宁夏回族自治区吴忠市盐池县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份宁夏回族自治区吴忠市盐池县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件中是不可能事件的是( )
A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨
3．二次函数的图象必经过点（ ）
A．（2，4）B．（-2，-4）C．（-4，2）D．（4，-2）
4．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．5B．C．3D．
5．将抛物线y＝x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2+4B．y＝（x﹣2）2﹣4C．y＝（x﹣2）2+4D．y＝（x+2）2﹣4
6．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转某个角度后得到，其中点A，B，C的对应点是点，，，那么旋转中心是( )
A．点QB．点PC．点ND．点M
7．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则等于（ ）

A．120°B．125°C．130°D．145°
8．一次函数与二次函数在同一坐标系的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．一元二次方程化成一般形式为 ．
10．已知点与点关于原点对称，则 ．
11．有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，若要求出未知数x，则应列出方程： （列出方程即可，不要解方程）．
12．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，则以2.6cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是 ．
13．如图，将转盘六等分，分别涂上红、黄、绿三种颜色，则指针落在红色区域的概率是 ．
14．如图，在一张直径为20cm的半圆形纸片上，剪去一个最大的等腰直角三角形，剩余部分恰好组成一片树叶图案，则这片树叶的面积是 cm2．
15．如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．
16．为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得，则铁环的半径是 ．

三、解答题
17．解下列方程：．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)请画出，使与关于原点对称；
(2)分别写出，，的坐标．
19．已知关于x方程x2+ax+a﹣5＝0．
（1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20．深圳某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？
(2)求测试结果为等级的学生数，并补全条形图；
(3)若从体能为等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
21．如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，求阴影部分的面积（结果保留）．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，5）．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）连接AC、BC，求△ABC的面积．

23．如图，在中，是直径，是弦，．
(1)是上一点（不与C、D重合），求证：；
(2)点在劣弧上（不与C、D重合）时，与有什么数量关系？请证明你的结论．

24．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．

(1)求的长；
(2)若，求证：为的切线．
25．【探索发现】有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1，以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆．
【理解应用】我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题：如图2．在中， ，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图3，在中，， ，，请求出的最小覆盖圆的半径．
26．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x＋80，设这种产品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式．
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
参考答案：
1．B
【详解】A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选B．
2．C
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；
C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；
D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；
故选C.
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．A
【分析】逐项代入即可解题.
【详解】解：将（2,4）坐标代入函数解析式得,
4=22,其余选项均不能使等式成立,
故选A.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉二次函数的性质是解题关键.
4．B
【分析】本题考查了根与系数关系定理，根据定理，计算即可．
【详解】∵、是一元二次方程的两个根，
∴，
故选B．
5．B
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【详解】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的图象的顶点坐标为（2，-4），
所以，所得图象的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象的特征，根据平移规律确定表达式是解答此题的关键，即上加下减，左加右减.
6．C
【分析】由图形绕某点旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等）可知旋转中心.
【详解】解：点A的对应点是点，由图像可得，根据旋转的性质可知点M、P、Q都不是旋转中心，只有，且，所以点N是旋转中心.
故选C
【点睛】本题考查了图形的旋转，可由旋转的性质确定旋转前后两个图形的旋转中心，灵活应用旋转的性质是解题的关键.
7．A
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论．
【详解】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，

∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，
∴OD=OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
∴OD=BC，
∴BC=OE=OB=OC，
是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
8．C
【分析】先由二次函数的图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，，而一次函数中， ，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，，，，由直线可知，，，故本选项符合题意；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式． 直接去括号，然后移项，即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
故答案为：
10．3
【分析】直接利用关于原点对称点的性质即可得出答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
．
故答案为：3
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
11．
【分析】根据题意可得，每轮传染中平均一个人传染了x个人，经过一轮传染之后有人感染流感，两轮感染之后的人数为121人，依此列出二次方程即可.
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题可得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题与一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
12．相交
【分析】由勾股定理可求AB的长度，根据三角形的面积公式可求点C到直线AB的距离，即可判断⊙C与直线AB的位置关系．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
设点C到直线AB的距离为d，
∵S△ABC＝AB×d＝×AC×BC
∴5d＝12
∴d＝
∵d＜r＝2.6
∴⊙C与直线AB的位置关系为相交，
故答案为：相交．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式，若设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则①直线l和⊙O相交⇔d＜r，②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
13．/
【分析】直接根据概率公式计算即可．
【详解】由图可知转盘共分成六份，而红色占三份，
则指针落在红色区域的概率是，
故答案为．
【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
14．50π﹣100
【分析】根据圆的性质得到当点C为半圆的中点时，△ABC为等腰直角三角形，且面积最大，根据等腰直角三角形的面积公式、圆的面积公式计算即可．
【详解】解：当点C为半圆的中点时，△ABC为等腰直角三角形，且面积最大，
∵AB＝20，
∴AC＝BC＝10 ，
∴这片树叶的面积＝ π×102﹣ ×10×10＝50π﹣100．
故答案为50π﹣100．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，扇形面积计算，得出树叶的面积等于半圆的面积减去等腰直角三角形的面积是解题的关键．
15．或
【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）
而对称轴x＝1
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）
当＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣1或x＞3
故答案为x＜﹣1或x＞3．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
16．/厘米
【分析】连结，证明，则, 即可求得．
【详解】解：如图, 连结.

