泰安市泰山外国语学校2024届高三上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份泰安市泰山外国语学校2024届高三上学期期末考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,若对于任意实数对,存在,使得 成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①;②;③;④.其中是“垂直对点集”的序号是( )
A.①②④B.②③C.③④D.①③④
2．“”是“函数的图象关于直线对称”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．下列结论中不正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是平行四边形”是存在量词命题;
②命题“,”是全称量词命题;
③命题,.则,.
A.0B.1C.2D.3
4．围棋起源于中国,已有四千多年的历史,“琴棋书画”之“棋”指的就是围棋.围棋棋盘有个交叉点,从上往下、从左往右数,第m行第n列的交叉点记为,例如,第3行第2列的交叉点记为.在所有的中,不同数值的个数为( )
A.17B.18C.19D.20
5．过直线上的点P作圆的两条切线,,当直线,,关于直线对称时,点P的坐标为( )
A.B.C.D.
6．设复数z的共轭复数是,且,又复数对应的点为Z,与为定点,则函数取最大值时在复平面上以Z,A,B三点为顶点的图形是( )
A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形
7．下列函数的最小值为的是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
8．函数与直线（t为常数）公共点个数可能是( )
A.0B.1C.2D.3E.4
9．若展开式的二项式系数之和为64,则下列结论正确的是( )
A.该展开式中共有6项B.各项系数之和为1
C.常数项为-60D.只有第4项的二项式系数最大
10．山东省某地区2013年至2022年生产总值指数分别为112.2,108.1,108.7,108.7,109.5,108.9,108.1,104.0,107.3,104.3,则( )
A.这组数据的极差为8.2B.这组数据的众数为108.1
C.这组数据的中位数为108.4D.这组数据的上四分位数为108.9
11．已知数列满足,,则的值可能为( )
A.1B.-1C.D.
12．已知圆,则( )
A.存在2个不同的a,使得圆C与x轴相切
B.存在2个不同的a,使得圆C在两坐标轴上截得的线段长度相等
C.存在2个不同的a,使得圆C过坐标原点
D.存在2个不同的a,使得圆C的面积被直线平分
三、填空题
13．已知集合,则____________.
14．设、、…、是各项不为零的等差数列,,且公差,若将此数列删去某一项后,得到的数列（按原来顺序）是等比数列,则满足题意的所有数对为________________.
15．已知函数,其中且.若存在两个极值点,,则实数a的取值范围为______________.
四、双空题
16．两位数m和两位数n,它们各个数位上的数字都不为0,将数m和数n的个位数字与十位数字交叉相乘再求和所得的结果记为.例如：.又如：.则_________;若一个两位数,两位数（,,且a,b都取整数）,交换m的十位数字和个位数字得到新两位数,当与n的个位数字的5倍的和能被11整除时,称这样的两个数m和n为“快乐数对”,则所有“快乐数对”的最大值为____________.
五、解答题
17．在的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,.
(1)求的值;
(2)求的值.
18．已知等差数列满足,,公比不为-1的等比数列满足,.
(1)求与通项公式;
(2)设,求的前n项和.
19．如图,已知正方体的棱长为2,点M为正方形的内切圆上的动点.
(1)在线段上是否存在点N,使得恒成立,若存在,求出点N的位置,若不存在,说明理由;
(2)当点M落在线段靠近点上时,求二面角的余弦值.
20．已知圆心为C的圆经过点和,且圆心在直线上,求：
(1)求圆心为C的圆的标准方程;
(2)若过点作圆C的切线,求该切线方程;
(3)若圆C上恰有3个点到直线：的距离为1,求实数m的值.
21．轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量,更是食材烹饪方式简约,保留食材本来的营养和味道,近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热,轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据,对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的消费者称为青少年,年龄在的消费者称为中老年,每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低,不低于4次的称为食用轻食频率高,根据小概率值的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联;
(2)从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样,从中抽取8人,再从这8人中随机抽取3人,记这3人中年龄在与的人数分别为X,Y,,求的分布列与期望;
(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食,且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种,已知小李在某天早餐随机选择一种轻食,如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁,则晚餐选择低卡甜品的概率分别为,,,求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
参考公式：,.
