专题09 立体几何初步（难点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习高分突破（苏教版必修第二册）

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1．从正方体的8个顶点上任取4个顶点，则这4个顶点构成的几何图形不可能是（ ）
A．三个面是直角三角形的正三棱锥
B．有一个面是钝角三角形的四面体
C．每个面都是等边三角形的四面体
D．每个面都是直角三角形的四面体
2．在直四棱柱中，E，F分别是BC，的中点，则“”的一个充分必要条件是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
3．某组合体的正视图和侧视用如图（1）所示，它的俯视图的直观图是图（2）中粗线所表示的平面图形，其中四边形为平行四边形，为的中点，则图（2）中平行四边形的面积为（ ）
A．12B．C．D．6
4．已知三棱柱内接于一个半径为的球，四边形与均为正方形，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．设异面直线所成的角为，经过空间一定点有且只有四条直线与直线所成的角均为，则可以是下列选项中的（ ）
A．B．C．D．
6．已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，棱长为2的长方体中，P为线段上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（ ）
A．三棱锥中，点P到面的距离为定值
B．过点P平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
C．当点P为中点时，三棱锥的外接球体积为
D．直线与面所成角的正弦值的范围为
8．如图，在直角梯形中，，D为边中点，将沿边折到．连接得到四棱锥，记二面角的平面角为，下列说法中错误的是（ ）
A．若，则四棱锥外接球表面积
B．无论为何值，在线段上都存在唯一一点H使得
C．无论为何值，平面平面
D．若，则异面直线所成角的余弦值为
二、多选题
9．已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在棱上，要使平面，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
11．在直三棱柱中，，，M是的中点，N是的中点，点P在线段上，点Q是线段上靠近M的三等分点，R是线段的中点，若面，则（ ）．
A．B．P为的中点
C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球表面积为
12．如图，正方形的边长为2，为的中点，将沿向上翻折到，连接，，为的中点，在翻折过程中（ ）
A．四棱锥的体积最大值为
B．平面
C．三棱锥的外接球半径的最大值是
D．直线，与平面所成角的正弦值之比为
三、填空题
13．在三棱锥P﹣ABC中，能证明AP⊥BC的条件是 ______．
①AP⊥PB，AP⊥PC；
②AP⊥PB，BC⊥PB；
③平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC；
④PB＝PC，AB＝AC．
14．棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是_________．
15．在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为______
16．如图，在边长为2的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结, ，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上）
①四棱锥的体积的最大值为；
②当面平面时，二面角的正切值为；
③存在某一翻折位置，使得；
④棱的中点为，则的长为定值．
四、解答题
17．如图，在四棱锥中，为等边三角形，为等腰三角形，，为的中点．
(1)求证：平面．
(2)若底面，且，求点到平面的距离．
18．如图，在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，∠BAD=60°，平面平面ABCD，，，E为上的一点．
(1)求证：平面；
(2)若平面BDE，求三棱锥的体积．
19．如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形．
(1)设M为AD中点，点N在线段PC上且，求证：平面BDN；
(2)若二面角的大小为，，且，求直线BD和平面QCB所成角的正弦值的取值范围．
20．如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.
21．如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若，点D是上一点，且与C在直径AB同侧，.
（ⅰ）设平面平面，求证： ；
（ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.
22．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点在线段上，且．
(1)探究在线段上是否存在点，使得平面，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由．
(2)设二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值．
23．在矩形ABCD中，，.点E，F分别在AB，CD上，且，.沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE.
(1)求证：平面；
(2)求证：与BC是异面直线；
(3)在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求的最大值.
24．如图1，有一个边长为4的正六边形，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，，形成的多面体如图2所示．
(1)证明：．
(2)若二面角的大小为，是线段上的一个动点（与，不重合），试问四棱锥与四棱锥的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
25．在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，过的截面与棱分别交于点.
(1)若为的中点，连接，求三棱锥的体积；
(2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设截面的面积为面积为面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围.