南通市通州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含答案解析）

这是一份南通市通州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟总分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的。请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡上）
1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆锥B．圆柱C．长方体D．正方体
2．函数的图像经过点（-2，-4），则下列点中不在此函数图像上的是（）
A．（4，2）B．（1，8）C．（2，-4）D．（-1，-8）
3．已知是锐角，且，那么等于（）
A．B．C．D．
4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）

A．B．C．D．
5．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（）
A．1：2B．1：4C．1：D．：1
6．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是（）
A．B．或C．D．或
7．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其纵坐标为，过点作轴，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点也在该反比例函数的图象上，则的值为（）

A．B．C．D．
8．如图：是的直径，是弦，过弧的中点P作弦，交于D，交于E，则下面关系不成立的是（）

A．B．C．D．
9．如图，在中，，的半径为2，点P是线段上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点．，则y与x的函数图象大致是（）

A． B． C．D．
10．如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共有8小题，第11～12每小题3分，第13～18每小题4分，共30分）
11．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是_________．
12．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是_________．
13．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则_________．
14．反比例函数的图象上有一点，当，则的取值范围是_________．
15．如图，平行四边形的顶点B在双曲线上，顶点C在双曲线上，中点P恰好落在y轴上，已知，则_________．

16．已知，，当时，函数；当时，函数．点在函数y的图象上，当n取一实数时，存在三个不同的实数m，则n的取值范围是_________．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于AB，若，则k的值为_________.
18．我们用符号表示不大于x的最大整数.例如：，.那么：当时，函数的图象始终在函数的图象上方.则实数a的范围是_________.
三、问答题（本大题共有8小题，共90分.）
19．如图，在△ABC中，，于点D．，求BC的长．
20．如图，△ABC的三个顶点在上，的半径为5，，求弦的长．
21．如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点F，BD＝AD，BE＝EC．

（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）若CD＝CF，试求∠ABC的度数．
22．如图，是的外接圆，是的直径，过点的直线与相切于点，在直线上取一点，使得．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
23．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，AB=8，BC=6．对角线AC、BD相交于点E，反比例函数的图象经过点E，分别与AB、CD交于点F、G．

（1）若，求的值；
（2）若，求反比例函数关系式．
24．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系满足下表，另外每天还需支付其他各项费用100元．
（1）请你从学过的一次函数、二次函数、反比例函数三个模型中确定哪种函数能恰当地表示y与x的变化规律，并直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）为了在春节前将这批干果销售完，每天的销量不能低于150袋，如果每天获得200元的利润，销售单价为多少元？
（3）若每天的销量不能低于150袋，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
25．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为x=t
（1）当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．
26．如图1，已知点，，且a、b满足，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线上经过C、D两点.

（1）求k的值；
（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值。
销售单价x（元）
3.5
4
4.5
5
5.5
销售量y（袋）
350
300
250
200
150
参考答案
1．A
【详解】解：根据主视图是三角形，圆柱、长方体、正方体不符合要求，故B、C、D错误；只有A符合要求．故选A．
2．C
【分析】由反比例函数图象上点的坐标特点找到横纵坐标的积不等于8的点即可．
【详解】解：函数的图象经过点，．
A、，在反比例函数图象上，不符合题意；
B、，在反比例函数图象上，不符合题意；
C、，不在反比例函数图象上，符合题意；
D、，在反比例函数图象上，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点；用到的知识点为：反比例函数图象上点的横纵坐标的积相等．
3．D
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】∵sinA=，∴∠A=60°．故选D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确掌握相关数据是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查相似三角形的判定定理，熟悉掌握判定定理是解决本题的关键．
【详解】解：∵，∴，
A. 添加，可得到相似，不符合题意；
B. 添加，可得到相似，不符合题意；
C.添加，不能得到相似，符合题意；
D. 添加，可得到相似，不符合题意；
故选C．
5．B
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，
∴它们的面积比是：1：4．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．B
【分析】以原点为位似中心，把缩小为原来的，即位似比是，根据位似的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，位似比是，且位似比是的三角形有两个，，
∴①乘以得，；②乘以得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查位似的性质，理解和掌握位似的性质是解题的关键．
7．D
【分析】作轴于，根据题意，，由于将线段绕点顺时针旋转得到线段，得出，，即可得出，即可得出，，得到，代入反比例函数解析式即可求得的值．
【详解】解：作轴于，
点在反比例函数的图象上，其纵坐标为，过点作轴，交轴于点，
，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段．
，，
，
，
，
，
点也在该反比例函数的图象上，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，表示出点的坐标是解题的关键．
8．D
【分析】连接，，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据垂径定理可得，，从而可得，进而利用同角的余角相等可得，然后根据等弧所对的圆周角相等可得，从而可得，即可判断A；利用等式的性质可得，从而可得，即可判断B；利用两角相等的两个三角形相似可得，然后利用相似三角形的性质即可判断C；连接，，证明8字模型相似三角形，然后利用相似三角形的性质即可判断D．
【详解】解：连接，，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴，故C不符合题意；
连接，，

