后即可判断，的大小关系．
解：一次函数，
该函数随的增大而增大，
点，在一次函数的图象上，，
，
故选：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（4分）关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与x轴的交点是（0，2）
C．将一次函数的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为
D．点（x1，y1）和（x2，y2）在一次函数的图象上，若x1＜x2，则y1＞y2
【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项判断即可作答．
解：A．k＝0，b＝2＞0，一次函数图象经过第一、二、三象限，故本项说法错误；
B．图象与y轴的交点是（0，2），故本项说法错误；
C．将一次函数的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故本项说法正确；
D．点（x1，y1）和（x2，y2）在一次函数y＝x+2的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2，故本项原说法错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）比较大小： ．（填“”，“ ”或“”
【分析】先分别计算与，然后进行比较即可解答．
解：，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
10．（4分）若，化简二次根式 ．
【分析】先确定的符号，再运用二次根式的性质进行化简．
解：，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了运用二次根式性质化简二次根式的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
11．（4分）在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与 中位数 （从平均数、众数、中位数、方差中选择）有关．
【分析】根据中位数的意义分析．
解：在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与中位数有关．
故答案为：中位数．
【点评】此题主要考查了统计量的选择，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，属于基础题，难度不大．
12．（4分）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x+b的图象交于点A（﹣3，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ，
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到结论．
解：∵一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x+b的图象交于点A（﹣3，2），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13．（4分）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点，若，则的度数是 ．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
解：由作图知，平分，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图基本作图，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
三、解答题（共6个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）先根据二次根式的性质，绝对值和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据完全平方公式，平方差公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
15．（1）解方利组：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
解：（1），
由①②得：，
解得：，
将代入①得：．
解得：，
原方程组解为；
（2），
由②①得：，
解得：，
将 代入①得：，
解得：，
原方程组得解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
16．（8分）如图，，，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）结论：．证明，即可；
（2）求出，，可得结论．
解：（1）结论：．
理由：，
，
，
，
，
节，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质平行线的性质．
17．漏刻是中国古代的一种计时工具．中国最早的漏刻出现在夏朝时期，在宋朝时期，中国漏刻的发展达到了巅峰，其精确度和稳定性得到了极大的提高．漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误．
（1）你认为的值记录错误的数据是 3.6 ；
（2）利用正确的数据确定函数表达式；
（3）当小棍露出部分为8厘米时，对应的时间为多少？
【分析】（1）根据表格中数据分析得出结论；
（2）利用正确的数据，由待定系数法求函数解析式；
（3）把代入（2）中解析式，求出即可．
解：（1），，，，
的值记录错误的数据是3.6，
故答案为：3.6；
（2）设，
，，，，
则，
解得，
与的解析式为；
（3）将代入函数解析式得：，
解得．
答：对应的时间是100分钟．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点，．
（1）求直线的解析式；
（2）点是线段上一动点，若直线把的面积分成的两部分，请求点的坐标；
（3）已知为的中点，点是轴上一点，当是等腰三角形时，求出点的坐标．
【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，结合得点的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出，设，分两种情况讨论：①；②时，分别求得的值，进而求得点坐标；
（3）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
解：（1）由得，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
（2），，，
，
，
设，，
①当时，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
；
综上，点的坐标为或；
（3）为中点，，，
，
，
．
若是等腰三角形，可分三种情况：
①当时，过点作轴于，
，
轴，，
，
点的坐标为；
②当时，
，，
点的坐标为，或，；
③当时，设，
，
，
解得：，
点的坐标为，，
综上所述：点的坐标为或，或，或，．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质是解题的关键．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）若一次函数的图象过点，则 ．
【分析】根据一次函数的图象过点，可得，再整体代入求解即可．
解：一次函数的图象过点，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
