（人教A版2019必修第二册)高一数学分层训练AB卷 第八章立体几何初步知识详解-(原卷版+解析)

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0第八章立体几何初步知识详解一．基本立体图形多面体一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.旋转体一条平面曲线，包括直线，绕它所在平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫做旋转面.封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.棱柱一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形，相邻两边的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱.一般地，我们把侧面垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧面不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的，直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱，也叫做平行六面体.棱锥一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，相邻两边的公共边叫做棱锥的侧棱，这侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.棱锥，用表示顶点和各面各顶点的字母来表示，其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.棱台用一个平行于圆锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面面，类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱和顶点.圆柱与矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面，叫做圆柱的底面，平行的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，平行于轴的边叫做圆柱侧面的母线.圆锥与圆柱一样，圆锥也可以看作是由平面图形旋转而成的.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.圆锥也有底面、侧面和母线.圆锥也用表示它的轴的字母表示.8.圆台与棱台相似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线.9.球半圆与它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，连接球面上两点，并且经过圆心的线段叫做球的直径.球常用表示全新的字母来表示，记作球O.棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体，其中棱柱与圆柱统称为主体，圆锥与棱锥统称为锥体，棱台与圆台，统称为台体.简单组合体除原柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体.简单组合体的构成有两种基本形式，一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.题型一：旋转体的有关概念例1.1.用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（       ）A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．三角形2.下列说法中正确的是( )A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行        B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高          D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形3.．已有OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．(1)若，求圆M的面积；(2)若圆M的面积为，求OA．举一反三1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（       ）A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥2．下面多面体中，是棱柱的有( )A．1个       B．2个       C．3个       D．4个3．已知一个圆台的上、下底面的半径分别为1cm，2cm，高为3cm，求该圆台的母线长.4.已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高.二.空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系，使=450（或1350）③画对应图形在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：例2．某水平放置的用斜二测画法得到如图所示的直观图，若，则中（ ）A． B．C． D．举一反三1．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．2．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（ ）A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是三．简单几何体的表面积与体积1．柱、锥、台和球的侧面积和体积2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．[难点正本　疑点清源]1．几何体的侧面积和全面积几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．2．等积法等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．题型一：棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积例3（1）．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？（2）．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.举一反三1．已知四面体S­ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积．2．底面是菱形的直四棱柱中，体对角线长分别为9和15，高是5，求该直四楼柱的侧面积.(本题需自己作图并指明长度，无图不得分)题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积例.4.如图为正四棱锥P - ABCD，PO⊥平面ABCD，BC = 3，PO = 2.(1)求正四棱锥P - ABCD的体积；(2)求正四棱锥P - ABCD的表面积.举一反三1．如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂直于底面，，，，求该几何体的体积.2．某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？题型三：圆柱、圆锥、圆台台的侧面积与表面积例5.已知某圆柱底面半径和母线长都是.(1)求出该圆柱的表面积和体积；(2)若圆锥与该圆柱底面半径､高都相等，求圆锥的侧面积.举一反三1．在底面半径为2高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1∶4，求圆柱的表面积．2．圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)题型四：圆柱、圆锥、圆台台的体积例6：1．如图，已知圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形．试求：（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．13．设圆台的高为3，在轴截面中母线与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积及体积.举一反三1．