2023-2024学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关于的方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列图形是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.某班第一小组名同学的毕业升学体育测试成绩满分分依次为：，，，，，，，这组数据的中位数和众数分别是( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
4.如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径的长是，净高为，则此路面宽为．( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，，分别是的边，上的点，且，交于点：：，则的值为( )
A.
B.
C.
D. 以上答案都不对
6.若关于一元二次方程的根为，，则下面成立的是( )
A. B. C. D.
7.如图，正比例函数和反比例函数的图象交于、两点，若，则的取值范围是为( )
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
8.如图，的直径过弦的中点，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积接缝忽略不计是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，抛物线与直线交于、两点点在点的左侧，动点从点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点，再到达轴上的某点，最后运动到点若使点运动的总路径最短，则点运动的总路径的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.抛物线的顶点坐标为______．
12.如图，在中，，：：，，则的长是______．
13.小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做实验进行研究，得到如下的数据：
请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是______ ．
14.若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是______ ．
15.某药品原价是元，经连续两次降价后，价格变为元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是______．
16.如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论：
；
是等腰直角三角形；
；
；
正确的有______ ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，以原点为位似中心，在第三象限画出，使它与的相似比是．
19.本小题分
一天晚上，小明帮助妈妈清洗两只有盖茶杯，一只为黑色，另一只为灰色，突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起求颜色搭配正确概率的是多少．
20.本小题分
学校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的人行道如图，要使种植面积为：，人行道的宽应是多少米？
21.本小题分
如图，是的直径，为上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，，求证：直线是的切线．
22.本小题分
如图，二次函数图象经过点、、．
求此二次函数的解析式；
观察函数图象，试直接写出时，的取值范围．
23.本小题分
如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．
求证：；
这个正方形零件的边长是多少？
24.本小题分
已知点在函数的图象上．
若，求的值；
抛物线与轴交于两点，在的左边，与轴交于点，记抛物线的顶点为．
为何值时，点到轴的距离为；
若，平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点的坐标不用说明理由．
25.本小题分
阅读：如图，点是外一点，点是上一动点若的半径为，长度为，则根据：，得到点到点的最短距离为：．
解决问题：
如图，已知正方形的边长为，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点．
证明：≌；
求点到点的最短距离．
如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点从点出发，沿运动到，点同时从点以相同的速度出发，沿运动到，连接、，交点为，是轴上一点，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：只含有一个未知数一元，并且未知数项的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程．
故选：．
根据一元二次方程的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】
【解析】解：选项A、、的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是，这组数据的中位数是．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，可能会求得错误答案．
4.【答案】
【解析】解：圆的半径的长是，为，
，
由勾股定理得：，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，再根据垂径定理求出．
本题考查的是勾股定理、垂径定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
5.【答案】
【解析】解：，
∽，
．
故选：．
利用相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：关于一元二次方程的根为，，
，，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，
结合图象可得：
当时，；当时，；
当时，；当时，．
综上所述：若，则或．
故选B．
先考虑临界位置：当或时由于，故可分、、、四种情况讨论，然后只需结合图象就可解决问题．
本题考查了有关反比例函数与一次函数交点问题，通过数形结合得到自变量的取值范围，是很重要的一种解题方法，应熟练掌握这种方法．
8.【答案】
【解析】解：的直径过弦的中点，
垂径定理，
等弧所对的圆周角是圆心角的一半，
．
故选：．
欲求，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
9.【答案】
【解析】解：由图知，底面直径为，则底面周长为，母线长为，所以侧面展开图的面积．
故选：．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
10.【答案】
【解析】解：如图
抛物线与直线交于、两点，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
抛物线对称轴方程为：
作点关于抛物线的对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，
连接，
则直线与对称轴直线的交点是，与轴的交点是，
，，
点运动的最短总路径是，
延长，相交于，
，，
．
点运动的总路径的长为．
故选A．
首先根据题意求得点与的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点关于抛物线的对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，则直线与直线的交点是，与轴的交点是，而且易得即是所求的长度．
此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．
11.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向上，当时，，
顶点坐标是：．
故答案为：．
利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标．
此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标，根据题意正确的将二次函数进行配方是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．
由平行可得对应线段成比例，即：：，再把数值代入可求得．
【解答】
解：，
，
：：，，
，
解得．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：因为表中“掷这枚图钉，针尖朝上”的频率在左右波动，
所以估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是．
故答案为：．
由于表中“掷这枚图钉，针尖朝上”的频率在左右波动，则根据频率估计概率可得到“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
14.【答案】
【解析】解：，
反比例函数的图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小．
，
点、位于第三象限，位于第一象限，
，，
．
故答案为：．
先判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设每次降价的百分率为，第二次降价后价格变为元，
根据题意得，
解得，，
因为不合题意，故舍去，
所以，
即每次降价的百分率为．
故答案为．
本题可设每次降价的百分率为，第一次降价后价格变为元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为，即元，从而列出方程，即可求出答案．
本题考查一元二次方程的应用．
16.【答案】
【解析】解：如图，延长到点，使，连接，
是的直径，
，
弦平分圆周角，
，
，，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，故正确；
四边形是的内接四边形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，故正确．
正确的结论是．
故答案为：．
延长到点，使，连接，根据直径所对圆周角是直角以及角平分线定义和圆周角定理可以判断；利用证明≌，可得，，证明是等腰直角三角形，所以，进而可以判断．
本题考查了圆周角定理及推论，圆内接四边形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理的灵活运用是本题的关键．
17.【答案】解：，
，
或，
，．
【解析】先整理得到，再把方程左边分解得，原方程可化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
18.【答案】解：如图，即为所求．