附：
22．回答下列问题
（1）设x,用反证法证明：若,则或.
（2）设,比较与的值的大小.
参考答案
1．答案：B
解析：对于①,若,,易知,,
且,同号或异号,显然不成立,即①不符合题意;
不妨设,,则,
对于②,如图所示,显然对于上任意一点A,在上总存在点B,
满足,即②符合题意;
对于③,如图所示,显然对于上任意一点A,在上总存在点B,
满足,即③符合题意;
对于④,注意到对于上点,此时与OA垂直的过原点的直线为y轴,
y轴与无交点,即上不存在点B,满足,即④不符合题意.
故选：B.
2．答案：A
解析：若,则当,可得,为最大值,
所以函数的图象关于直线对称,即充分性成立;
若函数的图象关于直线对称,
则,,解得,,
不一定成立,即必要性不成立;
综上所述：“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：D
解析：对于①,“所有的四边形都是平行四边形”,是全称量词命题,故①错误;
对于②,“,”,是存在量词命题,故②错误;
对于③,命题,,则,,故③错误.
故选：D.
4．答案：C
解析：如图,以围棋棋盘所在的平面建立平面直角坐标系,并使最下一行恰好在直线上,最左一列恰好在直线上.
则的坐标对应坐标系中的点,的坐标对应坐标系中的点,点的坐标对应坐标系中的点.
所以,,
所以,.
因为,且,
所以m有19个不同数值,也有19个不同数值,
所以,也有19个不同数值.
故选：C.
5．答案：B
解析：圆的圆心为,
直线,关于直线对称时,CP与直线垂直,
所以直线CP的方程为,
由解得,所以.
故选：B
6．答案：D
解析：,设,
,
则,
当,即,时,,
则最大值为,
此时,则,
,
,,,
则,则对应三角形为等腰三角形.
故选：D.
7．答案：B
解析：对于A：因为,又在上单调递减,
所以当时,故A错误;
对于B：将两边平方得,
因为,所以（当或时等号成立）,又,
所以,故B正确;
因为,所以,当且仅当,即时取等号,故C错误;
对于D：,又,在上单调递增,
所以当,即时,故D错误.
故选：B.
8．答案：ABC
解析：作出的图象（实线部分）,
所以函数,与直线（t为常数）公共点个数可能是0,1,2.
故选：ABC.
9．答案：BD
解析：因为二项式系数之和为64,即有,所以,
则该展开式中共有7项,A错误;
令,得该展开式的各项系数之和为1,B正确;
通项,
令,得,,C错误;
二项式系数最大的是,它是第4项的二项式系数,D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：将数据112.2,108.1,108.7,108.7,109.5,108.9,108.1,104.0,107.3,104.3从小到大排成一列：
104.0,104.3,107.3,108.1,108.1,108.7,108.7,108.9,109.5,112.2
对于选项A,极差为,所以选项A正确;
对于选项B,众数为108.1,108.7,所以选项B错误;
对于选项C,中位数为,所以选项C正确;
对于选项D,因为,故上四分位数为108.9,所以选项D正确,
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：因为,所以,
所以,所以,
所以或,
当时,是首项为1公比为的等比数列,所以;
当时,可得,下面用数学归纳法证明：
当时,,成立,
当,假设成立,
当时,因为,所以,成立,
由上可知,成立,此时;
当,均在数列中出现时,由可得,B选项不可能;
当,,时,最大,
此时,,故C不可能.
故选：AD.
12．答案：AC
解析：由题意可知,,且圆C的圆心为,半径为1.
对于A选项,若圆C与x轴相切,则,解得或,A对;
对于B选项,若圆C在两坐标轴上截得的线段长度相等,则,可得,
圆C截x轴所得弦长为,圆C截y轴所得弦长为,
所以,,所以,,
令,,其中,
所以,,
所以,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,当时,,,
所以,函数在上无零点,函数在上只有一个零点,B错;
对于C选项,若圆C过原点,则,
由图可知,与有两个交点,所以满足要求的a有2个,故C正确;
对于D选项,若圆C的面积被直线平分,则直线y=x−1过圆心C,
所以,,即,
令,其中,则.