20．（4分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿着直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长为 3 ．
【分析】由折叠的性质知，．根据题意在中运用勾股定理求．
解：由勾股定理得，．
由折叠的性质知，，，．
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：．
【点评】本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．
21．（4分）剪纸是各种民俗活动的重要组成部分，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，其中点坐标是，现将图形进行变换，第一次关于轴对称，第二次关于轴对称，第三次关于轴对称，第四次关于轴对称，以此类推，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为 ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
解：坐标是，
第一次关于轴对称，第二次关于轴对称，第三次关于轴对称，第四次关于轴对称．
，
发现4次应该循环，
，
经过第2023次变换后点的对应点的坐标与相同，坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查几何变换的类型，点的坐标，轴对称等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，寻找规律解决问题．
22．（4分）若关于，的方程组和的解相同，则 2 ．
【分析】根据题意联立方程和，求出、的值，再代入其它两个方程得到关于、的方程组，直接相加即可求出的值．
解：关于，的方程组和的解相同，
，
①②得，，
解得，
把代入②得，，
，
将其代入其它两个方程得，
③④得，，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题时正确理解题意，得到关于、的方程组是关键．
23．（4分）如图，在中，，，为外一点，连接，，，发现，且，则 6 ．
【分析】如图，过点作，使，连接，，证明，可得，然后在中根据勾股定理求出即可求解．
解：如图，过点作，使，连接、
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
，，
．
，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、解答题（共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．随着新能源电动车的逐渐普及，人们在购车时经常会面临一个问题：应该选择传统燃油车还是新能源电动车呢？某校的项目式学习小组开展了《选电动车还是燃油车呢？》的研究，发现用车费用包含购车费用和耗能费用，其中A型电动车每百公里耗电15度电，每度电0.6元，B型燃油车每百公里耗油8L，每升油8块钱．
（1）根据提供的信息，填写下列表格：
（2）分别求出A型电动车y1（万元），B型燃油车用车费用y2（万元）与行驶公里数x（万公里）之间的函数关系式；在同一坐标系中画出y1，y2的草图并给出你的选择结论；
（3）小明爸爸计划购买一辆A型电动车进行网约车工作，相关法律规定网约车限制经营年限为8年或行驶公里数不超过60万公里．于是项目组同学继续调查：网约车每年平均行程10万公里，A型电动车每年还需要保险费5000元，每1万公里保养费120元．请你帮小明爸爸计算购买A型电动车进行网约车工作共需投入多少费用．
【分析】（1）根据题意得出结论；
（2）写出函数解析式，再画出草图，再令y1＝y2求出x，然后结合图象得出结论；
（3）根据投入的费用＝各种费用之和计算即可．
解：（1）根据题意得：A型电动车每每公里耗能费用＝0.09（元），
B型电动车每每公里耗能费用＝0.64（元），
故答案为：0.09，0.64；
（2）根据题意得：y1＝0.09x+13.5，y2＝0.64x+8，
图象如图所示：
令0.09x+13.5＝0.64x+8，
解得：x＝10，
①当x＜10时，B型燃油车用车费用更低，选择B燃油车；
②当x＝10时，B型燃油车用车费用与A型电动车用车费用一样；
③当x＞10时，A型电动车用车费用更低，选择A型电动车；
（3）60×0.09+13.5+0.5×6+60×0.12＝29.1（万元），
答：购买A型电动车进行网约车工作共需投入29.1万元．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式，画出函数草图．
25．【基础模型】：如图，等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明，我们将这个模型称为“形图”．
【模型应用】：
（1）如图1所示，已知，，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为 ；
【模型构建】：
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点．
①请求出直线的函数解析式；
②为轴上一点，连接，若，求坐标．
【分析】（1）过作轴于，证，得，，即可得出答案；
（2）①设，由直线与轴，轴分别交于点，，可得，，利用面积法可得，则，利用待定系数法即可求解；
②分两种情况：当点在左侧时，当点在右侧时，过点作交于，过作轴于，根据全等三角形的判定和性质求出的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解．
解：（1）过作轴于，如图1，
则，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）①设，
直线与轴，轴分别交于点，，
，，
，，，，，
，
，解得，
，
设直线的函数解析式为，
，解得，
直线的函数解析式为；
②分两种情况：
当点在左侧时，过点作交于，过作轴于，
同（1）得，
，，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
令，则，解得，
的坐标为；
当点在右侧时，过点作交于，过作轴于，
同理得，
，，
，
点的坐标为，
同理得直线的解析式为，
令，则，解得，
的坐标为，；
综上所述，的坐标为或，．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26．在中，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到对应的△，与所在的直线交于点．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）若，．
①如图2，当与重合时，求的长；
②连接，当△是以为直角边的直角三角形时，求的长．
【分析】（1）由折叠的性质得出，证出，则可得出结论；
（2）①由直角三角形的性质可得出答案；
②分两种情况，当时，当时，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：沿直线翻折得到对应的，
，
，，
，，
，
；
（2）解：①，，
，
，，
，
；
②当时，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
；
当时，
过作于，
，
，
在△中，由勾股定理可得：，
，
设，则，
在△中，由勾股定理可得：，
，
解得．
．
综上所述，的长为或．
【点评】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（分钟）
10
20
30
40
（厘米）
2.6
3.2
3.6
4.4
购车费用（万元）
每公里耗能费用（元）
A型电动车
13.5

B型燃油车
8

（分钟）
10
20
30
40
（厘米）
2.6
3.2
3.6
4.4
购车费用（万元）
每公里耗能费用（元）
A型电动车
13.5
0.09
B型燃油车
8
0.64