∵，，
∴，
∴，
∴，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．A
【分析】作，垂足为，证明，得出，根据题意得，则列出函数表达式，再根据函数解析式判定图象即可．
【详解】解：如图，作，垂足为，
∴，

，
，
，
，，，
，，
，
，
∵是的切线，
∴，
，
∴该函数图象是抛物线，故D错误；
当时，，当时，．故C错误；
抛物线的顶点坐标为，故B错误；
综上，只有A符合．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数的图象与列函数表达式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等等，分析题意弄清题目中的函数关系是做出正确判断的根本．
10．B
【分析】如图，连接AF，通过对应边的比相等和两边的一夹角证明，得出点F的运动轨迹为在以A为圆心，以AF为半径的圆；过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时；在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接AF
由题意知和均为等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴点F在以A为圆心，以AF为半径的圆上运动
∴过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时
在中，，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴当最大时，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形相似，切线，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于得出点F的运动轨迹．
11．
【分析】首先根据直线来求出点A和点B的坐标，的横坐标等于，而纵坐标等于，进而得出的坐标．
【详解】解：对于，
当时，，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵把绕点A顺时针旋转后得到，
∴，
∴轴，
∴点的纵坐标为长，即为3，
横坐标为，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了对于图形旋转性质的理解，其中要考虑到点B和点位置的特殊性，以及点的坐标与的关系．
12．
【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得．
【详解】解：圆锥的底面周长是：，
则
，
即圆锥侧面展开图的圆心角是，
如图所示，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵C是的中点，
∴，
∴，
∵在圆锥侧面展开图中，，
∴在圆锥侧面展开图中：，
∴蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算．
13．1
【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：1．
14．或
【分析】依据题意，由点在反比例函数图象上，点的纵坐标，从而可以得解．
【详解】解：由题意，由，
当时，
．
当时，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解．
15．
【分析】连接，过点和点分别作轴的垂线段和，先证明，则，易知，，由此可得，从而得到，求出的值即可．
【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，垂足分别为点E、D，如图所示：

