专题06 解三角形（难点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习高分突破（苏教版必修第二册）

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1．已知锐角中，，，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A．0B．1C．2D．
4．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形D．顶角为的等腰三角形
5．在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．如图，到达某旅游景区内的处后，有两种路径到处：一种是从处沿直线步行到处；另一种是先从处坐小火车沿直线到达处，再从处沿直线步行到处.现有甲、乙两名游客到达处后，甲沿方向匀速步行前往处，速度为50米/分钟，甲出发2分钟后，乙从处坐小火车前往处，再从处步行到处.已知小火车的速度为200米/分钟，，之间的距离为2000米，、之间的距离为3000米，，.当乙在小火车上时，甲、乙之间的直线距离最短为（ ）
A．米B．米C．米D．米
7．中华人民共和国国旗上的五角星均为正五角星，正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，依次连接，，，，形成的多边形为正五边形，且，现有如下说法：①；②若，则；③若，则．其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
9．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知的内角、、满足，面积满足，记、、分别为、、所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．，有唯一解
B．，无解
C．，有两解
D．，有唯一解
14．如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则，，，四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
15．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为B．的中线的长为
C．的三个内角满足D．的外接圆半径为
16．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
三、填空题
17．在中，若，给出下列四个论断：①；②；③；④．其中正确论断的序号有______．
18．设的三个内角，，所对的边分别为，，，若是边上一点，且，，则的最小值为______．
19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出以下命题：
①若，则为锐角三角形；
②若，则为等腰三角形；
③若，则为等腰三角形；
④若，则为等边三角形.
以上命题中，所有真命题的序号为_________________．
20．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．
四、解答题
21．在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，且上的中线长为，求斜三角形的面积．
22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求角C；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，求的周长．
23．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，______，求外接圆的半径R的取值范围．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①；②．
24．在中，角的对边分别为，已知，
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．
25．如图，已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若，，点D在边AC上，且在和上的投影向量的模相等，求线段BD的长．
26．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的取值范围．
27．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若，，求的面积．
28．已知在中，角，，的对边分别为．
(1)若边的中线长为3，对，且，恒成立，试判断“”是否成立？
(2)若为非直角三角形，且，其中．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．
参考公式：
29．如图，在Rt△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，点P，Q是边AC上的两个动点，记
(1)当时，设△PBQ的面积为S，求S的取值范围；
(2)是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的a，β，都有？若存在，求出θ和k的值；若不存在，说明理由.
30．在非直角三角形中，角的对边分别为.
（1）若，且，判断三角形的形状；
（2）若，
（i）证明：；（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由.
31．为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养鸡地，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知 m， m，，﹒
(1)若 m，求护栏的长度(的周长)；
(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求AM的长；
(3)鱼塘的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．