某部门建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，该部门拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是底面直径比原来增加4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？为什么？题型五：球的体积与表面积例7：1．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积（其中）及其体积．举一反三1．有一种空心钢球，质量为，测得外径为，求它的内径（钢的密度为，结果精确到）．2．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现：图中圆柱的体积是球体积的，圆柱的表面积也是球表面积的．他的发现是否正确？试说明理由．四．空间点、直线、平面之间的位置关系一. 平面基本性质即三条公理公理2的三条推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（既不平行，也不相交）1 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线.2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交.3.空间两条异面直线的画法.4．异面直线所成的角：将两条异面直线平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4个，两对对顶角，这时根据平面内的两条直线所成角的范围让学生自己猜想应该是那一个角）. 如果两条异面直线夹角等于90°，我们说两条直线垂直三．直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α相交——有且只有一个公共点 符号 a∩α= A平行——没有公共点 符号 a∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示平面与平面的位置关系有二种情况：平面相交：平面平行： 等角定理如果空间中两个角的两边分别对应平行，这两个角相等或互补题型一：平面例8：（2007·重庆·高考真题（理））若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分题型二：点、线确定平面数量问题例9：（2021·上海市大同中学三模）下列命题正确的是（          ）A．三点确定一个平面B．三条相交直线确定一个平面C．对于直线、、，若，，则D．对于直线、、，若，，则举一反三（2021·浙江·模拟预测）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点､，过直线做平面，使得点､到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个题型三：空间中点、线共面问题例10：（2009·湖南·高考真题（文））平行六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为     A．3 B．4 C．5 D．6举一反三（2022·北京东城·三模）如图，在正方体中，E，F分别为CC1，D1C1的中点，则下列直线中与直线相交的是（       ）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 题型四：空间中点共线问题例11：（2019·上海奉贤·一模）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（       ）A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件；D．既非充分又非必要条件．举一反三（2022·河南·三模（文））如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．(1)证明：E，F，D，B四点共面．．．题型五：空间中线共点问题例12：（2022·河南·三模（文））如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．举一反三（2021·江西南昌·一模（理））如图，，，分别是菱形的边，，，上的点，且，，，，现将沿折起，得到空间四边形，在折起过程中，下列说法正确的是（        ）A．直线，有可能平行B．直线，一定异面C．直线，一定相交，且交点一定在直线上D．直线，一定相交，但交点不一定在直线上题型六：空间中平面性质例13：（2022·上海静安·模拟预测）正方体的棱长为1，、分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为____________．举一反三（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（       ）A． B． C． D．题型七：等角定理例14：（2022·四川·成都七中三模（理））过正方形的顶点作直线，使得与直线，所成的角均为，则这样的直线的条数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4举一反三（多选）（2022·河北廊坊·模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（       ）A．平行于同一条直线的两条直线必平行B．垂直于同一条直线的两条直线必平行C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补题型八：异面直线例15：1.（2015·湖北·高考真题（文））表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件2．（2021·全国·高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（       ）A． B． C． D．举一反三1.（2016·上海·高考真题（文））如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）.A．直线AA1 B．直线A1B1C．直线A1D1 D．直线B1C12．（2022·河南安阳·模拟预测（文））如图，在四面体ABCD中，平面BCD，，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（       ）A． B． C． D．五．空间直线、平面的平行直线与直线平行平行与同一直线的两直线平行例16：1．已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行. 符号： 例17.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.求证：平面.注：证明线面垂直1，找中位线 2，找平行四边形 3，正两个面平行举一反三如图所示，在四棱锥中，，，，底面， 为的中点.求证：平面 直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行，则线线平行. 符号: 例18.如图，在三棱锥中，分别是中点，平面平面.求证：.举一反三1．如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：平面EFGH．2．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.求证:（1）l∥BC;（2）MN∥平面PAD．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.简记为：线面平行，则面面平行. 符号：例19.如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.举一反三1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中点．(1)求证：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中点，求证：平面B1DF∥平面ACE．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.简记为：面面平行，则线线平行. 符号：补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等；两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行例20.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．举一反三1．如图，已知平面平面，点P是平面，外一点，且直线PB，PD分别与，相交于点A，B和点C，D．如果，，，求PD的长．2．如图，是边长为2的等边三角形，在平面四边形ACDE中，，，，，求证：平面ABC．六．