【解析】利用位似变换的性质分别作出，的对应点，即可．
本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
19.【答案】解：列表如下：
共有种等可能的结果，其中颜色搭配正确的结果有种，
颜色搭配正确的概率为．
【解析】列表可得出所有等可能的结果数以及颜色搭配正确的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：设道路的宽为，依题意有

整理，得．
，
，不合题意，舍去
答：小道的宽应是．
【解析】设道路的宽为，将块草地平移为一个长方形，长为，宽为根据长方形面积公式即可列出一元二次方程，求解即可．
本题应熟记长方形的面积公式．另外求出块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
21.【答案】证明：，，
，
在与中，
，
≌，
，
连接，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线．
【解析】根据全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，以及切线的判定定理即可得到结论．
本题主要考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：把、、分别代入得，
解得，
此二次函数的解析式为；
抛物线开口向上，
而、，
当时，的取值范围为或．
【解析】先把点、、的坐标分别代入中得到关于、、的方程组，然后解方程组即可；
利用函数图象，或时，．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
23.【答案】证明：四边形是正方形，
，
．
解：设这个正方形零件的边长是，
，
，
，
解得：，
答：这个正方形零件的边长是．
【解析】根据四边形是正方形，可得，利用平行线的性质得证；
设这个正方形零件的边长是，根据，求出这个正方形零件的边长是多少即可．
此题主要考查了正方形的特征和应用，以及三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
24.【答案】解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
当时，；
，
则抛物线的对称轴为直线，
此时，，
即，
解得：，
，
则或，
解得：或不合题意的值已舍去，
存在，理由：
联立和得：，
解得：舍去或，
则，即点，
故设点，点，
由抛物线的表达式知，点；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，解得：，
即点；
当、为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
则点的坐标为：或，
综上，点的坐标为：或或．
【解析】将点的坐标代入反比例函数表达式得：，即可求解；
由抛物线顶点坐标公式即可求解；
当为对角线时，由中点坐标公式列出等式即可求解；当、为对角线时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到反比例函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、平行四边形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
25.【答案】证明：由题可知，、
，，
≌；
解：≌，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上，
取的中点，连接、，，
，
当、、三点共线时，有最小值为，
，，
，
的最短距离为；
解：由题可知，，
是等边三角形，
，，
≌，
，
，
、、三点共圆，
作的外接圆，连接，，，，
当、、三点共线时，有最小值为，
当轴时，有最小值，
点，是等边三角形，
，
连接交于点，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【解析】利用证明三角形全等即可；
根据条件确定点在以为直径的圆上，取的中点，连接、，，当、、三点共线时，有最小值为；
先证明≌，可得，由此可知、、三点共圆，作的外接圆，连接，，，，当、、三点共线时，有最小值为，当轴时，有最小值，连接交于点，则垂直平分，求出，即可求的最小值为．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，三角形全等的判定及性质，等边三角形的性质，定角定弦作圆是解题的关键．掷图钉的次数
针尖朝上的频率
黑色杯盖
灰色杯盖
黑色茶杯

黑色茶杯
，
黑色杯盖
黑色茶杯
，
灰色杯盖
灰色茶杯
灰色茶杯
，
黑色杯盖
灰色茶杯
，
灰色杯盖