南通市如皋市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含答案解析）

这是一份南通市如皋市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含答案解析），共23页。试卷主要包含了若点A，定义等内容，欢迎下载使用。

注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置。
3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．二次函数y=(x+3)2+7的顶点坐标是（）
A．（-3，7）B．（3，7）C．（-3，-7）D．（3，-7）
2．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
3．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=（）
A．85°B．95°C．105°D．115°
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，那么csA的值为（）
A．B．2C．D．
5．若点A（-3，a），B（-1，b），C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
6．如图，点P在△ABC的边AC上，若只添加一个条件，就可以判定，则下面四种添加条件的方法中，正确的是（）
A．B．C．D．
7．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）
A．B．C．D．
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于（）
A．B．C．D．
9．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
10．定义：在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数的图象上有2个“零和点”，且都在第二象限，则二次函数的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题（本大题共8小题，第11-12小题每题3分，第13-18小题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知⊙O的半径为5，线段OA的长为d，若点A在⊙O外，则d的取值范围为_________．
12．正六边形外接圆的半径为3，正六边形的周长等于_________．
13．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC=_________．
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与位似，原点O是位似中心，点A的坐标是，若，则点的坐标是_________．
15．如图，是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若，，则_________．
16．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天_________元．
17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点B在x轴的正半轴上，函数的图象分别与边AO，AB交于点C，D．若D为AB的中点，则的值等于_________．
18．已知在中，，，则的最大值为_________．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：；
（2）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，AP与BC相交于点D．测得，，，求树高．
20．某煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室，该储存室的底面积为，深度为．
（1）求S与d的函数关系式；
（2）公司决定把储存室的底面积定为400m2，施工队施工时应该向地下报进多深？
21．超速行驶被称为“马路第一杀手”．为了让驾驶员自觉遵守交通规则，公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示．已知检测点设在距离公路20m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为2.7s．已知，．

（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）．
（2）如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，）
22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作圆交AB于点E．
（1）求证：与AC相切；
（2）若AC=5，BC=3，求AE的长．
23．如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点B．

（1）求n的值；
（2）若，根据图象直接写出当时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标．
24．根据素材解决问题：
25．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点P在边BC上，连接AP，以AP为边，作矩形APMN（点A，P，M，N按顺时针排列），且矩形APMN∽矩形ABCD．
（1）如图1，CP=5，求∠BAP的正弦；
（2）在（1）的基础上，求点N到直线AD的距离；
（3）当矩形APMN的一个顶点落在射线DB上时，求CP的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+2ax-3a的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），C，D两点的坐标分别为(-4,5)，(0,5)．

