安徽省合肥市一六八中学2024届高三上学期期末模拟数学试卷(含答案)

安徽省合肥市一六八中学2024届高三上学期期末模拟数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．设集合,,则( )A. B. C. D.2．复数在复平面内对应的点位于( )A.直线上 B.直线上C.直线上 D.直线上3．已知,,则( )A. B. C. D.4．已知,,若在向量上的投影为,则向量( )A. B. C. D.5．若数列满足,且,,,则( )A. B. C. D.6．尽管目前人类还无法精准预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系式为.2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2017年8月8日我国四川九寨沟县发生里氏7.0级地震的( )A.32倍 B.65倍 C.1000倍 D.1024倍7．有很多立体图形都体现了数学的对称美,其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体因其最早由阿基米德研究发现,故也被称作阿基米德体.如图,这是一个棱数为24的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E为线段BC的中点,且,则该半正多面体外接球的表面积为( )A. B. C. D.8．已知正数a,b满足,则( )A. B. C.1 D.二、多项选择题9．在学校组织的《爱我中华》主题演讲比赛中,有10位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列选项错误的是( )A.剩下评分的平均值变大 B.剩下评分的极差变小C.剩下评分的方差变小 D.剩下评分的中位数变大10．已知函数(,)的最小正周期为,将该函数的图象向左平移个单位后,得到的图象对应的函数为偶函数,则下列说法正确的是( )A.函数的图象关于直线对称B.函数在区间上单调递增C.D.函数的图象关于点对称11．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,若M为C的准线上任意一点,则( )A.直线若AB的斜率为,则B.的取值范围为C.D.的余弦有最小值为12．已知函数,,则下列说法正确的是( ).A.函数的极大值为B.当时,用二分法求函数在区间内零点的近似值,要求误差不超过0.01时,所需二分区间的次数最少为6C.若函数在区间上单调递增,则a的取值范围为D.若不等式在区间上恒成立,则a的取值范围为三、填空题13．甲,乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入,且他们加入的社团不同,则他们加入的都是球类运动社团的概率是________.14．已知数列满足,,,则________.15．如图,在圆锥中,AC为底面圆O的直径,,点B在底面圆周上,且.若E为线段AB上的动点,则的周长最小值为________16．已知定义在的严格增函数与.若对任意实数,存在实数a和b,不等式恒成立,则实数m的取值范围是________.四、解答题17．在内,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.（1）求角的值;（2）若的面积为,,求的周长.18．已知数列的前n项和为,,等比数列的公比为2,.（1）求数列,的通项公式;（2）令,求数列的前10项和.19．如图,在四棱锥中,底面ABCD为梯形,,,,,平面平面ABCD,E为棱PC上的点,且.（1）求证:平面PAD;（2）若,二面角为,求平面APB与平面PBC的夹角的余弦值.20．篮球是一项风靡世界的运动,是深受大众喜欢的一项运动.（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关,随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查,得到如上列联表,判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.附:,.（2）校篮球队中的甲,乙,丙三名球员将进行传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第次触球者是甲的概率记为,即.①求(直接写出结果即可);②证明:数列为等比数列,并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小.21．已知双曲线(,)的右顶点为A,左焦点为F,过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直,垂足为N,且.（1）求C的方程.（2）过点的直线交C于,两点,直线AP,AQ分别交y轴于点G,H,试问在x轴上是否存在定点T,使得?若存在,求点T的坐标;若不存在,请说明理由.22．已知函数,的图象在点处的切线方程为.（1）求的解析式;（2）证明:,恒成立.参考答案1．答案：B解析：在中,由得,即,又由可得:,解得:,即,故.故选:B.2．答案：A解析：,所以复数z在复平面内对应的点为,显然点在直线上.故选:A3．答案：A解析：,则,.故选:A4．答案：D解析：由题意.故选:D5．答案：A解析：令,根据已知可得,令,则,所以,所以数列是首项和公比都为的等比数列,所以是首项为,公比为的等比数列前1012项之和.所以.故选:A6．答案：C解析：设里氏9.0级和7.0级地震释放出的能量分别为和.由,可得,则.故.故选:C.7．答案：C解析：将半正多面体补成正方体,建立如图所示的空间直角坐标系.令正方体的棱长为2a,则,,,,,所以,,所以,解得,则正方体的棱长为.令该半正多面体外接球的半径为r,即,,则外接球的表面积为.故C项正确.故选:C.8．答案：A解析：由,设,则,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,则,故,当且仅当,即时取等号;设,则,当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,故,当且仅当时取等号,又,则,此时,,则.