专题04 三角恒等变换（难点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习高分突破（苏教版必修第二册）

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1．已知，则的值为（ ）
A．B．0C．2D．0或2
【答案】D
【分析】由，通过二倍角公式，得到或
原式化简为再分别求解.
【解析】因为
所以
所以
解得或
当时
当时
故选：D
【点睛】本题主要考查了二倍角公式及其应用，不觉考查了变形运算求解的能力，属于中档题.
2．，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解.
【解析】由题：
.
故选：B
【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力.
3．若且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简，得，得，将变形后分子、分母同除以，转化为关于的式子，利用基本不等式求得，即可得解．
【解析】由，得，得 ，
则，
因为 ，
因为，所以，故，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
所以，所以的最小值是，
故选：B
4．已知锐角满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【解析】，，
、均为锐角，则，，
，
当且仅当时，即当时，故，时等号成立.
因此，的最小值为.
故选：C
5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的最小正周期为
C．点是函数的图象的一个对称中心
D．函数在区间上单调递增
【答案】B
【分析】写出分段形式，A特殊值法判断是否成立；B利用，结合诱导公式得周期，即可判断；C判断是否恒成立即可；D利用正弦型函数的单调性判断.
【解析】且，
A：，故图象不关于对称，错误；
B：要使成立，则，k为整数，
所以，当时最小正周期为，正确；
C：不一定等于0，故不是对称中心，错误；
D：由对应解析式为，则，即单调递减，错误；
故选：B
6．已知直线是函数图象的一条对称轴，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简，由对称轴可求得，通过平移变换可求得，最后根据三角函数的性质求值域即可.
【解析】，
因为是函数图像的一条对称轴，
所以，即，
又因为，所以，所以.
将函数的图象向右平移个单位后得到.
因为，则，
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值2，
则在上的值域为.
故选：A.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将已知等式化简得到，再利用角的关系求解即可.
【解析】，因为所以，所以
故选：B
8．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为（）
C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2）
D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则
【答案】B
【分析】A选项，平方后利用辅助角公式化简得到，得到为函数的周期，A错误；
利用整体法求解函数的对称轴方程，B正确；
首先求出，，画出上的的函数图象，问题等价于有两个解，
数形结合得到，无解，C错误；
D选项，的根转化为与交点横坐标，画出图象，结合对称性求解.
【解析】，.
，.
对于A，，
为的周期，A错误；
对于B，的对称轴方程为.
（）.即（）.B正确.
对于C，对，有，
∵在上单调递增，
，
（，2），等价于有两个解，
当时，，显然无解，
不妨设，画出在的的图象，如图所示：
.
或.无解.故C错误；
对于D，的根为与交点横坐标.
有奇数个交点，
，
且，，，，，
，，，，
D错误.
故选：B.
【点睛】较为复杂的函数零点问题，通常转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解.
二、多选题
9．如图，已知两点在单位圆O上，且都在第一象限，点是线段的中点，点是射线与单位圆O的交点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断A；由中点坐标公式及三角函数定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；利用特值法可判断D.
【解析】A项：
，故A正确；
B项：，故B正确；
C项：，故C错误；
D项：取，则，此时，故D错误．
故选：AB.
10．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最大值是2
B．函数在单调递减
C．函数的图像可以由函数的图像向右平移个单位得到
D．若方程在区间有两个实根，则
【答案】CD
【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据函数解析式研究选项中相关的函数性质.
【解析】
.
对于A：函数的最大值是3，A选项错误；
对于B：时，，是正弦函数的递增区间，故B选项错误；
对于C：函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，即函数的图像，C选项正确；
对于D：由，解得，在上单调递增；
由，解得，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，，，所以方程在区间有两个实根，，D选项正确.
故选：CD
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．在上的零点个数是4041
【答案】BCD
【分析】作出函数的图象，可判断AD，求出即可判断B，结合分段函数和三角函数的性质可判断C
【解析】当时，，此时，
，
又时，，
时，，
所以，
当时，，此时，
，
又时，，
时，，
所以，
所以，
结合图象可知的最小正周期为，故A错误；
对于B， ，
，
，∴其图象关于直线对称，则B正确．
当时，．因为，
所以，则在上单调递增，故C正确．
在上的零点个数即为的交点个数，
因为，，且是偶函数，的最小正周期为，
由图象可得当时，有4个交点，
所以当时，有4个零点，
所以时，有个零点，
所以在上的零点个数是，故D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：这道题关键在于两个绝对值的处理，去掉绝对值需要对内部的正负进行讨论，得到对应的分段函数，然后画出图象即可判断每个选项
12．设函数，给出的下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，为偶函数
B．当，时，在区间上是单调函数
C．当，时，在区间上恰有个零点
D．当，时，设在区间上的最大值为，最小值为，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】利用余弦型函数的奇偶性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；在时解方程，可判断C选项；对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，可判断D选项.
【解析】对于A选项，当，时，为偶函数，A对；
对于B选项，当，时，，
当时，，此时函数在区间上不单调，B错；
对于C选项，当，时，，
当时，，
由可得，解得，
此时在区间上恰有个零点，C对；
对于D选项，当，时，，
因为，则，
①若，即当时，
函数在区间上单调递增，
则
；
②若时，即当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，，
因为，
则，，
所以，；
③若，即当时，
函数在区间上单调递减，
则
；
④若时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，
因为，
则，，
所以，.