空间直线、平面的垂直直线与直线垂直1 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线.2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交.3.空间两条异面直线的画法.4．异面直线所成的角：将两条异面直线平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4个，两对对顶角，这时根据平面内的两条直线所成角的范围让学生自己猜想应该是那一个角）. 如果两条异面直线夹角等于90°，我们说两条直线垂直例21.如图所示，正方体中，E，F分别为平面与的中心，则与所成角的度数是_____________．举一反三1．判断正误．（1）异面直线所成的角的大小与O点的位置有关．即O点位置不同时，这一角的大小也不同．( )（2）异面直线a与b所成角可以是．( )（3）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．( )直线与平面垂直的判定⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直.⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直，则线面垂直. 符号：例22：（2012·广东·高考真题（理））如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. （1）证明：BD⊥平面PAC；举一反三（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．（1）证明：平面PDC；直线与平面垂直的性质性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号： 性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行 符号：推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．符号语言：a∥b, a⊥α，⇒b⊥α例23：（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．(1)证明：；举一反三（2012·广东·高考真题（理））如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. （1）证明：BD⊥平面PAC；2.（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；  平面与平面垂直的判定⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直.例24：（2022·全国·高考真题（文））如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；．举一反三（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.简记为：面面垂直，则线面垂直. 证明线线平行的方法①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性 ⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行； 证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）； ②线面垂直的性质③利用勾股定理证明两相交直线垂直；④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；例25：（2015·山东·高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求与所成角的余弦值；（2）求证：．举一反三（2014·江西·高考真题（理））如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：2.（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.(1)证明：平面；证明线线平行的方法①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性 ⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行； 证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）； ②线面垂直的性质③利用勾股定理证明两相交直线垂直；④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；微专题：三种成角1.异面直线成角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解注意：取值范围：（0.,90.].例1．如图，是圆的直径，点是弧的中点，分别是的中点，求异面直线与所成的角.2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0.,90.].如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角.例2．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5.（1）求三棱柱的体积；（2）设是中点，求直线与平面所成角的正切值大小3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形 取值范围：（0.,180.）例3.如图，三棱柱侧棱垂直于底面,,,为的中点.（1）求证：平面（2）若,求二面角的余弦值.微专题2：定义法和等体积法例1．已知四面体中面，， 垂足为，，为中点，,（1）求证： 面；（2）求点到面的距离．例2．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．例3．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是和的中点.(1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.微专题3：走进高考1．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．2．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．3．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．4．（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.5．（2020·全国·统考高考真题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.6．（2020·全国·统考高考真题）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．7．（2020·全国·统考高考真题）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）当时，；（2）点在平面内．8．（2019·全国·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．9．（2018·全国·高考真题）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．10．（2017·全国·高考真题）如图，在四棱锥中，，且.（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)πr2eq \r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h＝eq \f(1,3)π(req \o\al(2,1)＋req \o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq \f(1,2)Ch′V＝eq \f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq \f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq \f(4,3)πR3公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线0 第八章立体几何初步知识详解一．基本立体图形多面体一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.旋转体一条平面曲线，包括直线，绕它所在平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫做旋转面.