（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=ax2+2ax-3a的图象经过点C，且与平行于x轴的直线l始终有两个交点M，N（点M在点N的左侧），P为该抛物线上异于M，N的一点，点N，P的横坐标分别为n，n+2．当n的值发生变化时，∠PMN的度数是否也发生变化？若变化，请求出∠PMN度数的范围；若不变，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax2+2ax-3a的图象与线段CD只有一个交点，求a的取值范围．
设计货船通过拱桥的方案
素材1
左图中有一座圆拱石桥，右图是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．
素材2
如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
（1）求圆形桥拱的半径；
任务2
拟定设计方案
（2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
参考答案
1．A
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），∴y=(x+3)2+7的顶点坐标是（-3，7），故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，掌握二次函数顶点式的解析式形式y=a（x-h）2+k是本题的解题关键。
2．A
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案．
【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示，
故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图．
3．B
【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．
【详解】∵ABCD为⊙O内接四边形，∠D=85°，∴∠B=180°−∠D=180°−85°=95°故选：B．
【点睛】考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．C
【分析】先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义直接求解即可．
【详解】
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义.
5．B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，，代入，，，
∵∴。故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：在，中，
，不能判定，故选项A错误；
，不能判定，故选项B错误；
，即，能判定，故选项C正确；
，不能判定，故选项D错误；
故选C．
7．A
【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，sinB=，
则AC=AB•sinB=100sin65°（米），
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，先连接，，并标注，再说明∽，可得，，进而得出∽，可知，然后根据勾股定理，求出，可得答案．
【详解】连接，，并标注字母如图所示．
根据题意可知，，，，
∵，，
∴∽，
∴，，
∴，
∴，
∴∽，
∴，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
故选：A．
9．C
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
B、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项符合题意；
D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
10．C
【分析】此题考查了一次函数和二次函数的图象和性质，解题的关键是正确理解“零和点”的概念．
首先根据“零和点”的概念得到点P在函数的图象上，然后根据题意得到，，，进而判断二次函数的图象经过的象限即可．
【详解】∵点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”
∴点P在函数的图象上
∵二次函数的图象上有2个“零和点”，且都在第二象限，
∴次函数的图象与函数的图象有2个交点，且都在第二象限，且与y轴交于正半轴，
∴二次函数的对称轴，，
∵
∴
∴二次函数的对称轴为
∴二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴二次函数的图象经过第一，二，四象限，不经过第三象限．
故选：C．
11．
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，，即可得到答案．
【详解】解：若点A在外，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．根据正六边形的边长等于半径解题即可．
【详解】解：由于正六边形的边长等于半径，
正六边形的边长为，
故正六边形的周长等于．
故答案为：．
13．##1.5
【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，
所以．
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键．根据位似的性质即可得到答案．
【详解】解：由于与位似，
，
ｍ
A的坐标是，
点的坐标是．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查三角形的外接圆，圆周角定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键．连接，证明是等腰直角三角形即可求出答案．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，找准等量关系是解题的关键．根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质解题即可．
【详解】解：设房价定为元，每天的利润为元，
，
，
，
因为，
故当时，获得最大利润．
故答案为：．
17．
【分析】此题主要考查反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定和性质，过点C作轴于点E，连接OD，易得，点C、点D都在反比例函数图象上，得到，D为的中点，得到，最后根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】解：如图所示：
过点C作轴于点E，连接OD，
∵是直角三角形，
∴
点C、点D都在反比例函数图象上，
∴
∵D为的中点，
∴
∴，
故答案为：
18．
【分析】本题主要考查勾股定理，一元二次方程的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．令，由勾股定理列出方程计算即可．
【详解】解：令，
，
在中，，，
，
，
化简得，
，
，
解得．
故的最大值为．
故答案为：．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值计算和相似三角形的应用等知识．
（1）根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行计算即可求解；
（2）先证明，得到，代入即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）∵和均为直角，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
20．（1）；（2）
【分析】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数是解题的关键．
（1）根据题意，由体积底面积高即可得到答案；
（2）将代入函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：由于体积底面积高，
；
（2）解：将代入函数解析式，
得，
解得．
答：施工队施工时应该向地下报进．
21．（1）
（2）超速，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）如图作于D．则m，求出、即可解决问题．
（2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位．
【详解】（1）作，则
在中，
在中，
，
答：B，C之间的距离为．
（2）这辆汽车超速，理由如下：
这辆汽车超速．
22．（1）见解析；（2）
【分析】本题主要考查圆的切线的判定，角平分线的性质，切线长定理，构造直角三角形利用勾股定理解题是解题的关键．
（1）过点作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明；
（2）利用勾股定理求出，设半径为，利用切线长定理求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出半径，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点作于，
，
，
平分交于点D，
，
是圆的半径，
与相切；
（2）解：设半径为，
，
，
是圆的切线，
，
，
，
，
在，，
解得，
．
23．（1）；（2）；（3）或
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
（1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案；
（2）求出点B的坐标，由函数的图像即可得到取值范围；
（3）设，根据三角形的面积公式即可得到答案．
【详解】（1）解：将点代入一次函数，
，
故，
将代入反比例函数，
得；
（2）解：由（1）得，
联立一次函数和反比例函数，得
，
解得，故，由图像可知，的取值范围为；
（3）解：设，且，交x轴于点M，如图；
，
，
，
解得，
点P的坐标为或．

24．（1）（2） 10吨
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题；
任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数．
【详解】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图，
设桥拱的半径为，则，
，
，
，
，
，
圆形拱桥的半径为．
任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由：
当是的弦时，与的交点为，连接，，如图，
四边形为矩形，
，
，
∵，，
．
，
，
，
，
根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
船在水面部分可以下降的高度为．
货船的载重量每增加吨，则船身下降，
吨，
至少要增加10吨的货物才能通过．
25．（1）；（2）6；（3）为4或或8
【分析】本题考查三角函数、相似多边形的性质及相似三角形的判定和性质，关键是熟练应用相似三角形的性质求线段的长．
（1）在中求解即可；
（2）过点作交的延长线于点，证明，利用相似性质即可求解；
（3）过点作，，垂足分别为，延长交于点，证明，再证明，求解即可．
【详解】（1）解：矩形中，，，
，
，
在中，，，
．
（2）过点作交的延长线于点，
矩形矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点N到直线的距离为6．
（3）当点落在射线上时，
过点分别作交延长线于点，
，
，
，
，
，，
，，，
，，，
，，；
当点落在射线上时，
过点作，，垂足分别为，延长交于点，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
；
当点落在射线上时，即点与点重合，此时，
综上所述，当矩形的一个顶点落在射线上时，为4或或8．
26．（1）
（2）的度数不发生变化，理由见解析
（3）或或
【分析】（1）将二次函数转化为，令，即可求出A，B两点的坐标；
（2）将代入，求出a的值，得到，利用二次函函数的对称性求出利用坐标轴中的距离求出即可得出结论；
（3）分和两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：，
令，则，
解得：，
点A在点B的左侧，；
（2）解：将代入，得：，
解得：，
二次函数的解析式为：，
点N，P的横坐标分别为n，，，
，
的度数不发生变化；
（3）解：，
二次函数的图象关于对称，
当时，函数图象开口向上，
则，
解得：；
当时，函数图象开口向下，
①二次函数顶点在线段上时：，
解得：；
②二次函数顶点不在线段上时：
，
解得：，
综上，a的取值范围为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，函数与方程的关系，解题的关键是学会利用分类讨论解决问题。