则，
又
∴，
∴,
∴.
故答案为：
【点睛】本题考查的的是切线的性质、全等三角形的判定、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键.
17．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解：依题意，，
则，
∴，
即，．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了中心对称作图，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
（1）首先确定A、B、C三点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称点的坐标特点即可解答．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
（2）解：∵，，，
∴根据关于原点对称点的性质可得：．
19．（1），另一根是；（2）见详解．
【分析】（1）将方程的根代入可求得a的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根；
（2）用a表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论．
【详解】解：将x=3代入方程x2+ax+a-5=0可得：
9+3a+a5=0，
解得：a=1；
∴方程为，设另一根为x，
则3×x=6，解得x=2，
即方程的另一根为2；
（2）证明：
∵△=，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键，即①△＜0⇔一元二次方程无实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＞0⇔一元二次方程有两个相等的实数根．
20．(1)
(2)，统计图见解析
(3)
【分析】（1）根据A等级的人数和百分比得出总人数；
（2）根据总人数得出C等级的人数；
（3）根据题意画出树状图，然后根据概率公式得出答案．
【详解】（1）本次抽样调查抽查的人数为人，
（2）C等级人数为，
补全图形如下：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率．
【点睛】本题主要考查的是条形统计图与扇形统计图以及画树状图法求概率．明确频数、频率与样本容量之间的关系是解题的关键．
21．
【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，先求解，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
，
故答案为：．
22．（1）；（2）
【分析】（1）由条件直接设出抛物线的顶点式，把C点的坐标代入解析式就可以求出值，从而求出解析式；
（2）连接AC、BC，利用解析式求出A、B的坐标，从而求出AB的值，由三角形的面积公式就可以求出△ABC的面积．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，
把C（0，4）代入中得：
，
，
抛物线的解析式为：；
（2）如图所示：

连接AC、BC，
抛物线的解析式为，
当时，则，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查二次函数综合题，设计了抛物线的顶点式以及三角形面积的求法，熟练掌握待定系数法和x轴交点的求法是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理知，，得到∠COB=∠DOB=∠COD，由圆周角定理知：∠CPD=∠COD，等量代换即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的对角互补及圆周角定理可以得出结论．
【详解】（1）连接．
∵是直径，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）．理由如下：
连接．
∵， ．
又∵，
∴，
∴．

【点睛】本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．熟练掌握相关定理是解题的关键．
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可；
（2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵是的直径，且，
∴，
∵E为上一点，且，
∴，
∴，
∴的长；

（2）证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键
．
25．【理解应用】见解析；【拓展提升】2
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，作三角形的外接圆，垂径定理，圆周角定理的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键．
理解应用：利用尺规作，的垂直平分线，得到交点，即为圆心，从而可得答案；
拓展提升：连接、，过O作，求解，可得，证明，再利用勾股定理可得答案．
【详解】理解应用：
解：由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心在每条边的垂直平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O，连接，则为半径，画图如下：
拓展提升：
如图，的最小覆盖圆为的外接圆
连接、，过O作
，
（圆周角定理）
，则是等腰三角形
在中，
由勾股定理得：
解得：
故的最小覆盖圆的半径为2；
26．(1)与之间的函数关系式为
(2)该产品销售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【分析】（1）根据“总利润单件利润销售量”得出函数解析式；
（2）把（1）中解析式配方，根据二次函数的性质求函数最值即可．
【详解】（1）解：根据题意得，，
与之间的函数关系式为；
（2）解：由（1）可得：
，
，
当时，每天的利润最大，最大利润为：，
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据利润的相等关系得出函数解析式是解题的关键．