封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.棱柱一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形，相邻两边的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱.一般地，我们把侧面垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧面不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的，直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱，也叫做平行六面体.棱锥一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，相邻两边的公共边叫做棱锥的侧棱，这侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.棱锥，用表示顶点和各面各顶点的字母来表示，其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.棱台用一个平行于圆锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面面，类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱和顶点.圆柱与矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面，叫做圆柱的底面，平行的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，平行于轴的边叫做圆柱侧面的母线.圆锥与圆柱一样，圆锥也可以看作是由平面图形旋转而成的.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.圆锥也有底面、侧面和母线.圆锥也用表示它的轴的字母表示.8.圆台与棱台相似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线.9.球半圆与它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，连接球面上两点，并且经过圆心的线段叫做球的直径.球常用表示全新的字母来表示，记作球O.棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体，其中棱柱与圆柱统称为主体，圆锥与棱锥统称为锥体，棱台与圆台，统称为台体.简单组合体除原柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体.简单组合体的构成有两种基本形式，一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.题型一：旋转体的有关概念例1.1.用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（       ）A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．三角形【答案】AD【解析】【分析】根据圆台的结构特征结合空间想象可得结果.【详解】根据圆柱的结构特征，用一个平行底面的平面截圆台可得圆形，当平面与圆柱轴所在直线线平行或经过轴所在直线时，可得梯形，不论平面与圆台如何相交，截面都不可能是矩形和三角形，故选：AD2.下列说法中正确的是( )A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行        B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高          D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【答案】A【解析】【详解】对A，棱柱的两个底面是平行，故正确对B，不一定，比如正方体，故错误对C，不一定，比如平行六面体对D，不一定，比如平行六面体故选：A3.．已有OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．(1)若，求圆M的面积；(2)若圆M的面积为，求OA．解：(1)过球心作截面，如图，因为，所以,即圆M的半径为， 圆M的面积为，(2)因为圆M的面积为，所以圆M的半径.设球的半径为R,则，解得，所以 .举一反三1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（       ）A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥【答案】D【解析】【分析】画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状．【详解】设等腰梯形，较长的底边为，则绕着底边旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，轴截面如图，故选：D2．下面多面体中，是棱柱的有( )A．1个       B．2个       C．3个       D．4个【答案】D【解析】【详解】根据棱柱的定义可知依次为：四棱柱，三棱柱，五棱柱，六棱柱故选：D3．已知一个圆台的上、下底面的半径分别为1cm，2cm，高为3cm，求该圆台的母线长.【答案】cm【解析】【分析】画出圆台的轴截面，再利用已知条件计算即可得解.【详解】如图，等腰梯形ABCD是圆台的轴截面，其中O1，O2是圆台上下底面圆圆心，过D作于E，则线段DE长为圆台的高，AD长是母线长，即DE=3cm，而O1D=1cm，O2A=2cm，于是得(cm)，所以该圆台的母线长为cm.4.已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高.【答案】高为，斜高为.【解析】【分析】在正四棱椎中，作底面于点，取中点，连接、、，计算出底面的边长，结合勾股定理可计算出该正四棱锥的高和斜高.【详解】如图，在正四棱椎中，作底面于点，取中点，连接、、，由正四棱锥的底面面积为可得，所以，.因为，都是直角三角形，侧棱，所以高为，斜高.二.空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系，使=450（或1350）③画对应图形在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：例2．某水平放置的用斜二测画法得到如图所示的直观图，若，则中（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】，所以选项A错误；，所以选项B错误； ，所以选项C错误，选项D正确.【详解】设，所以，所以，所以在中，，所以选项A错误；由题得，，所以，所以选项B错误；因为，所以，所以选项C错误，选项D正确.故选：D举一反三1．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】根据斜二测画法求解.【详解】直观图如图所示：由图知：原图形的周长为,故选：C2．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（ ）A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行于、轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半，直角变为或进行判断，即可得出结论.【详解】对于A选项，在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同，A选项正确；对于B、C选项，由平行于轴或轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于轴的线段长度在直观图中是原来的一半，则B选项正确，C选项错误；对于D选项，在平面直角坐标系中，，在斜二测画法中，或，D选项正确.故选：C.三．简单几何体的表面积与体积1．柱、锥、台和球的侧面积和体积2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．[难点正本　疑点清源]1．几何体的侧面积和全面积几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．2．等积法等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．题型一：棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积例3（1）．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？