，
中点恰好落在轴上，
，
，
，
，
点在双曲线上，
，
点在双曲线上，且从图像得出，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是．
16．
【分析】首先画出两个函数图像，再根据已知条件画出y的函数图像，求出点A和点B坐标，将当n取一实数时，存在三个不同的实数m转化为存在一点，使直线与的图像有三个不同的交点，根据点A和点B的纵坐标可得n的范围．
【详解】解：画和的图像如下：
∵当时，函数；当时，函数，
∴，
则图像如下：
如图，点A为的顶点，点B为与y轴交点，
在中，顶点为，即，
令，则，则；
∵当n取一实数时，存在三个不同的实数m，
∴存在一点，使直线与的图像有三个不同的交点，
∴当直线在和之间时，满足条件，
故n的范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像和性质，题目比较抽象，解题的关键是读懂题意，转化为图像问题，利用数形结合思想求解．
17．8
【分析】运用直线与反比例函数的解析式表达A，B两点的坐标，从而证得，再根据图象的几何性质求得k值．
【详解】解：设直线与轴交于点，与轴交于点，过作于E，
对于直线，令，得，
令，得，则，
故是等腰直角三角形，
∵，
∴，
联立直线与反比例函数的解析式，得，
整理得，，
故，
设，则，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，解得，
∵，
∴，即
∵B在反比例函数图象上，
∴，
故k值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，通过数形结合的方法分析函数图象的特征点，是解题的关键．
18．
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由题意，构建不等式即可解决问题．
【详解】解：由题意：当时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上，
当时，则有时，函数分别为：，，
由题意，，
∴，
当时，则有，，而，，此时的图象在的图象上方或图象上．
当时，则有，，，
当时，有最小值，最小值要大于或等于4，
∴，
解得，
综上所述，时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上，
故答案为：．
19．
【分析】先在中利用的定义可计算出的长，再利用勾股定理解答即可．
【详解】解：∵，，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理和解直角三角形，熟练运用余弦求线段长度是解题的关键．
20．弦的长为5
【分析】连接并延长交于，根据圆周角定理得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于，连接，
则，，
的半径为5，
，
，
，
故弦的长为．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（1）见解析
（2）
【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到；
（2）设∠B＝x，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答．
【详解】（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE
∴∠BAD＝∠BCE
而∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE
（2）解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，
∴∠ADC＝
又∵CD＝CF
∴∠ADC＝∠DFC＝
∴
∴
即

【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．
法的应用是解题关键．
22．（1）见解析
（2）
【分析】（1）连接，由得，结合依据题干有，又因为直线与相切于点，点在上，是的半径则有所求结论．
（2）利用切线的性质和勾股定理求解圆的半径，根据特殊角的三角函数值推出角度，结合等面积法解得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接，

，
，
又，
，
，
直线与相切于点，
，
，
点在上，是的半径，
直线是的切线．
（2）解：设半径，则，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
，
故图中阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形性质、切线的判定和性质、勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形面积计算的知识，正确做出辅助线和利用特殊角的三角函数值是解题的关键．
23．（1）28
（2）
【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到,然后把点坐标代入,可求得的值;
（2）利用勾股定理计算出,则 5 ，所以，设，则, ，利用反比例函数图象上点的坐标得到，解得，从而得到反比例函数解析式为；
【详解】（1）矩形的顶点在轴的正半轴上，，
，
对角线相交于点，
点为的中点，
如图，过作于点，则为的中点，

易得点的坐标为，把代人，得．
（2）
，
，
设，则，
反比例函数的图象经过点，
，解得，
反比例函数关系式为．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数的性质
24．（1）一次函数，
（2）4元
（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是300元
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，再用待定系数法求解即可；
（2）根据“每天获得200元利润”可得到关于的一元二次方程，解方程并根据每天的销量不能低于150袋即可求解；
（3）设每天的利润为元，则，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：从表格可以看出与成一次函数，
设与之间的函数关系式为，
将，，，代入解析式得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意，得，
整理得：，
解得：，，
，
，
，
如果每天获得200元的利润，销售单价为4元；
（3）解：设每天的利润为元，则
，
，，
当时，最大，此时，
当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是300元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、二次函数的应用，理解题意，找准数量之间的关系是解此题的关键．
25．（1）（0，2）；2
（2）的取值范围为，的取值范围为
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵，
∴点关于对称轴对称，
∴；
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，，
∵1＜3，
∴2t＞3，即（不合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，解得：，
∵1＜3，
∴2t＞3，即，
∴，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
26．（1）
（2）或或
（3）不变，
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t，由D的坐标即可求出反比例函数表达式；
（2）由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．
（3）连接，易证，故，，，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，
∴，，
∴，，
∵E为中点，且横坐标为，根据中点坐标的计算方法，
∴，
设，
由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，
则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点，
∴，
∴，
∴，，
∵D点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴反比例函数的解析式为，
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，
∴设，，
①当为边时：
如图1所示：若为平行四边形，
∵，，则，
解得，
此时，；
如图2所示，若为平行四边形，
∵，，则，
解得，
此时，；
②如图3所示，当为对角线时：，且；
∵，，
∴，
解得，
∴，；
故点Q的坐标为：或或；
（3）解：如图4，连接，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
四边形中，，而，
∴，
∵四边形内角和为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，当然除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题．