故选:A9．答案：AD解析：去掉一个最低评分和一个最高分后剩下评分的平均值有可能变小,不变或变大,A错误;剩下评分的极差一定会变小,B正确;剩下评分的波动性变小,则方差变小,C正确;剩下评分的中位数不变,D错误.故选:AD.10．答案：BCD解析：因为函数的最小正周期为,则,故,将该函数的图象向左平移个单位后,得到的图象,因为得到的图象对应的函数为偶函数,所以,即,因为,所以,故,对于A,当时,则,故A错误;对于B,令,,得,当时,在区间上单调递增,故B正确;对于C,,故C正确;对于D,,故D正确.故选:BCD.11．答案：BCD解析：对于A选项,由题知,AB的斜率为,则,代入整理得:,设,,则而;故A项错误;对于B选项,以焦点弦AB为直径的圆与准线相切,M为C的准线上任意一点,则点M在以AB为直径的圆上或圆外,,当M在直线AB上时,,即的取值范围为,故B项正确;对于C选项,设,,,设,联立,消元得:,则故,故C项正确;对于D选项,,即的余弦的最小值为,故D项正确.故选:BCD.12．答案：ACD解析：,,所以在区间上,,单调递增;在区间上,,单调递减,所以当时,取得极大值为,所以A选项正确.当时,,在上单调递增,依题意,,在R上单调递减,,,,所以所需二分区间的次数最少为7,所以B选项错误.对于C选项,,由函数在区间上单调递增,得在区间恒成立,即在区间恒成立,当时,显然成立,当时,设,,所以在区间上,,单调递减;在区间上,,单调递增.所以,,综上所述,a的取值范围是.对于D选项,不等式在区间上恒成立,即在区间上恒成立,即在区间上恒成立,设,,在上单调递减,当时,,所以在区间上,,单调递增;在区间上,,单调递减,所以,则a的取值范围为,D选项正确.故选:ACD13．答案：/0.3解析：总的样本点的个数为20,事件“他们加入的都是球类运动社团”包含的样本点有6个,故所求概率为.故答案为:.14．答案：128解析：由题意知,,即,又,所以数列是首项为,公比为4的等比数列,所以,当时,,所以.故答案为:12815．答案：解析：连接OB,依题意平面ABC,而OA,OB,平面ABC,所以,,,,O是AC的中点,则,由于,所以,则三角形SAB是等边三角形,三角形ABC是等腰直角三角形,将三角形和三角形ABC展开在同一个平面,如下图所示,连接SC,交AB于E,在三角形SAC中,由余弦定理得,所以的周长最小值为.故答案为:16．答案：解析：因为在上是严格增函数,所以在上恒成立,即在上恒成立,而,故;因为对任意实数,存在实数a和b,不等式恒成立,又,所以,即,则,且在上恒成立,令,则,恒成立,若,则存在使得在恒成立,故存在使得成立,故,故,当且仅当时等号成立,若,不妨设,若即,则存在a,b,使得成立即,故,而,故即.此时,可使得等号成立,若,则存在a,b,使得成立,故,故,综上:.故答案为:.17．答案：（1）（2）解析：（1）由,得由正弦定理,得...又,.又,.又,.（2）由（1）知,①又,故,,②又,由①②,得,故,,故,周长为.18．答案：（1）,（2）772解析：（1）当时,,,,等比数列的公比为2,则有,由,可得.当时,.经检验,当时,满足上式,所以.（2）,设的前10项和为,.19．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明:设点F为PD的一个三等分点,且,连接EF,AF,因为,,所以,,又因为,,所以,,所以四边形ABEF是平行四边形,所以,又因为平面PAD,平面PAD,所以平面PAD.（2）因为,平面平面,且平面平面PCD,所以平面PCD,所以,所以为二面角的平面角,为以D为原点,DA,DC分别为x,y轴,过D作,建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,设平面PAB的法向量为,则令,得;同理,,,设平面PBC的法向量为,则,令,则,,所以,所以平面APB与平面PBC的夹角的余弦值为.20．答案：（1）有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.（2）①;②证明见解析,第9次触球者是甲的概率大.解析：（1）假设:喜爱篮球运动与性别独立,即喜爱篮球运动与性别无关.根据列联表数据,经计算得,根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.（2）①由题意得:第二次触球者为乙,丙中的一个,第二次触球者传给包括甲的二人中的一人,故传给甲的概率为,故.②第n次触球者是甲的概率记为,则当时,第次触球者是甲的概率为,第次触球者不是甲的概率为,则,从而,又,是以为首项,公比为的等比数列,,,,故第9次触球者是甲的概率大.21．答案：（1）（2）存在,解析：（1）因为FN的斜率为1,且,所以,即,因为,则,所以,由,则,所以双曲线C的方程为;（2）设直线AP的方程为,AQ的方程为,则,,设存在定点,使得,则,所以.当PQ不垂直于x轴时,设直线PQ的方程为,联立方程组,消去y得,,所以,.因为,所以,所以,即存在定点,使得;当PQ垂直于x轴时,直线PQ的方程为,联立方程组,解得,设,由,得,所以存在定点,使得;综上,在x轴上存在定点,使得.22．答案：（1）（2）证明详见解析解析：（1）依题意可知,切点为,切线的斜率为,,,则,即,解得,所以.（2）要证明,恒成立,即证明,恒成立,即证明,恒成立,设,,当时,,令,即,设,,在上单调递增,,,所以存在唯一,使得,,,,所以当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以,令,,令,,所以在上单调递增,所以,是,则在上单调递增,所以,所以,所以,恒成立,所以,恒成立.喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计801202000.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828