【答案】3.4【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥的斜高，再利用正棱锥的侧面积公式即可求出结果．【详解】如图，连接SE：表示塔的顶点，表示底面的中心，则是高，设是斜高，在中，根据勾股定理得，所以，答：制造这种塔顶需要铁板约．（2）．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.【答案】(1)；(2)侧面积；表面积.【解析】【分析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比；（2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积.(1)设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，棱台的侧面积为，所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.(2)因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，所以大棱锥的侧面积为，所以棱台的侧面积为，棱台的上，下底面的面积和为，所以棱台的表面积为.举一反三1．已知四面体S­ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积．【答案】.【解析】【分析】由等边三角形的面积计算公式可得：的面积．即可得出四面体的表面积．【详解】如图所示，由等边三角形的面积计算公式可得：的面积．四面体的表面积为．2．底面是菱形的直四棱柱中，体对角线长分别为9和15，高是5，求该直四楼柱的侧面积.(本题需自己作图并指明长度，无图不得分)【答案】【解析】【分析】设题中直四棱柱为，作出图形，设底面对角线，其交点为，由题意知，根据题意求出底面菱形的边长，进而可以求出侧面积.【详解】设题中直四棱柱为，如图所示，设底面对角线，其交点为，由题意知,所以，所以.因为底面是菱形，所以,所以，即,所以该直四棱柱的侧面积为.题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积例.4.如图为正四棱锥P - ABCD，PO⊥平面ABCD，BC = 3，PO = 2.(1)求正四棱锥P - ABCD的体积；(2)求正四棱锥P - ABCD的表面积.【答案】(1)6；(2)24.【解析】【分析】（1）根据题意，结合锥体体积公式，即可求解；（2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解.(1)根据题意，得.(2)如图所示，作的中点，连接，，则，故正四棱锥P - ABCD的表面积.举一反三1．如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂直于底面，，，，求该几何体的体积.【答案】96【解析】【分析】在上取点，在上取点，使得，连接，则几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，分别求出三棱柱和四棱锥的体积，即可得出答案.【详解】解：在上取点，在上取点，使得，连接，则几何体为直三棱柱，因为，，，所以，所以是以为直角的直角三角形，，，则多面体是四棱锥，高为8，所以几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，，，所以该几何体的体积为.2．某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？【答案】 L.【解析】【分析】由题可知当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.【详解】如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V=aS,当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接，则，∵，又，∴，∴，∴罐内液体车油最多还能剩 L.题型三：圆柱、圆锥、圆台台的侧面积与表面积例5.已知某圆柱底面半径和母线长都是.(1)求出该圆柱的表面积和体积；(2)若圆锥与该圆柱底面半径､高都相等，求圆锥的侧面积.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）、根据圆柱的表面积和体积公式计算即可；（2）、先求出圆锥母线长，再根据圆锥侧面积公式计算即可.(1)圆柱底面半径和母线长都是,；；(2)由题意可知圆锥底面半径､高为，圆锥母线长为.举一反三1．在底面半径为2高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1∶4，求圆柱的表面积．【答案】【解析】【分析】根据底面积之比可得半径之比，进一步得到母线长与圆锥的高之比，最后根据圆柱表面积公式计算即可.【详解】因为圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1∶4，所以圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比为1∶2，所以圆柱的母线长与圆锥的高之比为1∶2，所以圆柱的底面半径为1，母线长为．所以圆柱的表面积2．圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)【答案】表面积为1100πcm2.【解析】【分析】计算得到，，，再利用圆台的表面积公式计算得到答案.【详解】如图，设圆台的上底面周长为c.因为扇环的圆心角是180°，所以c＝π·SA＝2π×10，故SA＝20.同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，因此S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋＋＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2).故圆台的表面积为1100πcm2.题型四：圆柱、圆锥、圆台台的体积例6：1．如图，已知圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形．试求：（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．【答案】（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．【解析】【分析】（1）根据圆锥的母线长和结构特征求出圆锥的高和底面半径，即可求出侧面积；（2）根据圆锥体积公式可求.【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，，∴，即圆锥的高h=1，圆锥的底面半径r=1．（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．13．设圆台的高为3，在轴截面中母线与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积及体积.【答案】侧面积为，体积为.【解析】【分析】根据条件求出圆台的上下底面半径和母线长，然后用公式求面积和体积.【详解】如图：作出轴截面，设上下底面半径，母线长分别为，作与，则，，所以圆台的侧面积圆台的体积圆台的侧面积为，体积为.举一反三1．某部门建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，该部门拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是底面直径比原来增加4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？为什么？【答案】(1)方案一：(m3)；方案二：96π(m3).(2)方案一：S1= 32π(m2) ；方案二：S2= 60π(m2).(3)方案二比方案一更加经济，理由见详解.【解析】【分析】（1）按照圆锥体积公式S·h求得两种方案的仓库体积即可；（2）分别求得两种方案的母线长，从而根据半径等求得表面积；（3）比较两种方案的体积大小及表面积大小，判断经济性.(1)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积为V1=S·h=×π××4=(m3).若按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积为V2=S·h=×π××8=96π(m3).(2)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m.圆锥的母线长为l1==4(m)，则仓库的表面积为S1=π×8×4=32π(m2).若按方案二，仓库的高变成8 m.圆锥的母线长为l2==10(m)，则仓库的表面积为S2=π×6×10=60π(m2).(3)由（1）、（2）知，V1