人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练，共12页。试卷主要包含了D　2，eq \f　8等内容，欢迎下载使用。

1．在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
2．在四边形ABCD中，若eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－6,2)，则该四边形的面积为( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．5 D．10
3．已知△ABC满足eq \(AB,\s\up6(→))2＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
4．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3\(OA,\s\up6(→))－\(OB,\s\up6(→)),2)，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
5.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且eq \(DE,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，则|eq \(DE,\s\up6(→))|等于( )
A.eq \f(5,2) B．2eq \r(3)
C．3 D．2eq \r(2)
6．在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足eq \(BM,\s\up6(→))＋2eq \(CM,\s\up6(→))＝0，若eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)，则BC的长为( )
A．1 B.eq \f(3,2) C．2 D．3
7．在△ABC中，M是线段BC的中点，且|eq \(AM,\s\up6(→))|＝1，若P为△ABC的重心，则(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→)))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝________.
8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))·eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
9.如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形．
10.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．
(1)若AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，求eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))的值；
(2)若AB＝eq \r(3)，BC＝2，当eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝0时，求CF的长．
11．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
12．在△ABC中，设eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))2＝2eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，那么动点M形成的图形必经过△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
13．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq \f(PA2＋PB2,PC2)等于( )
A．2 B．4 C．5 D．10
14．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝60°，D为BC的中点，点E满足eq \(AE,\s\up6(→))＝4eq \(EB,\s\up6(→))，直线CE与AD交于点P，则cs∠DPE等于( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(\r(61),122) C.eq \f(\r(241),482) D.eq \f(24,25)
15．已知四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，F为BD与AE的交点，则|eq \(CF,\s\up6(→))|等于( )
A.eq \r(10) B．2eq \r(10) C．2eq \r(13) D．2eq \r(15)
16.如图所示，以△ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF和ACDE，M为边BC的中点．求证：AM⊥EF.
6.4.1 平面几何中的向量方法
1.D 2.D 3.C 4.B 5.B
6.C [
取BC的中点O，连接AO，如图所示.
∵eq \(BM,\s\up6(→))＋2eq \(CM,\s\up6(→))＝0，即eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，
∴M为BC边上靠近C的三等分点，
∵AB＝AC，∴AO⊥BC，
∴eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝0，
又eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·(eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))
＝eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))
＝eq \f(1,6)|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝eq \f(2,3)，
解得|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，即BC＝2.]
7.eq \f(4,9) 8.－eq \f(9,2)
9.证明 如图所示，连接AC,
因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，且EF＝eq \f(1,2)AC，
即eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
同理可得eq \(HG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(HG,\s\up6(→))，
又因为EF，HG不在一条直线上，
所以四边形EFGH是平行四边形.
10.解 以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)因为AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，点E是BC边上的中点，
所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，
E(2,1)，D(0,2)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，1))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(4,3)＋1＝－eq \f(1,3).
(2)因为AB＝eq \r(3)，BC＝2，
所以A(0,0)，B(eq \r(3)，0)，E(eq \r(3)，1)，
C(eq \r(3)，2)，D(0,2)，
设F(a,2)(0≤a≤eq \r(3))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(a－eq \r(3)，2)，
当eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝0时，eq \r(3)(a－eq \r(3))＋2＝0，
解得a＝eq \f(\r(3),3)，
所以CF＝eq \r(3)－eq \f(\r(3),3)＝eq \f(2\r(3),3).
11.B
12.C [假设BC的中点是O，则eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))2＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝2eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，即(eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(MO,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心.]
13.D [将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，
则eq \f(PA2＋PB2,PC2)＝eq \f(\(PA,\s\up6(→))2＋\(PB,\s\up6(→))2,\(PC,\s\up6(→))2)
＝eq \f(\(PC,\s\up6(→))＋\(CA,\s\up6(→))2＋\(PC,\s\up6(→))＋\(CB,\s\up6(→))2,\(PC,\s\up6(→))2)
＝eq \f(2|\(PC,\s\up6(→))|2＋2\(PC,\s\up6(→))·\(CA,\s\up6(→))＋\(CB,\s\up6(→))＋|\(AB,\s\up6(→))|2,|\(PC,\s\up6(→))|2)
＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|2,|\(PC,\s\up6(→))|2)－6＝42－6＝10.]
14.B [如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(5,0)，C(2,2eq \r(3))，E(4,0)，
因为D为BC的中点，
故Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，\r(3)))，
则eq \(CE,\s\up6(→))＝(2，－2eq \r(3))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，\r(3)))，
故cs〈eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(CE,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→)),|\(CE,\s\up6(→))||\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,4×\f(\r(61),2))＝eq \f(\r(61),122)，
所以cs∠DPE＝cs〈eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉
＝eq \f(\r(61),122).]
15.A [如图所示，由题意得
A(0,0)，B(10,0)，C(5,5)，D(0,5)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)，\f(5,2))).
设点F(x，y)，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝(x，y)，
eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)－x，\f(5,2)－y))，
由A，F，E三点共线得
xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－y))－yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)－x))＝0，
即x－3y＝0，①
eq \(BF,\s\up6(→))＝(x－10，y)，eq \(FD,\s\up6(→))＝(－x,5－y)，
由B，F，D三点共线得
(x－10)(5－y)－y(－x)＝0，
即x＋2y＝10，②
由①②解得x＝6，y＝2，则F(6,2)，
∴eq \(CF,\s\up6(→))＝(1，－3)，
∴|eq \(CF,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋－32)＝eq \r(10).]
16.证明 因为M是边BC的中点，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))).
又因为eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(0＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))－0)
＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)[|eq \(AC,\s\up6(→))||eq \(AF,\s\up6(→))|·cs(90°＋∠BAC)－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AE,\s\up6(→))|·cs(90°＋∠BAC)]＝0，
所以eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(EF,\s\up6(→))，即AM⊥EF.