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
所以,,
因此,存在唯一的a,使得圆C的面积被直线平分,D错.
故选：AC.
13．答案：1
解析：易知.,
,即,
,.
又由集合中元素的互异性,知,
,
故.
故答案为：1.
14．答案：,
解析：设数列的公差为d,
则各项分别为：,,,···,且,
假设去掉第一项,则有,解得,不合题意;
去掉第二项,有,化简得：即,解得,
因为数列的各项不为零,所以数列不会出现第五项,所以数对;
去掉第三项,有,化简得：即,解得则此数列为：a,,,,···此数列仍然不会出现第五项,因为出现第五项,数列不为等比数列,所以数对
去掉第四项时,有,化简得：,不合题意;
当去掉第五项或更远的项时,必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况,即,不合题意.
所以满足题意的数对有两个为;.
故答案为：;
15．答案：
解析：对函数求导得：,
因为存在两个极值点,所以有两个不同的变号零点.
令,有 ,令,,
所以与有两个交点;
当时,,,
设过原点的直线与的切点坐标为,
切线斜率为,
所以切线方程为：,
将原点坐标带入切线方程得.
此时切线的斜率为：,现在需要有两个交点,
即,因为,有,所以,所以;
同理知当时,,,即,所以.
综上知：a的取值范围为.
故答案为：.
16．答案：48;58
解析：①由题得：;
②因为一个两位数,两位数,
且,,a,b都取整数,
根据题意有,n的个位数字为,
所以,
因为能被11整除,
所以,
所以为整数,
因为,,所以,
当,,
当,,
所以当,,,
此时,
当,,,
此时,
故的最大值为58.
故答案为：48;58.
17．答案：(1);
(2).
解析：（1）因为,A为三角形内角,
所以A为锐角,可得,可得,
所以.
（2）因为,所以,
所以.
18．答案：(1),
(2)
解析：（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
则,解得,,则;
,由于,则,
故解得,,则.
（2）,
所以.
19．答案：(1)存在,N在四等分的三等分点处（靠近）
(2)
解析：（1）如图,连接AC,BD,设,连接,
分别以OA,OB,所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
可得,
设,,且有,
,,
,
可得
所以线段上存在点N使得恒成立,
且
（2）可得,连接AM,MB,MC,MO,
,,
设平面AMB的法向量为,则,故
取,,,所以是平面AMB的一个法向量.
设平面CMB的法向量为,则,故
取,则,,所以是平面CMB的一个法向量.
所以有,
由于二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.
20．答案：(1)
(2)或
(3)-21或19
解析：（1）因为点和,
所以线段AB的中点为,,
则线段AB的中垂线方程为,即,
由 ,解得,则圆心为,,
所以圆的方程为：;
（2）当直线的斜率不存在时,直线方程为,
则圆心到直线的距离,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,
因为直线与圆相切,
所以圆心到直线的距离等于半径,即,
解得或,
所以切线方程为;或;
（3）因为圆C上恰有3个点到直线：的距离为1,
所以圆心到直线的距离为,解得或.
21．答案：(1)有关
(2)分布列见解析;
(3)
解析：（1）补全的列联表如下：
所以,
所以有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关.
（2）由数表知,利用分层抽样的方法抽取的8人中,年龄在,内的人数分别为1,2,
依题意,的所有可能取值分别为为0,1,2,
所以,
,
,
所以的分布列为：
所以的数学期望为.
（3）记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁,分别为事件A,B,C,
晚餐选择低卡甜品为事件D,
则,,,,,
所以,
所以小李晚餐选择低卡甜品的概率为.
22．答案：（1）证明见解析
（2）答案见解析
解析：（1）假设且,则,与已知条件矛盾,
所以假设不成立,即或.
（2）,
当时,,
当时,,
当时,.
使用频率
偶尔1次
30
15
5
10
每周次
40
40
30
50
每周次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青少年
中老年
合计
食用轻食频率低
125
95
220
食用轻食频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2
P