安徽合肥庐阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份安徽合肥庐阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下关于“鱼”的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
3．点，，，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，D为BC边上的一点，且．若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为，当时，的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
7．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，在正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段长为半径作圆，与底边的延长线交于点F，矩形称为黄金矩形．若，则为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论：①；②；③；④若m为任意实数，则，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3B．4C．D．5
二、填空题
11．已知，则 ．
12．如图，是的直径，点C、D是上的点，若，则的度数为 ．
13．如图，在中，，，D为边上一点，且，E为上一点，若，则的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作轴，交反比例函数的图象于点C，过点C作轴于点D，与直线交于点E．
（1）若，，则 ；
（2）若，则b与k的数量关系是 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，的三个顶点坐标分别是，，．
(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为；
(2)若点在边上，直接写出点P位似后对应点的坐标______．
17．唐代桨轮船是原始形态的轮船．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为6m，轮子的吃水深度为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
18．某商场试销一种服装，成本为每件60元，经试销发现，每天销售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数，当销售单价为多少元时，能使每天的利润最大？求出最大利润．
19．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为的河床斜坡边，斜坡长为42米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为，平行于水平线长为米，求桥墩的高（结果保留1位小数）．（，，，）
20．如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，．
(1)求证：平分；
(2)过点C作交AB的延长线于点F，若平分，，，求半径的长．
21．如图，在中，点D，E分别在边，上，、的延长线相交于点F．
图1 图2
(1)如图1，若，，，，求的长；
(2)如图2，若，求证．
22．如图1，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
图1 图2
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线对称轴上的点，若最小，求点M的坐标：
(3)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），若的面积为3，求点P的坐标．
23．如图，在中，，，D为边上一点，于E，连接并延长交于F．
(1)若，，求的长；
(2)若，求证：．
(3)若，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；是解决问题的关键．
【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故符合题意．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到：；
故选D．
3．D
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可．掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点，，，均在抛物线上，且，
∴；
故选D．
4．A
【分析】本题考查求角的余弦值，根据，设，，勾股定理得到，再利用，求解即可．
【详解】解：∵，
设，，
则：，
∴；
故选A．
5．C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，得到相似比为，进而得到两个三角形的面积比为，求出的面积，进而求出的面积即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴的面积为8，
∴的面积为；
故选C．
6．B
【分析】由反比例函数的对称性，可以得出点A的横坐标，再根据图象就可以写出y1＜y2时，x的取值范围．
【详解】解：由函数的中心对称性可得点A的横坐标为2，
由图象可得，
当y1＜y2时，x＜-2或0＜x＜2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，理解当一次函数的值小于反比例函数的值时，相应的自变量的取值范围，从图象上可以直观得到．
7．A
【分析】本题考查网格中的三角函数值，过点作，等积法求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可．解题的关键是构造直角三角形．
【详解】解：过点作，
由图可知：，
∴，
∴，
∴；
故选A．
8．D
【分析】结合题意可得，和是扇形的边，则，根据正方形性质可得，，因为是的中点，则；根据勾股定理可得，直角中，，即，综合可得即可求得的值．
【详解】解：依题得：，
设，
则正方形中，，，
是的中点，
，
又，
，
在直角中，，
即
，（舍去），
．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解，解题关键是找到和两个等量关系式列一元二次方程．
9．C
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．根据开口方向，对称轴以及图象与轴的交点，判断①；特殊点判断②；特殊点结合对称轴判断③，最值判断④．掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
【详解】解：抛物线开口向上，，对称轴为，
∴，
图象与轴交于负半轴，
∴，
∴；故①正确；
∵，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：；故②正确；
∵，，
∴，
∴；故③错误；
当时，函数有最小值，
∴对于任意实数都有：，
∴；故④正确；
综上，正确的有3个；
故选C．
10．A
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
∵为的中点，，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上，
当C，Q，G三点共线时，最大，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即的最大值为．
故选A
11．
【分析】设的公比为k，则，，代入求解即可得到答案；
【详解】解：设的公比为k，则，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是设出公比表示出x，y．
12．/25度
【分析】本题考查圆周角定理．根据直径所对的角是直角，同弧所对的圆周角相等，得到，再根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
∴；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，由等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：过点作，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即：，
∴．
故答案为：．
14． 1
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用图象中各个点的坐标之间的关系是解此题的关键．
（1）先分别求解A，B，C，D，E的坐标，再计算即可；
（2）先求出A坐标，可以得到C的坐标，由，可以得E的坐标，把E的坐标代入直线即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴，，
当，，当，，
∴，，
当时，，
∴，
当时，，则，
∴，
∴；
故答案为：1
（2）∵，
当时，；当时，，
∴点A的坐标为，，
∵轴，且点C在反比例函数的图象上，
∴点C的坐标为，
∵，轴，
∴点E的坐标为，
把代入得：
，
解得：．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了三角函数的混合计算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
．
16．(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查坐标与位似．掌握位似图形的性质，是解题的关键．
（1）根据位似图形的性质，画出即可；
（2）根据坐标轴中以原点为位图中心的两个图形上的点的坐标关系进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）∵与的位似比为，两图形在原点的异侧，
∴点位似后对应点的坐标，即：；
故答案为：．
17．该桨轮船的轮子直径为
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．连接，构建，利用勾股定理求出轮子的直径．
【详解】解：依题意，得，，
如图，连接，设轮子的直径为，则其半径为，

在中，,
解得，
答：该桨轮船的轮子直径为．
18．当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．先根据利润=每件的利润×销售量表示出利润，然后利用二次函数的性质求最大值即可．
【详解】解：设每天的利润为元，而，
则
，
∵，
∴函数有最大值，
∴当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元．
19．桥墩的高为米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．延长交于点，在中，求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可．解题的关键是构造直角三角形．
【详解】解：延长交于点，则：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
答：桥墩的高为米．
20．(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由圆周角定理得到，根据得，，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含角的直角三角形的性质可得，在中，根据含角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【详解】（1），
，
，
，
平分；
（2）平分，
，
，即，
为圆直径，
，
，
即，
，
，
，
，
是等边三角形，则，
平分，
，
四边形是圆内接四边形，
则，
，
，
，
，
，
为圆直径，
此圆半径的长为．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）先证明，再利用相似三角形的性质进行求解即可；
（2）如图，过作于，证明，，再利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）如图，过作于，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
22．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据对称性，得到，进而得到当三点共线时，最小，求出的解析式，直线与对称轴的交点即为点；
（3）连接，根据，列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，
∴设，把，代入，得：，
∴，
∴；
（2）∵关于对称轴对称，
∴，
∴当三点共线时，最小，
∵，，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，
∴当时，，
∴；
（3）设点，连接，
由题意，得：
，
解得：或，
∴或．
23．(1)5
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可；
（2）延长至点，，连接，证明，进而得到，得到是等腰直角三角形，进而得到，对顶角相等，即可得证；
（3）取的中点，连接，利用中位线定理，得到，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
即：，
∴；
（2）证明：延长至点，，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）取的中点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质．掌握等腰三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．