高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示当堂达标检测题，共12页。试卷主要包含了设a＝，b＝，c＝，则·c等于，已知平面向量a＝，b＝等内容，欢迎下载使用。


1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c等于( )
A．12 B．0 C．－3 D．－11
2．已知向量a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值为( )
A.eq \f(8,65) B．－eq \f(8,65) C.eq \f(16,65) D．－eq \f(16,65)
3．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，b方向上的单位向量为e.则a在b上的投影向量为( )
A.eq \f(\r(65),5)e B.eq \r(65)e C.eq \f(\r(13),5)e D.eq \r(13)e
4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)．若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4eq \r(2) B．2eq \r(5) C．8 D．8eq \r(2)
5．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \r(6) B．6 C．12 D．18
6．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于( )
A.eq \f(5,2) B．2 C．1 D.eq \f(7,2)
7．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3,4)，则向量a在b上的投影向量为________(结果用坐标表示)．
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5).若(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，则a与c的夹角的大小为________．
9．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
10.如图，已知A(1,1)，B(5,4)，C(2,5)，设向量a是与向量eq \(AB,\s\up6(→))垂直的单位向量．
(1)求单位向量a的坐标；
(2)求向量eq \(AC,\s\up6(→))在单位向量a上的投影向量的模；
(3)求△ABC的面积S△ABC.
11．已知点A(eq \r(3)，1)，B(0,0)，C(eq \r(3)，0)，设∠BAC的角平分线AE与BC相交于点E，那么有eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))，其中λ等于( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－3 D．－eq \f(1,3)
12.设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若eq \(OA,\s\up6(→))在eq \(OC,\s\up6(→))上的投影向量与eq \(OB,\s\up6(→))在eq \(OC,\s\up6(→))上的投影向量相等，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
13．(多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A．若eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的重心
B．若eq \(OA,\s\up6(→))2＝eq \(OB,\s\up6(→))2＝eq \(OC,\s\up6(→))2，则点O为△ABC的垂心
C．若(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的外心
D．若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))，则点O为△ABC的内心
14．在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则|eq \(ED,\s\up6(→))|＝________.
15．已知菱形ABCD，AC＝2，BD＝4，且eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))，则∠DEC的余弦值为( )
A.eq \f(6\r(31),31) B.eq \f(6\r(37),31) C.eq \f(6\r(31),37) D.eq \f(6\r(37),37)
16．已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3x,2)，sin \f(3x,2)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,2)，－sin \f(x,2)))，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－eq \f(3,2)，求λ的值．
习题课 平面向量数量积的综合应用
1.C 2.C 3.A 4.D 5.D 6.A
7.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(18,25)，\f(24,25))) 8.120°
9.解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
则a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4).
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，
a·b＝10，
∴a(b·c)＝0·a＝0，
(a·b)c＝10·(2，－1)＝(20，－10).
10.解 (1)设a＝(x，y)，
依题意有eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝5，
|a|＝1，
且a⊥eq \(AB,\s\up6(→))，即a·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝0，,x2＋y2＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3,5)，,y＝\f(4,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,5)，,y＝－\f(4,5).))
所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))或a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
(2)设向量eq \(AC,\s\up6(→))与单位向量a的夹角为θ，eq \(AC,\s\up6(→))在单位向量a上的投影向量为h，
则|h|＝||eq \(AC,\s\up6(→))|cs θ|＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))·a|,|a|)
＝|eq \(AC,\s\up6(→))·a|.
又因为eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,4)，所以
当a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))时，
|h|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＋4×\f(4,5)))＝eq \f(13,5)；
当a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)))时，
|h|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1×\f(3,5)＋4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))))＝eq \f(13,5).
所以向量eq \(AC,\s\up6(→))在单位向量a上的投影向量的模为eq \f(13,5).
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||h|＝eq \f(1,2)×5×eq \f(13,5)＝eq \f(13,2).
11.C
12.A [由题图知，要使eq \(OA,\s\up6(→))在eq \(OC,\s\up6(→))上的投影向量与eq \(OB,\s\up6(→))在eq \(OC,\s\up6(→))上的投影向量相等，只需使eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(OC,\s\up6(→))，
即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，
得4a－5b－3＝0，即4a－5b＝3.]
13.AC [对于A，设边BC，AC，AB的中点分别为D，E，F，
eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))，则eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OD,\s\up6(→))＝0，所以eq \(OA,\s\up6(→))＝－2eq \(OD,\s\up6(→))，所以A，O，D三点共线，即点O在中线AD上，同理点O在中线BE，CF上，
则点O是△ABC的重心，故A正确；
对于B，若eq \(OA,\s\up6(→))2＝eq \(OB,\s\up6(→))2＝eq \(OC,\s\up6(→))2，
则|eq \(OA,\s\up6(→))|2＝|eq \(OB,\s\up6(→))|2＝|eq \(OC,\s\up6(→))|2，
所以|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，
所以点O为△ABC的外心，故B错误；
对于C，设边AB，BC，CA的中点分别为点D，E，F，则(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，所以OD为线段AB的垂直平分线，
同理OE，OF分别为线段BC，CA的垂直平分线，所以点O是△ABC的外心，故C正确；
对于D，由已知，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，
即OB⊥CA，也即点O在边AC的高上；同理，点O也在边AB，BC的高上，
所以点O是△ABC的垂心，故D错误.]
14.eq \f(\r(21),2)
解析 如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(0，eq \r(3))，C(3，eq \r(3))，
D(3,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，eq \r(3))，
设eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，
则点E的坐标为(3λ，eq \r(3)λ)，
故eq \(BE,\s\up6(→))＝(3λ，eq \r(3)λ－eq \r(3)).
因为BE⊥AC，所以eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝eq \f(1,4)，
所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(\r(3),4))).
故eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，－\f(\r(3),4)))，
则|eq \(ED,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)))2)
＝eq \f(\r(21),2).
15.D [在菱形ABCD中，设BD，AC交于点O，分别以BD，AC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
由AC＝2，BD＝4，
得A(0,1)，B(－2,0)，C(0，－1)，D(2,0)，
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))，则点B为线段AE的中点，
所以E(－4，－1)，
则eq \(ED,\s\up6(→))＝(6,1)，eq \(EC,\s\up6(→))＝(4,0)，
所以cs∠DEC＝eq \f(\(ED,\s\up6(→))·\(EC,\s\up6(→)),|\(ED,\s\up6(→))||\(EC,\s\up6(→))|)＝eq \f(24,4\r(37))＝eq \f(6\r(37),37).]
16.解 (1)a·b＝cs eq \f(3x,2)cs eq \f(x,2)－sin eq \f(3x,2)sin eq \f(x,2)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2)))＝cs 2x，
|a＋b|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3x,2)＋cs \f(x,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3x,2)－sin \f(x,2)))2)
＝eq \r(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3x,2)cs \f(x,2)－sin \f(3x,2)sin \f(x,2))))
＝eq \r(2＋2cs 2x)＝2eq \r(cs2x)，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs x≥0，
所以|a＋b|＝2cs x.
(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cs 2x－4λcs x，
即f(x)＝2cs2x－1－4λcs x
＝2(cs x－λ)2－1－2λ2.
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以0≤cs x≤1.
①当λ<0时，当且仅当cs x＝0时，
f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1时，当且仅当cs x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，
由已知得－1－2λ2＝－eq \f(3,2)，
解得λ＝eq \f(1,2)；
③当λ>1时，当且仅当cs x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，
由已知得1－4λ＝－eq \f(3,2)，解得λ＝eq \f(5,8)，这与λ>1相矛盾.
综上所述，λ＝eq \f(1,2).