综上所述，，D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数基本性质的综合，难点在于判断D选项，要注意对实数的取值进行分类讨论确定函数在区间上的单调性，求得、的值或表达式，结合三角函数的有界性来求解.
三、填空题
13．已知函数，下列关于函数的说法正确的序号有________.
①函数在上单调递增；
②是函数的周期；
③函数的值域为；
④函数在内有4个零点.
【答案】①③④
【分析】①化简解析式，求出范围，根据正弦函数的单调性即可判断；
②根据奇偶性举特例验证f(x＋2π)与f(x)关系即可；
③分类讨论求出f(x)解析式，研究在x≥0时的周期性，再求出值域即可；
④根据值域和单调性讨论即可.
【解析】∵函数，定义域为R，，∴为偶函数.
当时，，，
，此时正弦函数为增函数，故①正确；
∵，
∴，
而，
∴不是函数的周期，故②错误；
当或，k∈Z时，，
此时，
当，k∈Z时，，
此时，
故时，是函数的一个周期，
故考虑时，函数的值域，
当时，，，此时单调递增，
当时，，，此时单调递减，
；
当时，，，此时，
综上可知，，故③正确；
由③知，时，，且函数单调递增，故存在一个零点，
当时，，且函数单调递减，故存在一个零点，
其他区域无零点，
故当时，函数有2个零点，
∵函数为偶函数，∴函数在内有4个零点.故④正确；
故答案为：①③④.
14．已知当时，函数（且）取得最大值，则时，的值为__________．
【答案】3
【分析】先将函数的解析式利用降幂公式化为
，再利用辅助角公式化为，其中
，由题意可知与的关系，结合诱导公式以及求出的值．
【解析】

，其中，
当时，函数取得最大值，则，，
所以，，
解得，故答案为．
【点睛】本题考查三角函数最值，解题时首先应该利用降幂公式、和差角公式进行化简，再利用辅助角公式化简为的形式，本题中用到了与之间的关系，结合诱导公式进行求解，考查计算能力，属于中等题．
15．已知是关于的方程的两个根，则________.
【答案】
【分析】将原式化简为，根据韦达定理得到计算出，代入式子得到答案.
【解析】原式.
由一元二次方程根与系数的关系得
根据同角三角函数基本关系式可得，
即.解得，
又因为，所以，
所以.
故答案为
【点睛】本题考查了韦达定理，三角恒等变换，同角三角函数基本关系，综合性大，技巧性强，需要同学们灵活运用各个公式和方法.
16．已知函数，若对任意实数，恒有，则____．
【答案】
【分析】对进行化简得到，根据正弦函数和二次函数的单调性得到，进而确定，，，利用两角差的余弦公式得到．
【解析】
对任意实数，恒有
则
即，
【点睛】本题的关键在于 “变角”将变为结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式．
四、解答题
17．求解下列问题：
(1)求证：；
(2)已知，求.
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式进行证明；
（2）利用（1）以及二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得.
【解析】（1）证明：，
.
（2），则，
由，解得，
所以，
因为，由（1）得，
所以
.
18．化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，
（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.
（1）
因为，所以，
所以原式
.
（2）
因为，
所以.
又因为，且，
所以原式，
因为，所以，所以.
所以原式.
19．已知，且满足
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平方关系以及商数关系得出，再由求解即可；
（2）解方程得出，再由以及得出的值．
【解析】（1）当时，，不满足，故.
因为，所以.
即，即
解得或（舍）
故
（2），解得或（舍）.
由（1）可知，，则，同理可得
即，
因为函数在上为单调函数，所以
20．已知函数的一个零点为．
(1)求A的值和函数的最小正周期；
(2)当时，若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用即可求得，然后对函数进行化简即可；
（2）利用求得，然后根据可得即可求解
【解析】（1）因为函数的一个零点为，
所以，解得，
所以，
所以函数的最小正周期
（2）因为，所以，所以，
所以，
因为恒成立，所以，则，
所以
21．已知函数
(1)化简的表达式.
(2)若的最小正周期为，求的单调区间
(3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数；
（2）根据最小正周期公式求，再采用代入的方法求函数的单调区间；
（3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围.
【解析】（1）依题意，
（2）由（1）知，，解得，则，
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
由得：，由得：，
所以在上单调递增，上单调递减;
（3）由（2）及已知，，因图像关于对称，则，
解得:,又，即有，，于是.
由得：，，而函数的周期，
依题意，对于在上均有不少于6个且不多于10个根，则有,即，解得：，
所以正实数λ的取值范围是.
22．如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、．
(1)如果，，求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角函数定义得到，，进而利用同角三角函数关系得和余弦差角公式求出答案；
（2）表达出，，利用三角函数有界性进行适当放缩，证明出，再利用适当放缩证明出，从而证明出结论.
【解析】（1）由题意得：，，
由于、均为锐角，
所以，，
所以．
（2），
，
所以，
，
所以，
同理，
所以线段．
23．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)常数＞0，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
(3)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再保持图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）化简，所以，即可得出答案.
（2）先求出的递增区间，又因为函数在区间上是增函数，当时，有，解不等式即可求出答案.
（3）求出，由题意求出，讨论和，使得成立，即可求出实数m的取值范围.
(1)
，.
(2)
.由得，
的递增区间为
在上是增函数，当时，有.
，解得，的取值范围是.
(3)
由题，存在非零常数，对任意的成立，在上的值域为在上的值域为
当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍，
所以，即
当时，
由诱导公式可得，即
所以当时，；
当时，.